Analyses corrélatoires des variations temporelles de débits mesurés à

4.1.2 Analyse spectrale des débits mesurés à l’exutoire . . . 75 4.1.3 Analyses en ondelettes des variations de débits à l’exutoire . . . 76

4.2 Description de la dynamique interne des bassins . . . 80

4.2.1 Décomposition de la réponse impulsionnelle du bassin . . . 80 4.2.2 Caractérisation de la dynamique des échanges matrice-conduit . . . . 81

Précédemment, la modélisation conceptuelle du fonctionnement hydrodynamique des sys-tèmes Aliou et Baget a mis en évidence une décroissance d’environ 10% à 15% de la réserve en eau dans la matrice au cours des 50 dernières années. Par ailleurs, la contribution annuelle de la matrice à l’écoulement total a été estimée à environ 3%. La dynamique interne du sys-tème a été décrite à partir de bilans de masse mensuels et annuels. Un travail complémentaire d’analyse des composantes internes du système doit permettre une meilleurs compréhension du fonctionnement global des systèmes karstiques étudiés. Aussi, les critère N SE, BE etKGE ont été utilisés pour calibrer et valider la structure et les paramètres du modèle KarstMod. Ces critères sont des indicateurs au fort potentiel de lissage : un valeur élevée du critère N SE (au plus proche de 1 pour une correspondance parfaite) entre deux chroniques permet de dire que le modèle reproduit la chronique mesurée avec une faible erreur relative en moyenne mais n’as-sure pas nécessairement une restitution correcte tout au long de la chronique. Certaines périodes peuvent être mal reproduites (par exemple, des crues factices à l’étiage). Cette erreur à l’échelle de l’événement (crue sur quelques heures ou quelques jours) est moyennée sur l’ensemble de la chronique (plusieurs années). Cela n’influence donc pas significativement la valeur du critère numérique pour la série complète. De même, l’indicateur BE renseigne la qualité du bilan de masse sur l’ensemble de la chronique. Il en ressort qu’un critère numérique (tel que NSE, BE et KGE) calculé sur une longue période peut conduire à un biais d’interprétation sur la capacité du modèle à reproduire le comportement hydrodynamique du système à toutes les échelles.

Dans cette partie il sera étudié plus en détails les caractéristiques multi-échelles des signaux des systèmes étudiés notamment en appliquant des outils d’analyses corrélatoires et spectrales ainsi que des analyses en ondelettes. Ces analyses seront appliquées aux chroniques de débits et aux chroniques de niveaux d’eau dans les réservoirs obtenues par le modèle KarstMod. Un exemple de séries temporelles obtenues avec le modèle KarstMod est reporté en figure 4.1. Concernant les débits à l’exutoire, les analyses s’appliqueront à la fois sur les chronique me-surées et les chroniques simulées, permettant d’analyser la capacité de la modélisation concep-tuelle à reproduire le contenu statistique (corrélation et densité de variance) des chroniques mesurées.

L’objectif général de ces analyses complémentaires est double :

— tester la capacité d’un modèle conceptuel à réservoirs à reproduire les composantes multi-échelle de la dynamique des flux internes ;

Figure 4.1 – Séries temporelles du modèle KarstMod sur le bassin du Baget au pas de temps journalier : a) précipitations et débits observés et simulés ; b) niveaux d’eau dans les réservoirs E, M et C et c) flux entre les réservoirs M et C. Lorsque QM C> 0, le débit passe du réservoir M à C, sinon le débit passe du réservoir C à M.

4.1 Caractérisation multi-échelle des signaux hydrologiques

4.1.1 Analyses corrélatoires des variations temporelles de débits mesurés

à l’exutoire

Lafonction d’autocorrelationd’une variable aléatoire permet de décrire la structuration de cette variable dans le temps (ou dans l’espace). Elle est définie telle que :

C(k) = ¹ n n−k X t=1 (x_t−x¯)(x_t+k−x¯) (4.1)

Aveck le décalage temporel,n le nombre de données dans la série temporelle,x_tla valeur de la variable au pas de temps t, x¯ la moyenne de la série temporelle. La fonction C(k) est calculée pourk< àn/3 [Mangin and Andrieu, 1984].

La fonction d’auto-corrélation correspond à la corrélation de cette série avec elle même dé-calée dans le temps (ou dans l’espace). En hydrologie, les variables étudiées sont le plus souvent considérées dans le temps. La fonction d’auto-corrélation renseigne sur le degré d’indépendance

de la variable étudiée aux conditions antérieures. Pour un système à mémoire élevée, l’auto-corrélation des débits mesurés à l’exutoire restera élevée aux grandes échelles. A l’inverse, un système sans mémoire sera caractérisé par une auto-corrélation très faible (voire nulle) à petite échelle.

La fonction d’auto-corrélation normalisée (aussi appelée auto-corrélogramme) permet d’es-timer l’effet mémoire. Par convention cet effet mémoire correspond à l’échelle de temps pour laquelle l’autocorrélogramme est égal à 0.2 [Mangin and Andrieu, 1984; Eisenlohr et al., 1997]. L’effet mémoire peut aussi être estimé à partir du taux de décroissance de la fonction [Massei et al., 2006a]. Il est à noter que la bonne estimation de l’effet mémoire nécessite que la série temporelle soit suffisamment longue pour pouvoir décrire statistiquement le comportement du système et que la fréquence d’échantillonnage de la série temporelle soit adaptée à la dyna-mique du système étudié. Par exemple, les bassins fortement karstifiés nécessitent des mesures avec un taux d’échantillonnage infra-journalier [Labat et al., 2013].

Lafonction d’inter-corrélationou de corrélation croisée permet de décrire la corrélation de deux séries temporelles décalées dans le temps. Elle est définie telle que :

C_xy(k) = ¹ n n−k X t=1 (x_t−x¯)−(y_t+k−y¯) (4.2)

Aveck le décalage temporel,n le nombre de données dans la série temporelle,x_tla valeur de la variablexau pas de tempst, y_t+kla valeur de la variableyau pas de tempst+k, x¯ety¯

les moyennes des deux variables.

Cette fonction renseigne sur la causalité entre deux séries temporelles et permet d’estimer les temps de réponse d’un système. Ce dernier correspond au décalagekobservé au maximum de la fonction d’inter-corrélation. La fonction d’inter-corrélation se rapproche de la réponse impulsionnelle du système lorsque le signal d’entrée est aléatoire. Dans ce cas, la fonction d’auto-corrélation du signal d’entrée est proche d’une fonction de Dirac. Il peut être considéré que la pluie répond à ces critères. La fonction d’inter-correlation pluie-débit peut alors être interprétée comme la réponse impulsionnelle du système étudié [Mangin and Andrieu, 1984] et constitue une approximation de l’hydrogramme unitaire.

Dans un premier temps, les auto-corrélogrammes sont calculés pour les débits mesurés et simulés au pas de temps horaire (Figure 4.2 - a, b, c et d). Sur la période de calibration, la pente initiale de l’auto-corrélogramme est bien reproduite. L’effet mémoire des deux systèmes est correctement reproduit avec une erreur inférieure à 12h. Sur la période de validation, l’effet mémoire est correctement reproduit pour Aliou alors que pour le Baget, l’effet mémoire simulé est largement sous estimé (5 jours contre 11 jours). Les valeurs de l’auto-corrélogramme des débits simulés sont majoritairement inférieures à celles de l’auto-corrélogramme des débits me-surés pour les délais supérieurs à l’effet mémoire. L’effet inertiel du signal simulé est moins fort que pour le signal mesuré. Les auto-corrélogrammes des débits mesurés présentent une certaine variabilité, notamment pour l’effet mémoire, entre la période de calibration et la période de validation. Cela peut être la conséquence d’une période de calibration (17544 données consé-cutives) qui est plus courte que la période de validation (40896 données conséconsé-cutives), ce qui

peut constituer un biais dans la représentativité statistique des fonctions étudiées (est ce que la chronique de calibration contient la même information que la chronique de validation ?). Les périodes de calibration et de validation correspondent à des périodes distinctes dans le temps. Un changement de contenu statistique dans les chroniques au cours du temps constitue un mar-queur de la non-stationnarité. Cela a déjà été mis en évidence dans les chroniques de débit aux exutoires des systèmes karstiques [Labat et al., 1999a,b; Labat, 2005; Massei et al., 2006a; Charlier et al., 2015a].

Les auto-corrélogrammes sont ensuite calculés de la même manière sur les données journa-lières (Figure 4.2 - e, f, g et h). Les chroniques sont assez longues pour identifier les tendances inter-annuelles. Les auto-corrélogrammes se caractérisent par des effets mémoire très courts (quelques jours, comme vu précédemment avec les données horaires) et par des pics de cor-rélation annuels accompagnés d’une anti-corcor-rélation annuelle aussi déphasée de 6 mois (anti-corrélation des débits hiver-été). Il ressort que la calibration du modèle permet de reproduire correctement la cyclicité contenue dans l’auto-corrélogramme. Cela n’est pas observé pour la période de validation, pour laquelle l’auto-corrélogramme des débits simulés ne fais pas ressor-tir les tendances annuelles. Il ressort alors que l’approche conceptuelle présentée ici ne permet pas de tenir compte des variations dans le contenu statistique.

La fonction de corrélation croisée pluie-débit est assez bien reproduite (Figure 4.3). Le pic de corrélation intervient légèrement plus tard dans les séries simulées et la décroissance est moins rapide. C’est la conséquence d’un effet de lissage du modèle : les données simulées pré-sentent une plus grande dépendance aux conditions antérieures. Les fonctions de corrélation croisée présentées ici sont une approximation statistique de la réponse impulsionnelle du sys-tème (hydrogramme unitaire). Cette réponse impulsionnelle pourra être déconvoluée avec les chroniques des niveaux d’eau dans les différents réservoirs (E, M et C) et les flux internes obte-nus avec KarstMod (cf. section 4.2). Les deux systèmes étudiés présentent des temps de réponse faibles (inférieur à 1 jour), nécessitant un échantillonnage infra-journalier.

La fonction de corrélation croisée pluies-débits au pas horaire présente un pic de corrélation plus fort pour le système d’Aliou que pour le système du Baget (0.4 à 0.5 contre 0.3 à 0.4). Au pas de temps journalier, les pics de corrélations croisées sont plus élevés qu’au pas horaire (0.6 pour Aliou contre 0.5 pour le Baget). Plus la valeur du pic de la fonction de corrélation croisée est forte et plus le système est capable de transférer le signal de pluie. Dans le cas contraire, le système aura tendance à transformer le signal de pluie. Les valeurs des pics observés pour les systèmes d’Aliou et du Baget sont bien supérieures aux valeurs obtenues sur des systèmes plus inertiels : 0.22 pour la source du Toulon [Lorette et al., 2018], 0.19 pour le système d’El Torcal [Padilla and Pulido-Bosch, 1995], 0.23 pour le système de Trifilia [Panagopoulos and Lambrakis, 2006].

A la suite du pic de corrélation, la décroissance est rapide pour les deux systèmes : 6 à 7 jours pour Aliou et environ 10 jours pour le Baget. La fonction de corrélation croisée montre qu’Aliou est un système caractérisé par une prédominance d’écoulements rapides et des débits de base très faibles caractéristiques des systèmes fortement karstifiés. Les débits de base à l’exutoire du Baget sont légèrement plus soutenus témoignant de l’existence d’une plus grande influence des composantes pouvant retarder les transferts de masses d’eau (des processus d’infiltration plus lents et des écoulements plus importants dans la matrice).

(a) Calibration Aliou [1h] (b) Validation Aliou [1h]

(c) Calibration Baget [1h] (d) Validation Baget [1h]

(e) Calibration Aliou [24h] (f) Validation Aliou [24h]

(g) Calibration Baget [24h] (h) Validation Baget [24h]

(a) Calibration Aliou [1h] (b) Validation Aliou [1h]

(c) Calibration Baget [1h] (d) Validation Baget [1h]

(e) Calibration Aliou [24h] (f) Validation Aliou [24h]

(g) Calibration Baget [24h] (h) Validation Baget [24h] Figure 4.3 – Fonctions de corrélation croisée pluie-débit à l’exutoire