2.2 Réseaux multiplicatifs sans unités
2.2.2 Élimination des coupures parallèle
2.2.2.2 Variations des chemins sous réduction parallèle
La mesure qui nous permettra d’étudier plus tard l’effondrement de la taille des structures consiste à compter le nombre d’arbres que peuvent comporter les chemins d’une structure.
Ce qui rend cette mesure adéquate est que, si l’on dispose d’une borne sur cette mesure, alors on sait que les chaînes de coupures d’axiomes, qui sont responsables de la diminution de la taille, n’excèdent pas une certaine longueur. De plus, on peut montrer que cette mesure reste bornée après la réduction parallèle.
Définition 6.
Soit p une structure de MLL−, et χ ∈ Ch(p). On définit ln(χ) la longueur de
χ, c’est-à-dire le nombre d’arbres qui le composent, et l’on étend cette définition
aux structures :
ln(p) = max{ln(χ) | χ ∈ Ch(p)}
Avant de rentrer dans les détails du lemme 6, qui montre que notre mesure ln sur les structures reste bornée sous réduction parallèle, et qui est un point central de cette partie, il reste une propriété technique à établir :
Lemme 5. Soient p,q tels que p⇒ q, et ξ ∈ Ch(q). Si ξ n’a pas de nœud coulant,
alors ln(ξ) ≤ ln(ξ−).
Démonstration. Cette propriété de montre aisément par induction sur le nombre
de résidus rencontrés par ξ. Si ce nombre est égal à 0, alors ξ−= ξ. S’il est égal à k > 0, alors il existe une coupure c ∈ C(p) telle que ξ = χ1, d, χ2, pour
d = /cutts une coupure résiduelle de c = ht ⊗ t0|s` s0i, et que, par le lemme 3,
ξ− = χ−1, t, c, s, χ−2. C’est la situation illustrée en figure 2.14.
Par définition, ln(ξ) = ln(χ1) + ln(χ2) + 2, et ln(ξ−) = ln(χ−1) + ln(χ − 2) + 4 (car la coupure correspond à un sous-chemin de taille 2). On peut appliquer l’hypothèse d’induction et conclure.
Remarquons que dans ce cas, le chemin dans le réduit est même strictement plus petit que le chemin dans l’antiréduit, le premier passant par un sous-chemin de la forme t, t ⊗ t0, s`s0, s, et le second par un sous-chemin de la forme t, s.
La preuve du lemme 6 se fera à travers une mesure supplémentaire sur les chemins :
Définition 7.
Soient p⇒mq et ξ ∈ Ch(q). On définit la largeur de ξ : larg(ξ) = max{ln(χ−) |
χ est un préfixe de ξ}.
Lemme 6. Il existe une fonction croissante fln: N → N telle que si p⇒mq et
ξ ∈ Ch(q), alors ln(ξ) ≤ fln(larg(ξ)).
Démonstration. Par le lemme 4, on peut écrire :
ξ = ζ1, c1, χ1, c01, ζ2, . . . , ck, χk, c0k, ζk+1
Où les ci, c0i sont des nœuds coulants, respectivement des coupures di = hti⊗
t0
i|si` s0ii, et les ζi ne comportent pas de nœud coulant. On peut également
poser le chemin de mêmes extrémités dans l’antiréduit, par définition :
ξ− = ζ1−, t1, t1⊗ t01, t 0 1, . . . , ζ − k , tk, tk⊗ t 0 k, tk, ζk+1− Voir la figure 2.15.
Commençons par lister quelques propriétés que l’on peut déduire des défini- tions et des résultats précédents :
(a) Pk+1
i=1 ln(ζi) ≤ ln(ξ−) − 3k. En effet, on peut observer que ln(ξ−) =
Pk+1
i=1 ln(ζ
−
i ) + 3k, et par le lemme 5, ln(ζi) ≤ ln(ζi−) pour tout i.
(b) Pour tout i ∈ {1, . . . , k}, larg(χi) ≤ larg(ξ) − 4. Pour cela, on considère
χ0i un préfixe quelconque de χ. Par définition, ηi = ζ1, c1, χ1, . . . , ζi, ci, χ0i
est un préfixe de ξ. Or, η−i = ζ1−, . . . , ζi−, ti, ti⊗ t0i, si` s0i, si, χ0i
− , ce qui implique en particulier que ln(χ0i−) ≤ ln(ηi−) − 4.
⊗ ` ⊗ ` χ − 1 ζ1− χ−k ζk+1− d01 d0k c1 c01 χ1 ζ1 ck c0k χk ζk
Figure 2.15 – Nœuds coulants et chemins dans l’antiréduit.
(c) k ≤ larg(ξ)3 . Observons que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, on a ti, ti⊗ t0i, t0i qui
est sous chemin de ξ−, donc la longueur de (ξ−) est d’au moins 3k. Or, ln(ξ−) ≤ larg(ξ).
(d) Si k > 0, c’est-à-dire si ξ comporte au moins un nœud coulant, alors larg(ξ) ≥ 4. En effet, dans ce cas, il existe au moins un sous-chemin de ξ
ci, χi, c0i, et les coupures ci comportent deux arbres chacune.
Soit fln : N → N définie comme suit :
— fln(n) = n si n < 4
— fln(n) = 4n3 +n3fln(n − 4) sinon.
On va maintenant procéder à une récurrence sur la largeur de ξ pour montrer que ln(ξ) ≤ fln(larg(ξ)). Si larg(ξ) < 4, alors ξ n’a pas de nœud coulant (point
(d)). Par le lemme 5, on a ln(ξ) ≤ ln(ξ−). Or, on a vu que, par définition, ln(ξ−) ≤ larg(ξ) = fln(larg(ξ)).
Si larg(ξ) ≥ 4, alors ξ peut contenir des nœuds coulants. Par définition de la longueur, on a : ln(ξ) = k+1 X i=1 ln(ζi) + k X j=1 ln(χj) + 4k
En effet, ξ comporte en plus des chemins ζi et χj les 2k coupures ci, c0i, qui sont
chacune de longueur 2.
Par le point (a), on peut poser :
ln(ξ) ≤ ln(ξ−) − 3k +
k
X
j=1
ln(χj) + 4k
et, comme ln(ξ−) ≤ larg(ξ), on obtient :
ln(ξ) ≤ larg(ξ) + k +
k
X
j=1
Par le point (b), larg(χi) ≤ larg(ξ) − 4. Or, par hypothèse de récurrence, on a
ln(χi) ≤ fln(larg(χi)). Donc :
ln(ξ) ≤ larg(ξ) + k + k (fln(larg(ξ) − 4))
Par le point (c), on peut borner k en fonction de la largeur de ξ, et conclure :
ln(ξ) ≤ 4larg(ξ)
3 +
larg(ξ)
3 fln(larg(ξ) − 4) = fln(larg(ξ))
On a donc une borne sur l’augmentation de la longueur des chemins sous réduction parallèle. Nous nous intéressons à la finitude, donc la grandeur de ces bornes n’est pas pertinente pour nos arguments. Mais signalons néanmoins que
fln(n) est de l’ordre de n!.
On peut désormais déduire de ce qui précède la propriété globale qui nous intéresse.
Lemme 7. Soient p⇒mq. ln(q) ≤ fln(ln(p)).
Démonstration. Soit ξ un chemin de q. Par le lemme 6, ln(ξ) ≤ fln(larg(ξ)). Or,
la largeur de ξ est défini comme un maximum de longueur sur des chemins de p (voir définition 7). En particulier, pour tout χ ∈ Ch(q), on a larg(χ) ≤ ln(p).
On conclut bien ln(ξ) ≤ fln(ln(p)), et donc ln(q) ≤ fln(ln(p)) comme voulu.
Cette propriété de borne sur le rallongement des chemins d’interrupteurs est plus commode à établir lorsqu’il s’agit de la réduction axiomatique. Il suffit en effet de formaliser le fait que dans ce cas, les chemins sont contractés, et non déliés comme dans le cas multiplicatif. Ils rencontrent donc moins d’arbres dans le réduit.
Lemme 8. Soient p →ax q tels que p = (hx|ui, −→c ; − →
t ) soit acyclique, et q =
(−→c ;−→t )[u/x]. Alors à tout chemin χ ∈ Ch(q), on peut associer un chemin χ+ dans p qui est plus long que χ, et tel que si χ a pour extrémités t, s, alors χ+ a pour extrémités t[u/x] et s[u/x].
Démonstration. Remarquons dans un premier temps que les occurrences de
sous-arbres étant toujours linéaires dans nos structures, il n’y a pas de contre- indication à utiliser la notation t[x/u] pour désigner l’antécédent d’un arbre
t ∈ SA(q) par la substitution [u/x], définie de la façon naturelle. On étend cette
substitution aux étiquettes d’adjacence et aux chemins.
Une simple vérification permet alors de constater que si t ∼ql s et si t 6= u 6= s,
alors t[x/u] ∼pl[x/u]s[x/u]. Il est en effet naturel que des substitutions dans les
éventuels sous-arbres stricts n’entravent pas l’adjacence entre les parents. Soit donc χ ∈ Ch(q), tel que pour tout arbre t traversé par χ, t 6= u. Alors on pose χ+= χ[x/u].
N’importe quel autre chemin de q est alors nécessairement de la forme χ =
χ01, u, χ02. Posons χ = χ1, t, u, s, χ2 (les cas où χ01 ou χ02 est vide s’en déduisent), et plusieurs configurations sont possibles :
— t, s ∈ SA(u). Dans ce cas on pose χ+ = χ+
1, t, u, s, χ +
2. C’est bien un chemin de p, car par hypothèse de récurrence, on considère construit, (χ1, t)+ = χ+1, t[x/u], qui est un chemin de p, or t[x/u] = t (t ne peut pas être sous-arbre de u et avoir u pour sous-arbre). Même argument pour (s, χ2)+. On vérifie bien que les adjacences entre arbres de χ+ sont correctes dans p.
— u est un sous-arbre immédiat de t. Dans ce cas, s est sous-arbre de u, car
u ne peut être sous-arbre immédiat de deux arbres distincts, ni prémisse
d’une coupure.
Dans ce cas, t[x/u] 6= t, et x est un sous arbre immédiat de t[x/y]. On a donc t ∼pl[x/u] x, où l est l’étiquette telle que t ∼ql u. On pose alors χ+= χ+
1, t[x/u], x, x, u, s, χ + 2.
Il s’agit bien d’un chemin de p car x ∼px,x x, x ∼hx|ui u, s est sous-arbre de u, donc s[x/u] = s, et (s, χ2)+= s[x/u], χ+2 est un chemin de p. — ht|ui ∈ C(q). Le même raisonnement que celui du cas précédent s’applique. — Les autres possibilités sont symétriques à celles déjà traitées.
Corollaire 3. Soient p, q tels que p⇒axq. ln(q) ≤ ln(p).
Démonstration. Il suffit de remarquer dans la preuve du lemme 8 que pour p →ax p1, à chaque chemin de p1on associe un chemin de p qui visite au moins autant d’arbres que le premier.
On itère ce résultat autant de fois que nécessaire, en se rappelant que si
p ⇒ax q, il existe une suite d’arbres (p1, . . . , pk) telle que p →ax p1→ax p2. . . →ax
pk →axq.
Corollaire 4. L’acyclicité est préservée par la réduction axiomatique.
Démonstration. De la preuve du lemme 8, on peut déduire de l’existence d’un
cycle dans le réduit un cycle dans l’antiréduit. Le résultat s’étend à la réduction parallèle de la même façon que ci-dessus.
On peut maintenant donner des résultats généraux sur la réduction parallèle, grâce notamment au résultat de standardisation établi plus tôt.
Théorème 1. Soient p⇒ q. ln(q) ≤ fln(ln(p)).
Démonstration. Par le lemme 2 (standardisation), il existe p0 tel que p ⇒m
p0
⇒axq. Le reste découle de la combinaison du lemme 7 et du Corollaire 3.
Corollaire 5. Soient p⇒ q et p acyclique, q est acyclique.
2.2.3
Parlons de taille
Nous allons désormais, à l’aide des résultats précédents, pouvoir caractéri- ser l’évolution de la taille des structures durant la réduction. Pour cela, nous traitons séparément les phases multiplicative et axiomatique. Nous commençons par définir la taille des structures.
Nous prenons cependant la précaution de définir la taille d’objets plus géné- raux que les structures, de façon à pouvoir parler indépendamment de la taille de (−→c ;−→t ) et de la taille de (−→c ;−→t )[u/x] par exemple, alors qu’en général, si
l’un de ces deux objets est une structure, l’autre n’en est pas une. Ceci est dû aux conditions de fermeture.
Définition 8.
Nous définissons la mesure taille() pour les arbres, les coupures, et les familles d’arbres et de coupures.
— Pour toute variable x, taille(x) = 1.
— taille(tαs) = taille(t) + taille(s) + 1, pour α ∈ {⊗,`}. — taille(ht|si) = taille(t) + taille(s).
— taille ((c1, . . . , ck; t1, . . . , tl)) =Pki=1taille(ci) +Plj=1taille(tj).