Notations tensorielles
A.1 Vecteurs et tenseurs
A.1.1 Notations indicielles
Nous nous plaçons dans l’espace l’euclidien E à trois dimensions. Soit (#»e1, #»e2, #»e3) une base orthonormée. Un vecteur #»V est alors représenté par ses composantes V1, V2 et V3 :
#»
V = V1#»e1+ V2#»e2+ V3#»e3 = Vi#»ei (A.1) en utilisant la convention de sommation : chaque fois que dans une expression un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à 3 et de faire la somme. Dans l’expression (A.1), l’indice i est muet : on aurait aussi bien pu écrire Vj#»ej ou Vk#»ek.
Soit A une application linéaire, alors dans la base (#»e1, #»e2, #»e3), cette application est représentée par une matrice 3 × 3 :
A repr A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 (A.2)
et, si # »W = AV , les composantes de#» W sont données par :# » W1= A11V1+ A12V2+ A13V3
W2= A21V1+ A22V2+ A23V3 W3= A31V1+ A32V2+ A33V3
que nous pouvons condenser en :
Wi = AijVj (A.3)
L’indice j est un indice muet : on aurait aussi bien pu écrire AikVk. L’ indice i est un indice libre. Dans une égalité, on doit avoir pour chaque terme les mêmes indices libres.
Nous introduisons les symboles de Kronecker :
δij =
(
1 si i = j
0 si i 6= j (A.4)
En particulier, l’application identité I est représentée par la matrice de composantes δij : I repr δ11 δ12 δ13 δ12 δ22 δ23 δ31 δ32 δ33 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Si la base (#»e1, #»e2, #»e3) est orthonormée, alors :
#»ei· #»ej = δij (A.5)
et le produit scalaire de deux vecteurs est : #»
V ·W = V# » i#»ei· Wj#»ej = ViWj#»ei· #»ej = ViWjδij = ViWi (A.6) De même, la composition de deux applications linéaires se traduît par le produit de leurs matrices représentatives, c’est-à-dire en notations indicielles :
C= A ◦ B, Cik= AijBjk (A.7)
A.1.2 Changement de repère
Soit (#»ei) une base orthonormée et ( #»ei′) une autre base orthonormée. Soit Qij la matrice de passage :
#»e1′ = Q11#»e1+ Q12#»e2+ Q13#»e3 #»e2′ = Q21#»e1+ Q22#»e2+ Q23#»e3 #»e3′ = Q31#»e1+ Q32#»e2+ Q33#»e3
⇔ #»ei′ = Qij#»ej (A.8)
Les deux bases étant orthonormées, on doit avoir :
δij = #»ei′· #»ej′ = QikQjl#»ek· #»el = QikQjk (A.9) qui montre que la matrice inverse de Qij est la matrice transposée :
QikQjk= QkiQkj = δij (A.10)
En particulier, on déduit de (A.8), la relation inverse :
#»ej = Qkj#»ek′ (A.11)
qui s’obtient par le calcul suivant : on multiplie (A.8) par Qik et on utilise (A.10) : Qik#»ei′ = QikQij#»ej = δkj#»ej = #»ek (A.12) c’est-à-dire (A.11) à un changement d’indices près.
A.1.3 Vecteurs
Soit #»V un vecteur, Vi ses composantes dans la base #»ei et V′
i celles dans la base #»ei′ : #»
V = Vi#»ei = Vi′#»ei′ (A.13)
Pour obtenir 1es lois de transformation permettant de passer de nous utilisons (A.11) : #»
A.1. Vecteurs et tenseurs 155
et par identification avec (A.13), il vient :
Vk′= QkiVi, Vj = QijVi′ (A.14)
formule de transformation des composantes d’un vecteur.
On appelle invariant une fonction des composantes d’un ou plusieurs vecteurs indé-pendante du repère choisi. Par exemple, l’invariant produit scalaire est défini par :
#»
V ·W = V# » iWi (A.15)
C’est un invariant car, d’après (A.14) et (A.10) : Vi′Wi′= QijVjQikWk= δjkVjWk= VjWj
A.1.4 Applications linéaires
Soit A une application linéaire de E dans E. Dans la base #»ei, elle est représentée par une matrice Aij et dans la base #»ei′, par une autre matrice A′
ij. Pour obtenir les lois de transformation, nous partons de (A.3) et de (A.14) :
Wi = AijVj, Wi′= A′ijVj′, Wi′ = QikWk= QikAklVl= QikAklQjlVj′ (A.16) et par identification, il vient :
A′ij = QikQjlAkl, Aij = QkiQljA′kl (A.17) En particulier, on a vu que les symboles de Kronecker δij étaient les composantes de la matrice associée à l’application identité. Par application de (A.17) :
δ′ij = QikQjlδkl= QikQjk= δij (A.18)
et l’application identité est représentée dans toute base par la même matrice.
A.1.5 Formes bilinéaires
Soit A une forme bilinéaire sur E, c’est-à-dire une application bilinéaire E × E → R. Dans une base #»ei, elle est représentée par une matrice Aij telle que :
A V ,#» W# »= AijViWj (A.19)
Pour obtenir la loi de transformation de Aij nous partons de (A.19) et de (A.14) : A V ,#» W# »= AijViWj = A′ijVi′Wj′ = AijQkiVk′QljWl′ (A.20) d’où par identification :
A′ij = QikQjlAkl, Aij = QkiQljA′kl (A.21) c’est-à-dire la même loi de transformation que pour une application linéaire. Ceci est évidemment dû au fait que nous n’envisageons que des repères orthonormés. En particulier, la forme bilinéaire représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produit scalaire.
A.1.6 Tenseurs du second ordre
Il résulte de ce qui précède que l’on peut identifier application linéaire et forme bili-néaire sur E. Nous appellerons tenseur du second ordre, cette entité mathématique, géné-ralisation de la notion de vecteur. Algébriquement, on peut la définir en introduisant une opération bilinéaire produit tensoriel, notée ⊗, et le tenseur A sera défini à partir de ses composantes Aij par :
A= Aij#»ei⊗ #»ej (A.22)
formule qui généralise (A.1). On obtient alors directement la loi de transformation (A.17) ou (A.21) à partir de (A.8) ou (A.11) :
A= Aij#»ei⊗ #»ej = A′ij#»ei′⊗ #»ej′= AijQki#»ek′⊗ Qlj#»el′ = QkiQljAij#»ek′⊗ #»el′ (A.23) d’où par identification :
A′ij = QikQjlAkl, Aij = QkiQljA′kl (A.24) et un tenseur du second ordre pourra représenter, suivant les circonstances, une application linéaire (exemple : le tenseur des contraintes) ou une forme bilinéaire (exemple : le tenseur des déformations). Un tenseur sera dit :
— symétrique si : Aij = Aji (A.25) — antisymétrique si : Aij = −Aji (A.26) — isotrope si : Aij = aδij (A.27)
Un tenseur quelconque peut toujours être décomposé en une partie symétrique AS et une partie antisymétrique AA : A= AA+ AS, Aij = AijA+ ASij, AAij = 1 2 Aij− Aji, ASij = 1 2 Aij+ Aji (A.28)
A.1.7 Tenseurs d’ordre superieur
Considérons, par exemple, une application linéaire de l’espace des tenseurs d’ordre deux dans lui-même (exemple : le tenseur d’élasticité). Dans une base #»ei, il est représenté par une quantité Λijkl à quatre indices :
A= λB, Aij = ΛijklBkl (A.29)
La loi de transformation des Λijkl s’obtient directement à partir de (A.21) : Aij = ΛijklBkl, A′ij = ΛijklBkl′
Aij = QimQjnAmn= QimQjnΛmnklBkl= QimQjnQpkQqlΛmnklBpq′ d’où la loi de transformation :
Λ′ijkl= QimQjnQkpQlpΛmnpq
A.1. Vecteurs et tenseurs 157
forme analogue à (A.24) ou (A.1). Nous introduisons donc le tenseur du quatrième ordre : Λ = Λijkl#»ei⊗ #»ej⊗ #»ek⊗ #»el (A.31) qui, suivant les circonstances, sera une application linéaire de l’espace des tenseurs du second ordre dans lui-même, une forme bilinéaire sur ce même espace, une forme quadri-linéaire sur l’espace des vecteurs, etc.
A.1.8 Invariants
On appelle invariant du tenseur du second ordre A une fonction des Aij indépendante du repère choisi. Par exemple, 1es fonctions suivantes :
trA = Aii trA2= AijAji, trAn= · · · kAk2 = AijAij (A.32)
sont des invariants de A. En effet, on a par exemple : A′ii= QikQilAkl= δklAkl= Akk
A′ijA′ij = QikQjlAklQimQjnAmn= δkmδlnAklAmn= AklAkl, etc.
On définit de la même manière les invariants de plusieurs tenseurs, ou d’un tenseur et de plusieurs vecteurs. Par exemple, les quantités suivantes :
tr ABC= AijBjkCki A: B = AijBij
#»
V · AW = V# » iAijWj
(A.33)
sont des invariants.
En particulier, on remarque que A : B définit un produit scalaire sur l’espace des tenseurs du second ordre. Pour ce produit scalaire, l’espace des tenseurs symétriques est orthogonal à l’espace des tenseurs anti-symétriques. En effet, si A est un tenseur symétrique et Ω un tenseur anti-symétrique :
AijAji, Ωij = −Ωji (A.34)
On a alors :
A: Ω = AijΩij = AjiΩji= −AijΩij = 0 (A.35) la première transformation résultant d’un échange des indices muets i et j, la seconde, de (A.34). De même, on peut décomposer un tenseur symétrique en partie sphérique et déviateur :
A= 1 3trA
I+ AD, ADii = 0 (A.36)