VCell est un outil computationnel unique développé au centre université de Santé du Connecticut (University of Connecticut Health Center (Farmington, CT, USA)). C’est un logiciel général permettant aux biologistes, avec une formation sommaire en mathématique et physique, de réaliser aisément des modèles biologiques computationnels. L’interface graphique, orientée biologie, permet de réaliser la construction du modèle en spécifiant les molécules, les réactions et les structures impliquées. Ceci permet de rendre plus facile et surtout possible la construction de réseaux biologiques très complexes (taille, réactions, ...)
Les utilisateurs de VCell sont diversifiés : les bio-ingénieurs et les biologistes-mathématiciens en font partis. Grâce à son langage déclaratif, Virtual Cell Mathematics Description Language (VCMDL) l’utilisateur peut rentrer directement les équations mathématiques décrivant le modèle, au lieu de nécessairement passer par la définition biologique du modèle. Les mathé- matiques sont alors automatiquement traduit en C++ avant d’être transmis aux solveurs numériques.
Vcell permet la réalisation de modèle compartimental (0D) et de modèle spatial à géométrie variée (1D, 2D, 3D). Les modèles compartimentaux sont représentés par des Équations dif- férentielles ordinaires (ODE) et les modèles spatiaux sont représentés par des Équations différentielles partielles (PDE). Le tableau 2.3 montre les différences entre les modèles compartimentaux et spatiaux :
Modélisation par compar- timents (ODE)
Modélisation spatiale (PDE)
Compartiments Géométries
Réaction et cinétique Coefficients de diffusion Réactions
Table 2.3 – Modélisation par compartiments VS modélisation spatiale avec Virtual Cell Le modèle compartimental est un modèle spatial à 0 dimension, c’est-à-dire que toutes les équations chimiques définies sont dans un compartiment précis : il n’y a donc pas de flux ni de mouvement de molécules à l’intérieur d’un même compartiment. Il peut toutefois avoir de flux entre les compartiments pour représenter le transport de molécules. Pour construire un tel modèle, on définit toujours dans un 1er temps les réactions. Ces réactions sont insérées
dans les différents compartiments (Cytoplasme, noyau, membrane ...). Ensuite on définit les équations différentielles ordinaires du modèle. Puis on analyse les relations entrées-sorties jusqu’à obtention des résultats voulus. La figure 2.3 présente ces étapes dans le cas d’un modèle simple mettant en relation un ligand se liant à un récepteur qui active une très petite voie.
Figure 2.3 – Développement d’un modèle cinétique à compartiments (Neves,2011)
VCell présente une organisation en 3 niveaux imbriqués l’un dans l’autre.
1- Bio-modèle ou Physiologie : Ceci constitue le 1er niveau dans lequel on construit la topologie ou représentation du modèle : on définit les compartiments, les molécules
impliquées, les interactions entres celles-ci, les cinétiques (réactions d’action de masse, de Michaelis-Menten ou autres ...), les flux des réactions à travers les compartiements. 2- Applications : On définit ensuite les applications c’est-à-dire les conditions initiales :
concentrations, coefficient de diffusion dans le cas des modèles spatiaux, la mise en cor- respondance de structures entre la topologie et la géométrie, les conditions limites, les protocoles électriques, les équations à simuler ou pas ...
3- Simulations : On crée ensuite les simulations en définissant la durée, les pas de simulation, le taux d’échantillonage, la résolution, le solveur à utiliser et ses paramètres (maillage), les modifications de paramètres afin de tester différentes conditions ...
La réalisation des modèles dans VCell n’est pas unidirectionnelle. Il existe beaucoup de retour en arrière entre les différents niveaux Applications et Simulations. Une fois les résultats générés, il est très rare qu’on ait les bons du premier coup. Ainsi on retourne très souvent aux simulations et aux descriptions mathématiques découlant des applications, afin d’effectuer les modifications nécessaires (Figure 2.4).
Figure 2.4 – Organisation de VCell (Loew & Schaff,2001)
communiquent entre eux et ne sont plus isolés. Les différents constituants du réseau étudié sont mis dans leurs compartiments respectifs. Ils communiquent entre eux à l’aide de la création des flux dûs aux constantes de diffusion. Les compartiments sont ensuite calqués sur la géométrie réelle de la structure physique étudiée. On procède par la suite à la génération des équations différentielles partielles. La figure 2.5 présente ces étapes dans le cas d’un modèle simple mettant en relation un ligand se liant à un récepteur qui active une très petite voie.
Figure 2.5 – Développement d’un modèle cinétique spatial (Neves,2011)
Pour représenter la concentration s(r,t) d’une substance qui diffuse dans l’espace, on utilise l’équation de diffusion2.7 :
𝑑𝑠(𝑟,𝑡)
𝑑𝑡 = 𝐷 ⋅ ∇
2⋅ 𝑠(𝑟,𝑡) (2.7)
avec D, le coefficient de diffusion et l’opérateur de Laplace, pour une diffusion en trois dimen- sions, est : ∇2= 𝛿2𝑠 𝛿𝑥2 + 𝛿2𝑠 𝛿𝑦2 + 𝛿2𝑠 𝛿𝑧2
En combinant un système d’équations de réactions chimiques et l’équation de diffusion, on obtient l’équation de réaction-diffusion :
𝑑𝑠(𝑟,𝑡)
𝑑𝑡 = ∑𝑙 𝑛𝑖𝑙⋅ 𝑣𝑙⋅ (𝑠(𝑟,𝑡)) + 𝐷𝑖⋅ ∇
2⋅ 𝑠
𝑖(𝑟,𝑡) (2.8)
où la partie de gauche représente toutes les réactions dans laquelle la substance i est impli- quée et la partie de droite, la diffusion de la substance i. Les constantes de diffusion sont
aussi tirées de la littérature. Elles sont déterminées expérimentalement grâce entre autre à la technique de Redistribution de fluorescence après photoblanchiment communément appe- lée FRAP (Fluorescence recovery after photobleaching). Cependant il existe des cas, comme bien souvent, où il faut approximer ce coefficient. On peut approximer un D en comparant le poids moléculaire de la molécule avec le poids moléculaire d’une molécule dont on connaît le coefficient de diffusion. 𝐷 = 𝐷𝐺𝐹 𝑃[ 𝑀 𝑊 𝑀 𝑊𝐺𝐹 𝑃] 1 3 (2.9) où, 𝑀 𝑊 (Molecular Weight) représente le poids moléculaire recherché 𝐷𝐺𝐹 𝑃 = 25𝜇𝑚2/𝑠,
et 𝑀 𝑊𝐺𝐹 𝑃 = 27 kDa, sont les paramètres de la protéine GFP. L’unité du poids moléculaire des protéines est le Dalton (Da).
Le tableau2.4présente les unités rencontrées dans VCell :
Constantes Unités Concentration 𝜇𝑀 (Volume) molécules/𝑢𝑚2 Constante de diffusion 𝑢𝑚2⋅ 𝑠−1 kcat 𝑠−1 Km 𝜇𝑀 Vmax 𝜇𝑀 ⋅ 𝑠−1 kf 𝑠−1⋅ 𝜇𝑀−1 kr 𝑠−1
Table 2.4 – Unités de VCell
À partir des connaissances sur les réseaux biologiques et les méthodes de modélisation dans VCell, nous avons réalisé un modèle fonctionnel représentant les résultats expérimentaux tirés de (Harvey & Svoboda,2007) et (Harvey et al.,2008). Ces résultats seront présentés dans le chapitre 5de la partie II.
Chapitre 3
Les neurones sont des cellules vivantes présentant la particularité d’avoir 2 types de fonc- tionnements : biochimique et electrophysiologique. Ces 2 types de fonctionnements inter- agissent constamment : l’activité électrophysiologique génère des signaux électriques qui sont transformés en signaux biochimiques qui eux mêmes viennent influencer à leur tour cette acti- vité électrique et même la provoquer (Hormuzdi et al.,2004). La 1re approche qui consistait
à étudier chacun des modes de fonctionnement indépendemment présente des limites car elle ne peut à elle seule expliquer tous les phénomènes car ne tenant pas compte de l’intégration de certaines informations et des différentes boucles présentes dans les voies biochimiques. Ainsi, une approche plus ou moins intégrative est développée : la réalisation de modèle cou- plant l’électrophysiologie et la biochimie des neurones. Elle ne constitue pas un phénomène nouveau et elle a fait l’objet de quelques publications (Bower & Beeman, 2012) (Hines & Carnevale,1997) (Pedarzani et al. ,2001) (Katz & Clemens,2001) (Hormuzdi et al. ,2004). Elle a déja été expérimentée à plusieurs niveaux avec des résultats plus ou moins satisfaisants. Dans ce chapitre nous présenterons 3 modèles particuliers, dont nous nous inspirons et dont un se rapproche bien de l’approche que nous proposons. Ces modèles sont les modèles deYu
et al. (2004), Bhalla(2011) et de Brown et al. (2011).
3.1
Modèle de Yu
Yu et al. (2004) ont développé un modèle hybride dans le but d’examiner l’impact de l’activité électrique sur les cascades biochimiques et aussi de déterminer les propriétés dyna- miques émergeant de ces interactions dans les neurones de type R15. Le modèle développé s’appuie lui même sur le modèle électrique développé parButera Jr et al. (1995) auquel ils ont rajouté les équations de liaison du calcium à la calmoduline kinase. Les auteurs ont étudié par la suite l’effet de la liaison 𝐶𝑎2+/𝐶𝑎𝑀 sur l’Adenylyl Cyclase (AC) et la PhosphoDiEsterase
(PDE) qui sont des protéines de signalisation. La figure3.1 présente le schéma représentatif du modèle. Après le stimulus électrique, le fonctionnement des différentes conductances des canaux du modèle (𝑔𝑁𝑆,𝑔𝐶𝑎,𝑔𝑆𝐼,𝑔𝑁𝑎,𝑔𝑘,𝑔𝑅) provoque l’augmentation de la concentration de calcium à l’intérieur de la cellule. À l’intérieur, les ions 𝐶𝑎2+ deviennent les régulateurs
de l’activité en interagissant à la fois comme modulateur sur les canaux et sur les molécules biochimiques : AC, PDE, AMP cyclique (Figure 3.1). La particularité de ce modèle est que c’est un modèle à un seul et unique compartiment (modèle compartimental) constituée d’une membrane intégrée. Les activités électrophysiologique et biochimique ont tous les deux lieu dans ce compartiment unique. Ainsi aucun phénomène de mouvement des molécules dans l’espace n’est étudié. Les simulations indiquent que le niveau de AMP cyclique (AMPc) os- cille durant les périodes de rafales permanentes et que ces oscillations sont antiphasiques à celles de [𝐶𝑎2+]. En présence des oscillations d’AMPc, de brièves pertubations peuvent pro-
voquer la bistabilité au niveau de l’activité électrique. En comparant un modèle avec AMPc constant et le modèle avec les oscillations d’AMPc, les auteurs dénottent que ce dernier a une
Figure 3.1 – Interactions entre les conductances membranaires (courant) et les composantes bichimiques (protéines) (Yu et al.,2004)
fourchette de bistabilité plus élevée. De plus, le modèle électrique/biochimique intégré a per- mis de reproduire des comportements expérimentaux déjà observés tels que l’inactivation du courant potassique 𝐼𝑅 dépendement de l’activation de l’AMPc. Le comportement endogène des neurones de type R15, s’explique en partie par les interactions entre activité électrique et cascades biochimiques.
3.2 Modèle de Loew
Brown et al. (2011) ont proposé aussi un modèle compartimental. Dans ce cas, une mé- thode de réduction de structure de neurone complexe est développée puis appliquée au neurone Purkinje, où seule la zone spatiale d’intérêt doit être simulée plutôt que la totalité du volume neuronal. Cette transformation qui ne concerne que le comportement électrique, permet de ré- duire considérablement la puissance de calcul nécessaire et d’obtenir ainsi un modèle compact qui peut être simulé dans Vcell (Section 2.4). Les auteurs ont utilisé la représentation mor- phologique et électrique obtenue grâce à NEURON (Section 1.4) comme structure d’entrée au modèle VCell. Dans le modèle VCell, ils y ont ajouté une voie biochimique préalablement étudiée. Il s’agit de la voie de signalisation du calcium et de PIP2 (Phosphoionisotide 2). La méthode de réduction développée dénommée PPR (Preserved Path Reduction), apporte des solutions à 3 principaux challenges :
— modélisation physiologique explicite des épines et de la soma dans un même modèle, ce qui constitue une prouesse à ce moment là,
— portabilité et exportation de cette méthode dans VCell
Par la suite ils ont procédé à la validation du modèle généré en faisant des tests sur le modèle simplifié et sur le modèle complexe. Cela vient corroborer la pratique dans le domaine qui est de simplifier les modèles complexes en raison de leur demande trop élevée en ressources computationnelles. Nous avons réalisé aussi un modèle électrophysiologique à plusieurs com- partiments grâce aux 2 logiciels que sont NEURON et VCell.
3.3
Modèle de Bhalla
Bhalla (2011) a réalisé à son tour un modèle hybride. Pour ce faire, il a développé un modèle électrique multicompartimental (33 compartiments). Chaque compartiment comporte ses canaux et les paramètres qui leur sont propres. Ce modèle s’appuie sur le modèle préalable de (Traub et al. , 1991). Il a développé ensuite un modèle biochimique (une variante de la voie d’activation de la MAPK, que nous aborderons plus tard dans ce mémoire). Ce modèle interagit par la suite avec un canal développé dans le modèle électrique (Section4). La figure 3.2présente le schéma représentatif du modèle électrique et une simplification de l’interaction entre les 2 modèles. Le développement de ce modèle suit la méthodologie ci-dessous :
1. Re-Implémentation d’un modèle électrique existant 2. Implémentation de la voie biochimique cible
3. Implémentation du modèle fusionné
4. Confirmation de propriétés existantes et/ou Induction de nouvelles propriétés
Le modèle deBhalla (2011) démontre qu’un long stimulus fort (LTP) active les épines et augmente l’excitabilité des dendrites. Ceci résulte en une élevation de la quantité de calcium dans la cellule et provoque une longue dépolarisation membranaire au niveau de certaines synapses. En général, on peut déduire que la LTP provoque une modification de l’état interne de la cellule et de molécules de signalisation qui modifient les propriétés électriques. Ce modèle se rapproche le plus de ce que nous proposons dans ce mémoire. À vrai dire, nous nous en sommes fortement inspirés. Le principal problème de ce modèle est qu’il est développé dans un langage peu supporté (Bower & Beeman,2012) en ce qui concerne le modèle électrique. Le modèle hybride, lui est développé dans Moose (MOOSE, n.d.). Ce logiciel n’est pas accom- pagné d’une documentation suffisante pour permettre à des non-initiés de l’utiliser. Aussi, et principal obstacle, un fichier permettant de reproduire les résultats de simulation n’est pas disponible.
Dans le but de rendre notre méthodologie dans un formalisme accessible à tous et compré- hensible plus ou moins aisément nous avons décidé de reproduire les principes de bases de ce modèle dans NEURON (Section1.4). La 2e contribution de notre mémoire et non la moindre,
est le test par simulation d’une hypothèse pour expliquer le crosstalk synaptique c’est-à-dire la diminution de la sensibilité des compartiments adjacents au compartiment stimulé. Le mo- dèle compartimentale développé est ensuite comparé avec avec un modèle spatial d’équations différentielles partielles.
Figure 3.2 – Schéma représentatif du modèle électrique et des interations entre le modèle chimique et le modèle électrique (Bhalla,2011)
Deuxième partie
Chapitre 4
Les cellules nerveuses présentent des conformations différentes en fonction de leur localisa- tion. Les modèles développés tiennent compte de ces caractéristiques et essayent de reproduire le plus fidèlement possible les comportements observés. Pour vérifier la véracité des modèles, nous pouvons appliquer des protocoles de stimulations dérivées du monde expérimental.
4.1
Morphologie du neurone
La structure biologique représentée dans le modèle électrique est un neurone de type CA1 appartenant à l’hippocampe. L’hippocampe est une structure du cerveau des mammifères. Il appartient notamment au système limbique et joue un rôle central dans la mémoire (Eichen- baum,1993) (Squire,1992) et la navigation spatiale. En plus des neurones de type CA1, les neurones de types CA2, les neurones de types CA3, et le gyrus denté sont les constituants de l’hippocampe (Wechsler,2004). (Figure 4.1)
Figure 4.1 – Anatomie de l’hippocampe (Moser,2011)
Les structures biologiques de ce type de neurone sont extrêmement grandes et variées d’un point de vue physique. Dans ce travail, nous reproduisons un modèle réduit de ce type de neurone basé sur une réalisation précédente tirée des travaux deBhalla (2011) qui sont eux mêmes basés sur les travaux de modélisation deTraub et al. (1991). Plusieurs informations tirées de cet article viennent étailler notre modèle. En plus de la structure physique, les mécanismes biophysiques et leurs distributions proviennent de ce modèle. Les procédures de simulation effectuées pour la validité de notre modèle proviennent également du dit modèle. Le modèle réduit comprends 33 compartiments subdivisés en 5 groupes :
— Soma (x1) — Axone(Basal) (x4) — Dendrite Apicale (x10) — Dendrites Latérales (x12) — Épines (x3) — Cous Épines (x3)
La figure 4.2montre la représentation structurale du neurone modélisé. Cette représentation n’est pas à l’échelle. En effet les tailles des compartiments sont de l’ordre du microns (𝜇𝑀 ) et les épines sont beaucoup plus petites que sur la représentation.
Figure 4.2 – Représentation de la structure physique du modèle (pas à l’échelle)
Le soma représente le noyau de la cellule, l’unité centrale. Les compartiments basal repé- sentent l’axone, les compartiments apical et latéral représentent les dendrites du neurone et les épines représentent de petites protubérances. Les compartiments présentent des structures physiques différentes. La répartition des processus biochimiques diffère d’un compartiment à l’autre de même que la conductance qui varie aussi. Cependant, certains paramètres sont les mêmes dans tout le modèle. Il s’agit de la résistance axiale Ra ; de la résistance membranaire Rm ; et de la capacitance Cm. Les détails des implémentations sont à voir dans A. Dans les lignes suivantes nous allons présenter le mode de fonctionnement des canaux représentant les paramètres biophysiques.