CHAPITRE 3. ANALYSE LINEAIRE ET FLAMBEMENT DES STRUCTURES A PAROIS MINCES
3.5. Formulation des modèles de bandes finies et d’éléments finis
3.5.3. Méthode des éléments finis
3.5.3.3. Vecteur de charges
Nous ppo ns qu il y a es cha ges réparties uperfi is directions locales com
su so ’ d r s cielles suivant les tro
me l’indique la figure 3.12.
y
Figure 3.12. Charges réparties superficielles.
Le travail externe (3.25) réalisé par les charges réparties sur les déplacements au sein de l’élément est alors: et les composantes de
{ }
p sont exprimées par les expressions (3.78).On a:
En dérivant We par rapport aux variables nodales, nous avons:
{ } [ ] { }
( )Ae
p
N T q d aire
∂∂We =
∫
(3.111)Enfin, le vecteur de charge d’un élément fini peut être obtenu par:
{ }
1 1[ ]
T{ }
1 1
F e N q J d dξ η
− −
=
∫ ∫
(3.112)3.5.3.4. Matrice de transformation géométrique
Figure 3.13. Plan de surface moyenne pour une plaque ou plan de référence pour une coque surbaissée dans l’espace.
trice de transformation spatiale. L’axe local CRISFIELD [C7-1986] a montré comment obtenir la ma
xl est choisi pour coïncider avec la ligne reliant les nœuds 1 et 2. Le vecteur e1 des cosinus de l’axe local xl est déterminé par:
Le vecteur reliant le nœud 1 et le nœud 3 peut être déf
{ }
e2' T ={
x31 y31 z31}
g (3.115)Le vecteur de base e , qui est perpendiculaire au vecteur e et se situe dans le plan de e et 1 1 e2' a
{ }
e2 ={ }
e2' −( { }
e1 T{ }
e2') { }
e1 (3 dans lequel le coefficient scalaire β peut être éliminé par normalisation. Finalement, la règle du produit en croix peut être utilisée pour calculer le vecteur de base e qui est normβ .116) Les relations géométriques entre les déplacements dans le système local et le système global sont alors:
{ }
Pour un élément de 8-n sf éométrique est la suivante:
O O O T O O O O
œuds, la matrice de tran ormation g
[ ]
dans lequel O est la matrice de dimensions 6x6 où tous ses composants sont zéros. La détermination de
[ ]
L est similaire pour le cas des éléments à 9-nœuds.Par conséquent, la transformation des déplacements, de la matrice de rigidité et d c un système d’axe local au système d’axes global est réalisée grâce à la matrice
[ ]
L :{ }
p g =[ ]
L{ }
p l (3.120)[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
K eg = L T K el L = L T ⎡⎣Kp⎤⎦el[ ] [ ] [ ] [ ]
L + L T Ks el L (3.121)} [
{
F eg = L]
T{ }
F el (3.122)La matrice de rigidité globale et le vecteur de charge global de la structure sont construits à partir ices de rigid
(3.123)
3.5.3.5. Résolution et phénomènes de verrouillage
des matr ité et vecteurs de charge élémentaires grâce à un processus d’assemblage:
[ ]
K g =∑ [ ]
K eg}
g{ }
egF =
∑
F (3.124){
ations linéaires:
Les expressions (3.123) et (3.124) sont substituées dans l’expression stationnaire de l’énergie potentielle (3.22) et nous obtenons un système d’équ
[ ]
K g{ } { }
p g = F g (3.125) e (3.125) fournit lesphénomènes de verrouillage se produisent pour la méthode des éléments finis comme expliqué par de MINDLIN-REISSNER. Tandis que les verrouillages de cisaillement et de membrane sont dus à
théorie des coques surbaissées de MAR
entre des composantes de déplacement de manière déséquilibrée dans l’expression d’une La résolution du systèm valeurs numériques des variables nodales. Les BELYTSCHKO et al. [B8-1985]. Le verrouillage de cisaillement apparaît pour la théorie des plaques
la GUERRE. La cause de ces phénomènes est l’interaction
composante de déformation. Nous appliquerons les techniques de l’intégration réduite sélectionnée pour la théorie des plaques, donc l’intégration totale est utilisée pour le premier terme de l’expression de la matrice de rigidité (3.102) et l’intégration réduite est appliquée pour le second terme. Pour la théorie des coques surbaissées, l’intégration réduite est employée pour les deux termes de (3.102). Les schémas de l’intégration numérique de l’élément fini déformable en cisaillement sont donnés dans le tableau 3.2.
Table 3.2. Points de GAUSS pour l’intégration numérique de l’élément fini.
Schémas d’intégration 8-noeuds 9-nœuds
Intégration totale 3x3 3x3
Intégration réduite 2x2 2x2
3.5.3.6. Matrice géométrique
Nous savons que l’énergie potentielle additionnelle dans l’analyse de flambement est due aux rmation de deuxième ordre ou non-linéaires sont définies dans les éformat GREEN. Pour la théorie des plaques, les déformations de GREEN sont contraintes initiales sur les composantes de déformation de deuxième ordre [C12-1993]. Les composantes de défo
d ions totales de
directement obtenues; ici nous ignorons les composantes non-linéaires dansγxz, γyz puisque leur contribution à l’énergie potentielle additionnelle est très petite par rapport aux autres:
2 2
_
En comparaison avec les composantes de déformation linéaires (3.6)-(3.8), les composantes non-linéaires dans les expressions (3.126)-(3.128) sont:
2 2 2
de certaines approximations [M5-[D9-1978] pour s de la théorie des coques surbaissées. La hauteur h de la plaque. Soit A la plaque de référence
∂ ∂ ∂ ∂
⎣ ⎦
(3.135) Pour la théorie des coques surbaissées de MARGUERRE, les composantes de déformation
non-néaires ne sont pas directement obtenues puisqu’elles viennent li
1950, D9-1978, I5-1974, I6-1981]. Nous choisissons ici l’interprétation de DEBONGNIE obtenir les expressions des déformations totale
érée comme une imperfection (Fig. 3.3) est consid
(coïncidant avec le plan de référence) et soit B la coque qui est proche de A. On peut imaginer que la coque B est obtenue à partir d’une déformation relativement petite appropriée de la plaque A; le seul déplacement fictif correspondant est dans le sens de l’axe z et désigné h. Si la coque B est soumise à une déformation subséquente jusqu’à la position C, le déplacement total à partir de A suivant le sens de l’axe z sera (w+h). Les déformations totales, de la plaque de référence au corps actuel C, peuvent être mesurées par les déformations totales de GREEN, pour la composante εx, par exemple: La déformation fictive initiale est alors:
1⎛ ∂h⎞2
st la structure physique réelle. La déformation effective entre B et C est donnée par suivante:
De la même manière, nous pouvons déterminer les déformations totales pour εy et γxy. Enfin, nous
théorie des plaques et la théorie des coques surbaissées:
∂ o
En comparant (3.139)-(3.141) avec les composantes de déformation linéaires de la coque surbaissée (3.11)-(3.13), les composantes non-linéaires sont les mêmes que les expressions (3.133)-(3.135).
Ainsi, l’énergie potentielle additionnelle due aux contraintes initiales [C12-1993] peut être communément présentée par la
{ } { } ∫ ∫ ∫ { } { }
dans lequel , où les composantes de
ues à partir d’une analyse linéaire préalable et les relations entre les ormation non-linéaires et les déplacements sont données par (3.133)-(3.135).
rement à la méthode des bandes finies au sous-paragraphe 3.6.2.3, l’énergie potentielle (3.145) mène à la matrice géométrique d’un élément fini et puis à la matrice géométrique de la structure au système d’axes global commun
contrainte peuvent être obten composantes de déf
Similai
additionnelle