Équations de l’élasticité

6.1.1 Problèmes reguliers

Pour résoudre un problème d’élasticité, il faut trouver un champ de déplacements u_i(x, t) et un champ de contraintes σ_ij(x, t) vérifiant les équations du mouvement ou d’équilibre suivant que l’on s’intéresse au problème dynamique ou quasi-statique :

σ_ij,j+ f_i= ρ^∂2ui

∂t2 ou 0 (6.1)

et la loi de comportement :

σij = A_ijklε_kl (6.2)

où le tenseur des déformations s’écrit : ε_ij = ¹

2^{(ui,j+ uj,i) (6.3)}

On obtient donc un système de neuf équations à neuf inconnues et le problème sera « bien posé » et admettra une solution unique pourvu qu’on lui rajoute des conditions aux limites et éventuellement des conditions initiales adéquates. Les conditions initiales donnent la position et la vitesse du milieu à l’instant 0 :

u_i(x, 0) = u0

i(x) et ^∂ui

∂t (x, 0) = V0

i (x) (6.4)

Les différents types de conditions aux limites que l’on peut rencontrer ont été discutées au paragraphe4.1.2. On définit classiquement :

Problème de type I — les déplacements sont donnés à la frontière : u_i|∂Ω = ud

i (6.5)

Problème de type II — les efforts appliqués au solide sur la frontière sont donnés : σ_ijn_{j |∂Ω} = Td

i (6.6)

Par exemple, le réservoir sphérique au paragraphe4.1.1ou le bloc pesant du paragraphe4.1.2

avec la condition aux limites (4.25).

Plus généralement, on a affaire à un problème mixte pour lequel sur chaque partie de ∂Ω on donne :

— les efforts, exemple (4.8) ;

— les déplacements, exemple (4.12) ;

— certaines composantes du déplacement et les composantes complémentaires de l’ef-fort, exemple (4.11).

Un exemple type de problème mixte est celui où l’on se donne les déplacements sur une partie de la surface et les efforts sur la partie complémentaire :

u_i|Su = ud

i , σ_ijn_{j |Sf} = Td

i (6.7)

avec ∂Ω = Su+ Sf. C’est par exemple le cas pour les deux problèmes du paragraphe 4.1.2

avec condition d’adhérence, mais pour ces mêmes problèmes avec conditions de non frot-tement, les conditions aux limites sur les bases donnent la composante du déplacement sur x3 et les composantes de l’effort sur x1, x2. De manière générale, nous introduisons la classe des problèmes réguliers, problèmes pour lesquels en tout point de la frontière ∂Ω sont données trois composantes complémentaires de l’effort T_i= σ_ijn_j ou du déplacement u_i. Pour qu’un problème soit régulier, il faut que l’intégrale représentant le travail des efforts de contact puisse se décomposer en deux termes :

Z Z ∂Ω σ_ijn_ju_idS = Td f (u_i) + Td u(σ_ij) (6.8) Le premier terme Td

f représente le travail des efforts donnés dans le déplacement (inconnu) et le second, le travail des efforts de contact (inconnus) dans les déplacements donnés. Pour le problème mixte (6.7), on a simplement1 :

Z Z ∂Ω σ_ijn_ju_idS =^{Z Z} Su σ_ijn_ju^d_i dS | {z } Td u(σij) +^ZZ ∂Ω T_i^du_idS | {z } Td f(ui) (6.9)

Pour les autres problèmes réguliers, cette décomposition est plus longue à écrire. Par exemple, pour le problème du bloc pesant avec condition de non frottement (6.19), on a :

Z Z ∂Ω σ_ijn_ju_idS =^{Z Z} Sl+S1 T_i^du_idS −^ZZ S0  σ₁₃^du_i+ σd 23u₂ | {z } Td f(ui) + σ33u^d₃^ | {z } Td u(σij) dS (6.10)

Pour ce problème particulier, chacun des termes est nul d’après (4.18) et (4.19), mais peu importe, l’essentiel est d’examiner ce qui est donné par les conditions aux limites et de vérifier que l’on peut effectuer la décomposition (6.8) sans ambiguïté. En particu-lier, il en résulte que, pour le problème homogène associé, c’est-à-dire pour le problème correspondant à toutes les données nulles, on a automatiquement :

Z Z

∂Ωσ_ijn_ju_idS = 0 (6.11)

c’est un moyen commode pour vérifier qu’un problème est régulier.

Cette notion de problème régulier est essentielle car elle recouvre la formulation na-turelle des conditions aux limites en Mécanique des Solides en général. En élasticité, les problèmes réguliers sont des problèmes linéaires – on peut donc superposer plusieurs so-lutions – et qui permettent de démontrer un certain nombre de théorèmes généraux, no-tamment des théorèmes d’existence et d’unicité – un problème régulier est bien posé – et les théorèmes de l’énergie qui feront l’objet d’un chapitre.

6.1. Équations de l’élasticité 73

Il existe des problèmes non réguliers, comme par exemple les problèmes de frottement ou les problèmes unilatéraux. Dans les deux cas, il s’agit de conditions aux limites non linéaires qui rendent le problème non linéaire et par conséquent, beaucoup plus difficile à résoudre. Les liaisons élastiques donnent un exemple de problème linéaire non régulier. Nous rencontrerons aussi des problèmes non réguliers par manque de données mais il s’agit alors d’une non régularité superficielle qui ne nous gênera guère.

6.1.2 Theorème d’unicité en dynamique

Comme nous l’avons affirmé plus haut, un problème régulier est bien posé, autrement dit, il admet une solution unique. À titre d’exemple, nous allons démontrer le théorème d’unicité dans le cas dynamique. Nous partons donc d’un problème dynamique régulier. Pour fixer les notations, nous prendrons des conditions aux limites mixtes de type (6.7) mais la démonstration est valable, à des difficultés de notations près, pour tout problème régulier. Nous cherchons donc u_i(x, t), σ_ij(x, t), ε_ij(x, t), solutions du problème suivant :

                         ρ^∂ 2u_i ∂t2 = σ_ij,j+ f_i σij = A_ijklε_kh ε_ij = ¹ 2^{(ui,j+ uj,i)} u_i(x, 0) = uc i(x) V_i(x, 0) = Vc i (x) u_i|Su = ud i σijnj Sf = Td i (6.12)

Au paragraphe1.2.1, nous avons démontré le théorème de l’énergie cinétique (1.29) mais en élasticité, il vient, d’après (5.6) et (5.8) :

σ_ijD_ij = σ_ij^dεij

dt ⁼ dw

dt ^(6.13)

ce qui permet d’écrire (1.29) sous la forme : d dt^{(K + W ) =} ZZ Z Ω f_i^∂ui ∂t dv +^ZZ ∂Ω σ_ijn_j^∂ui ∂t dS (6.14)

où W est l’ énergie de déformation du so1ide : W = ZZ Z Ω w dv = 1 2 ZZ Ω A_ijkhε_ijε_khdv (6.15)

La signification de (6.14) est claire : la dérivée par rapport au temps de l’énergie totale (cinétique + de déformation) du solide est égale à la puissance des efforts extérieurs.

Supposons maintenant que notre problème (6.12) admette deux solutions correspon-dant aux mêmes données^f_i, u0

i, V0

i , ud i, Td

i



. La différence de ces deux solutions : ¯

u_i= u⁽²⁾_i − u⁽¹⁾i , ε¯_ij = ε_ij⁽²⁾− ε⁽¹⁾ij , σ¯_ij = σ⁽²⁾_ij − σ⁽¹⁾ij (6.16) sera solution du problème homogène associé à (6.12) :

¯ f_i= 0, u¯⁰_i = ¯V_i⁰= 0, T^¯_i^d= 0 (6.17) En appliquant (6.14) à ce problème : Z Z Ω ¯ f_i^{∂ ¯ui} ∂t ^{dv +} Z Z Su ¯ σ_ijn_j^{∂ ¯u} d i ∂t ^{dS +} Z Z Sf ¯ T_i^{d∂ ¯ui} ∂t ^{dS = 0} (6.18)

est nul d’après (6.17) puisque ¯f_i, ¯Td i et ¯ud

i et donc ∂ ¯ud

i/∂t sont nuls. On en déduit : d

dt



¯

K + ¯W^= 0, K + ¯^¯ W = Cte = 0 (6.19)

puisqu’à l’instant initial, d’après (6.17), il vient : ¯

u_i(x, 0) = ^{∂ ¯ui}

∂t ^{(x, 0) = 0} (6.20)

Or l’énergie cinétique K, par définition, et l’énergie de déformation W d’après le postulat de stabilité (4.4), sont définies positives, d’où il résulte que ¯K et ¯W restent nuls au cours du temps. On a donc en tout point et à tout instant ∂ ¯u_i/∂t = 0 d’où :

¯

u_i(x, t) = 0, u⁽²⁾_i (x, t) = u⁽¹⁾_i (x, t) (6.21) Les deux solutions coïncident et le problème (6.12) a une solution unique. Nous démontre-rons au chapitre 9 le théorème d’unicité peur le problème statique, mais provisoirement nous l’admettrons.

6.1.3 Équations de Navier

Pour résoudre analytiquement un problème d’élasticité, on postule a priori une forme particulière pour la solution puis on essaie de vérifier toutes les équations. Si on y parvient, alors d’après le théorème d’unicité pour un problème régulier, c’est la solution du problème. Il en résulte donc deux méthodes, suivant que l’on essaie un champ de déplacement ou un champ de contraintes.

Si l’on part du champ de déplacement u_i on peut calculer le tenseur des déformations par (6.3) et le tenseur des contraintes par la loi de comportement (6.2). Il ne reste donc plus à vérifier que les équations du mouvement (6.1), les conditions aux limites de type déplacement et de type effort et éventuellement les conditions initiales. Reporter (6.2) et (6.3) dans l’équation du mouvement (6.1) permet d’écrire l’équation qui doit être vérifiée par le champ de déplacements u_i(x, t) en dynamique ou u_i(x) en statique :

A_ijkh ^∂

2u_k

∂x_j∂x_h ^{+ fi = ρ} ∂²u_i

∂t2 ou 0 (6.22)

où la symétrie (5.3) de A_ijkh est utilisée et en supposant le matériau homogène (A constant). En élasticité, le temps n’intervient pas dans la loi de comportement. Il n’in-tervient que dans l’équation du mouvement et disparaît en quasi-statique à l’exception des problèmes de frottement, où il reste dans la condition aux limites (4.15). Ainsi en élasticité, on ne parle jamais de problèmes quasi-statiques mais uniquement de problèmes statiques. Pour résoudre un problème quasi-statique, il suffit en effet de résoudre à chaque instant le problème statique correspondant. Nous n’envisagerons plus désormais que le cas statique.

Dans le cadre de l’élastictté linéaire isotrope —élasticité classique— l’équation (6.22) devient d’après (5.23) :

(λ + µ) u_i,ik+ µu_i,kh+ f_i= 0 (6.23)

soit, en introduisant les opérateurs de l’analyse vectorielle (AnnexeA) :

6.1. Équations de l’élasticité 75

ou de manière équivalente :

(λ + 2µ) grad div #»u − µ rot rot #»u + ^#»f = 0 (6.25) Ces équations sont appelées les équations de Navier. Elles traduisent les équations d’équi-libre pour le champ des déplacements.

Ainsi la première méthode de résolution d’un problème d’élastostatique consiste à : — postuler un champ de déplacements ;

— vérifier les équations de Navier (6.24) ou (6.25) ; — vérifie, les conditions aux limites de type déplacement ; — vérifier les conditions aux limites de type effort.

Pour postuler le champ de déplacements, on s’inspire habituellement des conditions aux limites en déplacement et des symétries. On verra des exemples de cette méthode aux paragraphes6.2.2 et7.2.1.

Si on prend la divergence de l’équation (6.25), on obtient l’équation de la dilatation

(λ + 2µ) ∆ (div #»u ) + div^#»f = 0 (6.26)

qui nous sera utile plus loin.

6.1.4 Équations de Beltrami

La seconde méthode de résolution consiste à postuler un champ de contraintes. La loi de comportement permet alors de calculer le champ des déformations, mais pour pouvoir calculer le vecteur déplacement, il faut que ce champ de déformations soit compatible (paragraphe3.3). Ainsi, le champ de contraintes choisi doit vérifier les équations d’équilibre et un système d’équations traduisant les équations de compatibilité. Nous allons obtenir ce système d’équations dans le cas statique et en élasticité classique et homogène.

Nous partons des équations de compatibilité sous la forme (3.59) et de la loi de com-portement sous la forme (5.34), ainsi :

1 + ν

E ^σij−_E^νσ_kkδij



,ll

+1 − 2ν

E ^σkk,ij−^{1 + ν}_E (σ_jk,ik + σ_ik,jk) +^2ν

E^{σkk,ij = 0} et en notation indicielle :

(1 + ν) σ_ij,ll− νσkk,llδ_ij+ σ_kk,ij− (1 + ν) [σjk,ki+ σ_ik,kj] = 0 (6.27) mais d’après les équations d’équilibre (6.1) :

σ_jk,ki+ σ_ik,kj = − (fi,j+ f_j,i) (6.28) et d’après la loi de comportement (5.34) et l’équation de la dilatation (6.26) :

σ_kk,ll= ^E

1 − 2ν^{εkk,ll = −}

E

(λ + 2µ) (1 − 2ν)^fi,i soit finalement avec (5.33) :

σ_kk,ll= −^{1 + ν}

1 − ν^{fi,i (6.29)}

En eeportant (6.28) et (6.29) dans (6.27), on obtient : σ_ij,ll+ ¹

1 + ν^{σkk,ij+ fi,j+ fj,i+} ν

Ces équations, appelées équations de Beltrami, traduisent les équations de compatibilité pour les contraintes. Si les forces de volume sont nulles, elles se simplifient :

σ_ij,ll+ ¹

1 + ν^{σkk,ij= 0} (6.31)

En particulier, elles seront automatiquement vérifiées si les contraintes sont des fonctions linéaires des coordonnées.

La seconde méthode de résolution d’un problème élasto-statique consiste à : — postuler un champ de contraintes ;

— vérifier les équations d’équilibre ; — vérifier les équations de Beltrami ;

— vérifier les conditions aux limites de type effort ; puis, le cas échéant — intégrer le champ de déplacements ;

— vérifier les conditions aux limites de type déplacement.

On voit donc que cette méthode s’applique tout naturellement aux problèmes de type II pour lesquels on peut sauter les deux dernières étapes. Nous en verrons des exemples aux paragraphes6.2.1,7.2.2 et7.3.1.