3.4 Autres applications d’une approche fonction de transfert
3.4.2 Vers une nouvelle classification des systèmes karstiques
La méthode de calage des paramètres de la fonction de transfert présentée par Sivelle et al. [2020] est appliquée aux systèmes karstiques du Val de Loire et de Fourbanne. L’algorithme d’optimisation est présenté en figure 3.3. Pour chaque système traçage, la calibration du modèle permet de synthétiser les processus de transport d’éléments dissous non-réactifs (advection, dispersion, diffusion, mélange) à travers les deux paramètres de la fonction de transfert :
— Le système traçage est caractérisé par le paramètre N de la fonction de transfert. Sa valeur est déterminée à partir de l’ensemble des opérations de traçage effectuées sur le système traçage étudié. Ainsi, plus le nombre de traçage est grand, plus le paramètre N à un sens physique. Il caractérise la complexité du système et correspond d’un point de vue conceptuel à un nombre de réservoirs en cascade (cascade de Nash). Toutefois, le formalisme mathématique employé permet de travailler avec des valeur de N non entières et suppose que les densités de probabilité des temps de séjour suivent une loi gamma et non une loi exponentielle. Par ailleurs, les opérations de traçage doivent être effectuées dans des conditions hydrologiques suffisamment contrastées pour que le para-mètreN caractérise bien le système seul, indépendamment des conditions aux limites, et non ce même système dans des conditions aux limites particulières (c’est le cas lorsque l’interprétation se fait sur une seule opération de traçage)
— Les effets des variations des conditions aux limites sur les processus de transport dis-sous sont contenus dans la variabilité du paramètreA. Ce dernier est calculé pour chaque opérations de traçage. Il correspond, d’un point de vue conceptuel, à un temps de rési-dence moyen dans un réservoir parfaitement mélangé. Le signal de sortie correspond alors à la convolution des signaux deN réservoirs parfaitement mélangés dont le temps de résidence moyen estA.
L’approche développée ici consiste à caler un modèle d’assemblage de réservoirs parfaite-ment mélangés pour différents systèmes traçages et à en extraire les informations sur la structure (N) et sur les effets des variations des conditions aux limites (A).
La figure 3.4 présente l’ensemble des DTS sur les différents systèmes traçages étudiés. Les opérations de traçage, pour chaque système, ont été réalisées dans des contions hydrologiques contrastées. La variabilité des distributions des temps de séjour est la conséquence des variations des conditions aux limites. Les résultats des optimisations pour chaque système traçage sont reportés en annexe B.
Les paramètres de la fonction de transfert pour chaque système sont présentés dans la table 3.5. L’effet piston de la fonction de transfert, notéτ n’est pas optimisé puisqu’il correspond au temps d’apparition des premières concentrations, déterminé directement à partir de la courbe de concentration expérimentale. Aussi, la forme de la fonction de transfert utilisée ici inclut une seule composante dans l’écoulement ce qui impose parfois de négliger l’effet de traîne. C’est le cas, par exemple, pour le T-05 sur le système de Fourbanne ou encore pour les T-01, T-05, T-07,
Figure 3.3 – Schéma synthétique de la méthode d’optimisation multi-traçages. Les opérations de traçage sont effectuées sur un même système traçage (information contenue dans N) avec des conditions aux limites différentes (information contenue dans A)
T-08 et T-13 sur le système de Norville. Toutefois, l’effet de traîne représente moins de 5% du bilan de masse et peut être négligé dans le cadre de cette étude. Aussi, le critère de validation (N SE) témoigne d’une bonne correspondance entres les données expérimentales et les données simulées (N SE > 0.95). Une analyse plus poussée, incluant une seconde composante dans le modèle pour les traçages qui présentent une effet detailing, sera présentée en section 3.4.3.
(a) Norville [Bebec - Hannetôt] (b) Val de Loire [Jargeau - Bouillon]
(c) Jurassic Karst [Verne - Fontenotte] (d) Jurassic Karst [Verne - Fourbanne] Figure 3.4 – Synthèse des distributions des temps de séjour obtenues lors des différentes opéra-tions de traçage
Les résultats des optimisations de paramètres de la fonction de transfert avec une seule com-posante sont reportés en tableau 3.5. Les traçages non-renseignés présentent des DTS nécessi-tant plus d’une composante dans l’écoulement pour simuler de manière satisfaisante la DTS ou bien le nombre de traçages n’est pas suffisant pour appliquer la méthode. Les traçages répon-dant à ces deux critères sont dans un premiers temps retirés de la banque de donnée et seront exploités plus tard.
Pour l’observatoireJurassic Karst les deux systèmes traçages étudiés permettent de carac-tériser la rivière souterraine de Fontenotte au niveau de la zone non-saturée puis de la zone saturée dont l’exutoire est la source de Fourbanne [Cholet, 2017]. Les paramètres de la fonction
de transfert pour ces systèmes traçage montrent une augmentation deN (nombre de réservoir) et de A(temps de résidence moyen dans les réservoirs) entre le système Verne-Fontenotte (ri-vière souterraine) et le système Verne-Fourbanne (ri(ri-vière souterraine + zone non-saturée). Des analyses complémentaires seront fournies en section 3.4.4.
Système Injection Restitution Distance N Amin-Amax τmin-τmax NSE
(m) (h) (h)
Baget Moulo de Jaur Las Hountas 511 5.10 0.2 1 0.99
La Hillère Las Hountas 692 - - 1.2 - 1.5
-P2 loss Las Hountas 777 - - 1.5 - 1.6
-La Peyrère Las Hountas 840 - - 3.0 - 3.2
-P3 loss Las Hountas 920 - - 1.2
-Norville Bebec Hannetôt 2200 3.75 1.0 - 3.9 11 - 22 0.99 Val de Loire Jargeau Le Bouillon 24000 2.25 9.1 - 15.2 70 - 83
Jurassic Karst La verne Fontenotte 3610 5.60 0.3 - 1.1 23 - 80 0.99 La verne Fourbanne 8440 6.30 0.4 - 3.7 8 - 23 0.99
Tableau 3.5 – Paramètres de la fonction de transfert des systèmes traçages étudiés
La figure 3.5 reporte les systèmes traçages étudiés selon les paramètres de leur fonction de transfert (AetN). La barre d’erreur reportée pour chaque point correspond à l’écart-type sur les temps de résidence moyen dans les réservoirs et permet de quantifier la sensibilité du système aux variations dans les conditions aux limites. Pour chaque système, il est possible de reporter une courbe d’iso-temps de résidence moyen correspondant à l’espace des paramètres A et N permettant de simuler une DTS ayant un temps de résidence moyen identique. La position du point reporté sur cette droite dépend alors de la capacité de mélange du système. Plus un système tend vers une valeur de N proche de 1 et plus la capacité de mélange du système s’approche d’un mélange parfait. A l’inverse, lorsque le paramètreNtend vers des fortes valeurs, le système s’approche d’un système purement advectif (soir un système dominé par un effet piston).
Par exemple, sur le système de Norville, les paramètres de la fonction de transfert sontN = 3.75 et Amoyen = 2 h 30 min, soit un temps de résidence moyen de 9 h 27 min. Il est ensuite possible de générer un ensemble de DTS tel que tmoyen = N ×A(Figure 3.5 - b). Toutes les DTS simulées sont ainsi caractérisées par un temps de résidence moyen identique. Toutefois, elles correspondent à la réponse impulsionnelle d’un panel de 1 à 128 réservoirs parfaitement mélangés avec des temps de résidence moyen identiques. Cela correspond à une gamme de systèmes allant d’un modèle parfaitement mélangé (N = 1) à un système purement advectif (N =∞).
Cette nouvelle approche permet, d’une part, d’appréhender la prédominance des processus advectifs ou des processus de mélange et, d’autre part, de comparer les hydrosystèmes en se basant sur leur fonction de transfert en éléments dissous. Cela peut constituer une première ébauche de classification des hydrosystèmes karstiques. Toutefois, l’analyse présentée ici se base sur l’étude de quatre systèmes ayant été testés par traçages artificiels dans des condi-tions hydrologiques contrastées. La banque de données doit être complétée par des opéracondi-tions de traçage sur d’autres systèmes. Il faut aussi s’assurer que pour chaque système traçage, les opérations de traçage artificiel permettent de caractériser les processus de transport dans des conditions hydrologiques bien contrastées. C’est pour cette raison que les données du Baget
(a) (b)
Figure 3.5 – Relation entre les paramètres A et N de la fonction de transfert : (a) Régres-sion entre les paramètres de la fonction de transfert N et le temps de résidence moyenAavec l’écart-type associé à l’effet des variations des conditions aux limites et (b) ensemble de DTS correspondant à des assemblages de réservoirs parfaitement mélangés ayant le même temps de résidence moyen que le système karstique de Norville
présentées par Sivelle and Labat [2019] n’ont pas été exploitées ici puisque ces traçages ont été réalisés dans des conditions hydrologiques très proches, au cours d’une même décrue.