Nous présentons maintenant les constructions permettant de définir les boîtes exponentielles, en utilisant une approche syntaxique que nous avons décrite en section 2.1.1.4.
2.4.1
Syntaxe, contextes de boîtes
Définition 20.
On considère dans un premier temps cinq ensembles dénombrables, deux-à- deux disjoints, V, U1, U⊥, U?, B, où B = {abi | i, b ∈ N} est une énumération
de portes de boîtes. On dira que ab
0 est la porte principale de la boîte b, et que
ab
i+1 en est une porte auxiliaire. La réunion de ces cinq ensembles constitue les
atomes de MELL, notés A.
Les pré-arbres de MELL sont donnés par la syntaxe suivante, où x ∈ V, µ ∈ U1, ν ∈ U⊥, κ ∈ U?, abi ∈ B, et n 6= 0 :
T, S ::= x | abi | 1µ| ⊥ν | aκ| ⊗(T, S) |`(T, S) | c(T, S) | d(T )
À nouveau, on identifiera les (co)unités et les affaiblissements avec les indices de leurs occurrences.
On définit SA(T ) l’ensemble des sous-arbres de T comme précédemment, et notons X(T ) = SA(T ) ∩ X, pour tout X ∈ {B, V, U1, U⊥, U?, A}. Un arbre est un pré-arbre dans lequel chaque atome a au plus une occurrence. Une coupure est une paire d’arbres C = hT |Si dont les atomes sont disjoints.
Nous avons décrit les structures de surface, il nous faut maintenant définir les boîtes, de façon à introduire un peu de profondeur dans nos réseaux.
On définit par induction mutuelle les pré-structures et structures de MELL, et les contextes de boîte. Un contexte de boîte Θ est la donnée d’un ensemble fini
BΘ⊂ N, et d’une structure de la forme Θ(b) = i(( − → Cb; − → Sb, Tb), SΘ(b), Θb), pour
tout b ∈ BΘ. On note arΘ(b), ou simplement ar(b) la longueur de − →
Sb, que l’on
appelle arité de la boîte b, et qui correspond au nombre de portes auxiliaires qu’elle comporte.
Une pré-structure est un triplet P = ((−→C ,−→S ), SP, Θ) tel que Θ est un
contexte de boîte, chaque atome a au plus une occurrence dans (−→C ;−→S ), SP est
une fonction de saut de domaine U⊥(( − → C ;−→S )) ∪ U?(( − → C ;−→S )) et de codomaine
SA((−→C ;−→S )), et tel que si ab i ∈ B((
− →
C ;−→S )), alors b ∈ BΘet i ≤ ar(b). Une struc- ture est une pré-structure P = ((−→C ;−→T ), SP, Θ) telle que x ∈ SA((
− →
C ;−→T )) si et
seulement si x ∈ SA((−→C ;−→T )), et si de plus, si b ∈ BΘ, alors abi ∈ SA((
− →
C ;−→T ))
pour tout i ∈ {0, . . . , ar(b)}. On écrira parfois ΘP pour désigner le contexte de
boîte de P .
La profondeur d’une structure P , notée prof (P ), correspond à la profondeur inductive de la définition ci-dessus, c’est le niveau maximal d’imbrication des boîtes de P .
Nous dénoterons souvent abusivement les structures en omettant les infor- mations de sauts ou de contexte de boîte, quand elles ne seront pas pertinentes, et les écrirons ((−→C ;−→T ), Θ) ou encore (−→C ;−→T ).
Les structures sont considérées à nouveau à α-équivalence près, et à renom- mage des atomes près (voir la définition 9).
Il faudra dans la suite prendre le soin de voir si nous raisonnons sur une struc- ture de surface, ou sur une structure en profondeur. Par exemple, taille(P ) = card(SA(P )) correspond au nombre de sous-arbres de P à la profondeur 0, c’est- à-dire sans tenir compte du contenu des boîtes. On doit définir une deuxième notion de taille, qui correspond au nombre de sous-arbres à toutes les profon- deurs. Ainsi on définit la taille à toute profondeur Ptaille(P ) = taille(P ) + P
b∈BΘPtaille(Θ(b)) (cette définition est par induction sur la profondeur).
Remarquons que par définition, pour tout γ ∈ U⊥(P ) ∪ U?(P ), SP(γ) est
un sous-arbre qui est à la même profondeur que γ.
Les chemins sont définis de la même façon que dans DLL0, en ajoutant une nouvelle relation d’adjacence ∼b pour b ∈ BΘ, en posant abi ∼b abj si 0 ≤ i ≤
j ≤ ar(b). Les boîtes se comportent du point de vue des chemins comme des
axiomes d’arité ar(b) + 1. Les chemins sont donc des constructions de surface, le contenu des boîtes n’est pas considéré. On écrit Ch(P ) l’ensemble des chemins de P , et l’on dit que P est acyclique si aucun chemin de P n’est un cycle, et si inductivement Θ(b) est acyclique pour tout b ∈ BΘ. Nous ne considérons à nouveau que des structures acycliques.
2.4.2
Réductions exponentielles
À propos des copies de structures : Dans les constructions qui suivent, nous serons amenés à considérer des copies de structures. Nos structures étant considérées à renommage des feuilles près, une copie d’une structure P est sim- plement une instance de P . Mais si l’on construit une structure faite de plusieurs copies, on considère que les noms des atomes sont renommés à la volée, de façon à ce que les définitions soient respecteés. Par exemple, on a (; x, x) = (; y, y), mais (; x, x, y, y) 6= (; x, x, x, x). Le dernier objet n’étant même pas une struc- ture.
Définition 21.
On définit une famille de réductions qui correspond à l’élimination des coupures de MELL.
Si P = ((hab0|d(S)i,−→C ;−→U ), SP, Θ) est une structure de MELL telle que
Θ(b) = ((−→Cb; S1, . . . , Sar(b), Tb), Θb, SΘ(b)), alors, P →ha0|di
((hab0|Si,−→C ,−→Cb;
− →
U )[Tb/ab0, S1/ab1, . . . , Sar(b)/abar(b)], SP0 ∪ SΘ(b), Θ ∪ ΘΘb)
Dans cette réduction, on remplace toutes les portes de la boîte b par les conclusions de la structure emboîtée, on « ouvre la boîte ». En particulier, hTb|Si est une nouvelle coupure dans la structure réduite. SP0 coïncide avec
SP, à l’exception des γ ∈ U⊥∪ U? tels que SP(γ) = d(S) ou SP(γ) ∈ {abi |
0 ≤ i ≤ ar(b)}. Dans le premier cas, on pose SP0 (γ) = S, et dans le second,
SP0 (γ) = SP(γ)[Tb/ab0, S1/ab1, . . . , Sar(b)/abar(b)]. ab 1 a b ar(b) ab0 · · · Θ(b) d S →ha0|di Θ(b) S1 Sar(b) Tb S
Figure 2.25 – Réduction promotion/déréliction, la boîte est ouverte Si P = ((hab
0|c(T1, T2)i, − →
C ;−→U ), SP, Θ) et si le contenu de la boîte b est égal à
Θ(b) = ((−→Cb; S1, . . . , Sar(b), Tb), Θb, SΘ(b)), alors on doit considérer deux copies distinctes de Θ(b) (avec des ensembles d’atomes disjoints). Pour i ∈ {1, 2}, on pose Pi = ((
− →
Cbi; Si,1, . . . , Si,ar(bi), Tbi), Θbi, SΘ(bi)) deux copies de Θ(b). On
pose alors P →ha0|ci hab1|T 1i, hab2|T2i, − → C ;−→U([c(ab1 i , a b3 i )/a b i])i∈{1,. . . ,ar(b)}, SP0 , Θ0
où SP0 coïncide avec SP, sauf pour les atomes γ tels que SP(γ) = (¸T1, T2) ou
SP(γ) ∈ {abi | 0 ≤ i ≤ ar(b)}, dans le premier cas, on pose SP0 (γ) = T1, et dans le second, SP0 (γ) = SP(γ)([abi/c(a
b1 i , a b3 i )])i∈{1,. . . ,ar(b)}[ab01/a b 0]. Quant à Θ0, il est défini comme (Θ/{b → P }) ∪ {b1 → P1, b2 → P2}. On a remplacé la boîte par ses deux copies dans le contexte.
Si P = ((hab0|aκi,
− →
C ;−→U ), SP, Θ) et si le contenu de la boîte b est égal à
Θ(b) = ((−→Cb; S1, . . . , Sar(b), Tb), Θb, SΘ(b)), alors on pose :
P →ha0|ai(( − → C ;−→U )([aκi/a b i])i∈{1,. . . ,ar(b)}, SP0 , Θ 0)
où les aκi sont des nouveaux noms d’affaiblissements, et où S
0
P coïncide avec
SP, sauf pour les atomes γ tels que SP(γ) ∈ {aκ, ab0} ou SP(γ) ∈ {abi | 1 ≤ i ≤
ar(b)}. Dans le premier cas, on pose SP0 (γ) = aκ1, et dans le second, on pose
SP0 (γ) = SP(γ)([aκi/a
b
i])i∈{1,. . . ,ar(b)}. De plus, il faut que SP0 soit défini pour
les nouveaux affaiblissements, sans que ne soit créé un cycle. On pose donc pour tout i ∈ {1, . . . , ar(b) − 1}, SP0 (aκi) = aκi+1, et S
0
P(aκar(b)) = SP(a(κ)). Et bien sûr, SP0 (aκ) n’est plus défini, car aκ n’apparaît plus. Comme toutes les portes
ab 1 a b ar(b) ab0 · · · Θ(b) c T1 T2 →ha0|ci ab1 1 a b1 ar(b1) a b1 0 · · · P1= Θ(b1) ab2 1 a b2 ar(b2) a b2 0 · · · P2= Θ(b2) T1 T2 c · · · c
Figure 2.26 – Réduction promotion/contraction, la boîte est dupliquée
d’une même boîte sont adjacentes, on vérifie facilement que l’on n’a pas créé de chemins dans le réduit entre deux arbres qui n’étaient pas reliés dans P , on conserve donc l’acyclicité.
ab 1 a b ar(b) ab0 · · · Θ(b) a κ →ha0|ai a κ1 a κar(b) · · ·
Figure 2.27 – Réduction promotion/affaiblissement, le contenu de la boîte est effacé
Si P = ((hab0|acl+1i,
− →
C ;−→U ), SP, Θ) et si le contenu de c est égal à Θ(c) =
((−→Cc; S1, . . . , Sar(c), Tc), Θc, SΘ(c)), alors il faut construire une nouvelle boîte. On pose Q = ((hab0|Sl+1i, − → Cc; ab1, . . . , a b ar(b), (Sj)j∈{1,. . . ,ar(b)}/{Sl+1}, Tc), Θc, S∅)
Q correspond au réseau où l’on a ouvert la boîte c, pour couper l’arbre corres-
pondant à ac
l+1avec a b
0. Ici, Θ0c= Θc∪ {b → Θ(b)}, et S∅ est la fonction de saut vide. On pose alors P →ha0|ai(( − → C ;−→U )([adi/a b
i])1≤i≤ar(b)([adar(b)+j/a
c
j])1≤j≤ar(c)[ad0/a
c
0], SP0 , Θ0)
où Θ0 = (Θ/{b → Θ(b), c → Θ(c)}) ∪ {d → Q} et où S0P coïncide avec SP,
sauf pour les atomes γ tels que SP(γ) ∈ {abi | i ∈ {1, . . . , ar(b)} ∪ {a c j | c ∈
{0, . . . , ar(c)}/{l + 1}}, auquel cas on pose :
SP0 (γ) = SP(γ)([adi/abi])1≤i≤ar(b)([adar(b)+j/a
c
ou tels que SP(γ) ∈ {ab0, acl+1}, auquel cas on pose S0P(γ) = ad0. On fait ce choix car il est possible que ar(d) = 0, et car ainsi on ne risque pas non plus de créer de cycle (il aurait par ailleurs été possible de rediriger ces sauts dans Q, en conservant les mêmes propriétés). On peut vérifier que la structure réduite respecte les contraintes de la définition des structures et contextes de boîte, notamment en s’assurant que le contexte d → Q est cohérent, respectivement à l’arité des boîtes. On remarque par ailleurs que l’arité de d est égale à (ar(b) + ar(c)) − 1. ab 1 a b ar(b) ab0 · · · Θ(b) ac l+1 a c ar(c) ac0 · · · Θ(c) →ha0|ai ab 1 a b ar(b) ab0 · · · Θ(b) Sl+1 Sar(c) Tc Θ(c) ad 1 a d ar(b) a d (ar(b)+ar(c))−1 ad0
Figure 2.28 – Réduction promotion/promotion (pour l = 0) De plus, on conserve les réductions →met →ax de MLL.