1.4 Cavité acoustique BAW à quartz à température ambiante
2.1.2 Variations de l’attenuation acoustique en fonction de la température
Des études du comportement du coefficient d’absoprtion α(Ω) défini dans le chapitre 1 sur des résonateurs à quartz permettent d’expliquer la manifestation des mecanismes dissipatifs cités ci-dessus en fonction de la température. La figure (2.1)) est issue de [6], sur laquelle on retrouve la variation expérimentale du Q en fonction de la température allant de la température ambiante jusqu’aux températures cryogéniques. Des travaux plus récents [7] présentent une analyse spec- troscopique détaillée des différents mécanismes dissipatifs intervenant sur les variations des pertes intrinsèques en fonction de la température sur des résonateurs à ondes de volume.
Sur cette courbe caractéristique de l’atténuation d’une onde acoustique dans un résonateur à quartz, on peut relever quatre phénomènes distincts :
• Un pic d’absorption autour de 55K qui est dû à une forte absorption des ions de sodium
N a+ [6] dans le cristal.
• Une décroissance rapide du Q en dessous de 20K où la décroissance en 1/T4 a été prédite par Maris en s’appuyant sur la théorie de Landau-Rumer [21].
• Un pic d’absorption maximum autour de 22K principalement dû aux impuretés et défauts au sein du matériau.
• Un palier autour de 4K principalement dû aux impuretés et défauts au sein du matériau. On retrouve la décroissance en 1/T4ainsi que le palier autour de 4K avec une dépendance en
1/T1/3 sur la figure 2.2 qui est issue de mesures plus récentes [2] réalisées au sein du département
Temps-Fréquence sur des résonateurs à quartz dans une gamme de températures comprises entre 4K et 20K.
En s’intéressant à l’interaction des ondes acoustiques (phonons acoustiques) avec les ondes thermiques (phonons thermiques), on peut identifier deux régimes distincts par l’intermédiaire du produit Ωτ où Ω est la fréquence et τ la durée de vie moyenne des phonons thermiques.
2.1. ÉTAT DE L’ART
Figure 2.1 – Évolution du facteur de qualité Q en fonction de la température. [6]
Figure 2.2 – Pertes mécaniques en fonction de la température dans la gamme de températures [4K-20K]. [2]
CHAPITRE 2. CAVITÉ ACOUSTIQUE "BAW" CRYOGÉNIQUE • Régime d’Akheiser
La validité du régime d’Akheiser est associée à la condition
Ωτ 1 (2.2)
Dans ce cas, le temps de vie moyen des phonons thermiques entre deux interactions successives des phonons acoustiques avec les phonons thermiques est très petit par rapport à la période d’oscillation. Cette condition est vraie à température ambiante pour des fréquences inférieures au GHz. En effet, si on augmente de manière significative la fréquence à température ambiante (pour une durée τ fixe), le produit Ωτ devient très supérieur à 1 et l’on passe dans le régime de Landau-Rumer décrit dans le point suivant.
Dans la plage de températures [20K-300K], le coefficient d’absorption est proportionnel à [22]
α(Ω) ∝ Tf2 (2.3)
En remplaçant l’expression de α(Ω) donnée ci-dessus (eq. (2.3)) dans l’équation du Q (1.7) on obtient
Q.f ∝ 2π
2
T Va (2.4)
On en conclut que dans le cas où Ωτth 1, le produit Q.f est constant (indépendant de la
fréquence). Ce résultat implique une diminution du coeffcient de qualité avec une élévation de la fréquence. Typiquement, pour un quartz de coupe SC à température ambiante excité sur le mode C, on obtient
à 10 MHz à 100 MHz ⇒ Q.f = 1 million × 10MHz = 1013 Q.f = 100 000 × 100MHz = 1013 (2.5) • Régime de Landau-Rumer
On parle de régime de Landau-Rumer lorsque
Ωτ 1 (2.6)
Cette condition est applicable au cas des très basses températures ou à l’inverse du régime d’Akheiser, le temps de vie des phonons thermiques est très grand. Ce temps de vie des phonons est défini par [23]
τ = 3K
CVa2 (2.7)
où K est la conductivité thermique, C est la chaleur spécifique et Va la vitesse de l’onde.
L’expression des pertes intrinsèques à basses températures a été étudiée par Maris qui a démontré que l’atténuation acoustique est proportionnelle à T4. Elle est définie telle que [21]
1 Q ∝ hΩ γef f2 Ωτ k BT h 4 (2.8) 32
2.1. ÉTAT DE L’ART où h est la constante de Planck, γ2
ef f la constante effective de Gruneisen, kB la constante de
Boltzmann et T la température.
Dans la plage des températures cryogéniques [4K-20K], le coefficient d’absorption est donc proportionnel à
α(Ω) ∝ T4f (2.9)
En remplaçant l’expression de αΩ donnée ci-dessus (eq. (2.9)) dans l’équation du Q (1.7) on
obtient
Q∝ 2π
2
T4Va (2.10)
On remarque que, dans le régime de Landau-Rumer, le facteur de qualité est indépendant de la fréquence (le produit Q.f est proportionnel à f). On se retrouve donc avec un coefficient de qualité théoriquement constant quelque soit la fréquence. Bien que cette condition reste vérifiable à très basses températures quelque soit la fréquence, on observe sur les résonteurs à quartz à énergie piégée une augmentation du Q dans la plage [100 MHz - 200 MHz] et une décroissance de celui-ci au dessus de 200MHz comme le présente la figure 2.3.
Figure 2.3 – Évolution des meilleurs facteurs de qualité Q mesurés sur différents types de résona- teurs plan-convexe à quartz en fonction de la fréquence à 4K.
On peut interpréter la tendance croissante du coefficient de qualité en dehors de la plage constante par le fait qu’à basses fréquences, le piégeage de l’onde acoustique n’est pas optimum (cf. section 4.3.2). La tendance décroissante peut quant à elle être associée à une augmentation
CHAPITRE 2. CAVITÉ ACOUSTIQUE "BAW" CRYOGÉNIQUE
du phénomène de diffraction sur la surface du résonateur lorsque la longueur d’onde acoustique devient du même ordre de grandeur que les défauts de l’état de surface (rugosité). On notera également que généralement les résonateurs métallisés possèdent des coefficients de qualité moins élevés que les résonateurs BVA (sans dépôts directs sur le substrat).
• Cas limite - Maximum d’absorption intrinsèque
Ce cas limite se situe à une température intermédiaire entre le régime d’Akheiser et celui de Landau-Rumer où Ω devient du même ordre de grandeur que 1/τ. Il est défini par
Ωτ = 1 (2.11)
Les pertes intrinsèques sont proportionnelles au produit caractéristique Ωτ [24] tel que 1
Q ∝
Ωτ
1 + Ω2τ2 (2.12)
où τ = τ0exp Ea/kBT avec τ0 la constante de relaxation, Ea l’énergie d’activation, kB la
constante de Boltzmann et T la température.
En traçant les pertes en fonction du produit Ωτ (cf. fig. 2.4) on retrouve le maximum d’ab- soption intrinsèque pour Ωτ = 1. Les côtés adjacents à ce maximum représentent les régimes d’Akheiser (à droite) et de Landau-Rumer (à gauche).
Figure 2.4 – Pertes intrinsèques normalisées en fonction du produit caractéristique Ωτ tracé à partir de l’équation (2.12).
La température associée à ce maximum d’absorption varie en fonction de la fréquence. Ainsi, pour une fréquence de 23 MHz, la température du maximum d’absorption se situe autour de 22K tandis qu’à une fréquence de 1 GHz elle se décale autour de 55 K.
Quantitativement, à température cryogénique, bien qu’à plus basses fréquences le coefficient de qualité ne soit pas optimum, il reste tout de même supérieur (approximativement d’un facteur 10) à ceux que l’on peut mesurer à température ambiante. L’accès aux températures cryogéniques par le biais d’un cryogénérateur est donc un bon moyen d’améliorer significativement les performances des dispositifs éléctromécaniques.
2.1. ÉTAT DE L’ART
2.1.3 Limitations des performances des cavités acoustiques à températures cryo-