2.2 Réseaux multiplicatifs sans unités
2.2.2 Élimination des coupures parallèle
2.2.3.1 Taille des structures et réduction multiplicative
Rappelons que l’on cherche à évaluer l’effondrement de la taille des structures sous réduction parallèle. Si l’on commence cette étude en se restreignant à la réduction parallèle multiplicative, on peut montrer aisément que la perte de taille est constante.
Lemme 9. Soient p⇒mq. taille(p) ≤ 3taille(q)2 .
Démonstration. Il suffit de remarquer que si c = ht ⊗ t0|s` s0i est une coupure multiplicative, alors la taille de t, t0, s, s0 vaut au moins 1. De plus, si d = ht|si et d0 = ht0|s0i, alors il suit que taille(c) = taille(d) + taille(d0) + 2.
Posons p = (c1, . . . , ck, −→c ; − → t ) et q = (d1, d01, . . . , dk, d0k, − →c ;−→ t ), avec pour
tout i, ci = hti⊗ t0i|si` s0ii, di= hti|sii et d0i = ht0i|s0ii. Par le point précédent,
taille(p) = taille(q) + 2k. Or, on a bien taille(q) + 2k ≤ 3taille(q)2 dès que taille(q) ≥ 4k, ce qui est le cas car les arbres sont de taille non nulle.
2.2.3.2 Taille des structures et réduction axiomatique
La situation est tout à fait différente dans le cas de la réduction des axiomes, car les chaînes de coupures se contractent, et voient la taille de la structure de réduire d’autant d’arbres qu’il y avait de variables le long de la chaîne en question.
Si l’on considère une structure p = (hx1|x2i, . . . , hxk−1|xki, hxk|ui, −→c ;
− → t ), on constate que p⇒ax q = (−→c ; − →
t )[u/x1]. Dans ce cas, il apparaît que q contient 2k variables de moins que p. La perte de taille n’est donc plus constante. Cette situation est illustrée en figure 2.16.
La difficulté ici sera donc d’isoler ces cas de figure pour en caractériser le comportement, et d’en extraire des bornes satisfaisantes. L’idée est d’utiliser la mesure ln() étudiée précédemment. On pourra en effet voir que le cas critique
ax ax ax u
x1 x1 x2 x2 xk xk
⇒ax u
Figure 2.16 – Effondrement de la taille lors de la réduction d’une chaîne d’axiomes.
illustré en figure 2.16 sera contrôlé par le fait que les chaînes d’axiomes de lon- gueur k (k axiomes, 2k variables) induisent un chemin longeant cette chaîne, et composé d’au moins 2k arbres. Si nous avons connaissance de ln(p), nous pou- vons alors borner la longueur maximale des chaînes d’axiomes y apparaissant. Ainsi, le lemme 10 traite ces cas critiques responsables de l’effondrement de la taille des structures.
L’idée de la preuve est ici de caractériser précisément la forme des structures contenant des chaînes de coupures, pour détailler l’évolution de la taille en s’ap- puyant sur le fait que la longueur de ces chaînes sont bornées. En particulier, il s’agit d’écrire les substitutions issues de la réduction dans un ordre particulier. On peut déjà remarquer dans la figure 2.16 qu’effectuer la suite de substitu- tions ([x2/x1]. . . [xk/xk−1], [u/xk]), qui correspond à une exécution correcte de
l’élimination des coupures, revient à procéder à l’unique substitution [u/x1]. Iso- ler donc les chaînes de coupures d’axiomes les plus longues permet de ramener chaque chaîne à une seule substitution, et de traiter l’évolution de la taille en conséquence, en utilisant le fait que taille(q[t/x]) = taille(q) − 2 + taille(t) (car les deux variables x etx sont effacées).
Lemme 10. Soient p⇒ax q. taille(p) ≤ ln(p)taille(q).
Démonstration. Posons p = (hx1|t1i, . . . , hxn|tni, −→c ; −→s ) et posons son réduit
q = (−→c ; −→s )[t1/x1] · · · [tn/xn] avec xi 6∈ V(tj) pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Pour établir
le résultat dans ce cas, on rend explicites les chaînes d’axiomes.
Grâce à la condition sur les variables libres dans les structures, il existe une permutation (nécessairement unique) de hx1|t1i, . . . , hxn|tni menant à une
famille de la forme −→c1, . . . , −→ck telle que :
— pour 1 ≤ i ≤ k, on peut écrire −→ci= hxi0|xi1i, . . . , hxini−1|x
i nii, hx
i ni|t
ii ;
— chaque −→ci est maximal avec cette forme, i.e. xi06∈ {x1, . . . , xn, t1, . . . , tn}
et, si ti est une variable,ti6∈ {x1, . . . , xn, t1, . . . , tn} ;
— si i < j, alors hxini|t
ii apparaît avant hxj nj|t
ji dans hx
1|t1i, . . . , hxn|tni.
Il suit que si xi0∈ V(tj), alors j < i, et donc q = (−→c ; −→s )[t1/x10] · · · [tk/xk0], en appliquant la même permutation aux substitutions, de la même façon qu’avec les coupures : Nous pouvons procéder ainis car par un argument standard, si x 6= y, x 6∈ V(u) et y 6∈ V(u) alors γ[u/x][v/y] = γ[v/y][u/x]. Pour 1 ≤
i ≤ k, comme −→ci induit un chemin composé de 2(ni) + 3 arbres (le chemin
xi 0, xi0, . . . , xini, x i ni, t i), il suit que 2n i≤ ln(p) − 3. Par définition, on a :
taille(p) = taille(−→c ) + taille(−→s ) +
k
X
i=1
Par ce qui précède, on peut donc poser :
taille(p) ≤ taille(−→c ) + taille(−→s ) +
k X i=1 taille(ti) + k ((ln(p) − 3) + 2) = taille(−→c ) + taille(−→s ) + k X i=1 taille(ti) + k(ln(p) − 1)
De plus, taille(q) = taille(−→c ) + taille(−→s ) +Pk
i=1taille(t
i) − k. On a donc
taille(p) ≤ taille(q) + k(ln(p) − 1) et, pour conclure, il sera suffisant de montrer que taille(q) ≥ k. Pour 1 ≤ i ≤ k, soit Ai = {j > i | x j 0 ∈ V(t i)}, et soit A 0 = {i | xi0 ∈ V(−→c , −→s )}. Il découle de la construction que {A0, . . . , Ak−1} est une parti-
tion (pouvant contenir des ensembles vides) de {1, . . . , k}. Par construction, taille(ti) > card(A
i). Considérons maintenant qi = (−→c ; −→s )[t1/x10] · · · [ti/xi0] pour 0 ≤ i ≤ k tel que q = qk. Pour 1 ≤ i ≤ k, on obtient taille(qi) =
taille(qi−1) + taille(ti) − 1 ≥ taille(qi−1) + card(Ai). Observons également que
taille(q0) = taille(−→c ; −→s ) ≥ card(A0). On peut enfin conclure : taille(q) =
taille(qk) ≥Pki=0card(Ai) = k.
2.2.3.3 Taille des structures en général et finitude de l’antiréduction Nous pouvons grâce aux résultats précédents donner un premier résultat de finitude de l’antiréduction parallèle des réseaux. Celui-ci est conditionné à l’existence d’une borne sur ln(p), pour les structures p concernées. En tant que résultat sur MLL, cette contrainte n’a pas de signification particulière ; mais rappelons que l’objet d’étude vers lequel nous nous dirigeons, le développement de Taylor des réseaux avec exponentielles et unités, consistera en des combi- naisons linéaires infinies de réseaux dont le comportement est essentiellement multiplicatif. Il s’agira en tant voulu de montrer que ces combinaisons respectent une certaine borne sur ln(p), pour tous les p y apparaissant, et d’importer les ré- sultats suivants en les adaptant à la syntaxe adéquate pour obtenir les propriétés voulues.
Commençons par une propriété naturelle, mais essentielle et qui justifie notre obsession relative aux questions de taille.
Propriété 1. Soit k un entier naturel. {p ∈ MLL− | taille(p) ≤ k} est un
ensemble fini.
Démonstration. Il suffit de se rappeler que nos structures sont quotientées par
le renommage des variables. En particulier, il n’existe aucune structure de taille 1, et il existe deux structures de taille 2 :(; x,x) et (hx|xi; ) (si l’on considère les
structures cycliques, ce qui ne change pas le résultat).
On remarque ensuite qu’il n’existe pour toute structure de taille k qu’un nombre fini d’extensions en une structure de taille k+1 ou k+2 (il faut considérer le cas +2 pour l’ajout d’un axiome).
Théorème 2. Soient k, l ∈ N, et q une structure de MLL−. {p ∈ MLL− |
Démonstration. Par induction sur k. Si k = 0, alors l’ensemble ne contient que p. Si k = k0+ 1, alors {p ∈ MLL− | ln(p) ≤ l ∧ p ⇒k q} = {p ∈ MLL− | ln(p) ≤ l ∧ ∃p1∈ MLL−∧ p ⇒ p1⇒k 0 q}. Par le théorème 1, {ln(p1) | p⇒ p1} est borné par fln(ln(p)). Donc par hypothèse d’induction, X = {p1∈ MLL−| ∃p ⇒ p1∧ ln(p) ≤ l ∧ p1⇒k 0 q} ⊆ {p1 ∈ MLL− | ln(p1) ≤ fln(l) ∧ p1 ⇒k 0 q} est fini.
Soit p1∈ X. Par le lemme 2, {p | p ⇒ p1} = {p | ∃p0, p ⇒ax p0⇒mp1}. Or, par le lemme 9, {taille(p0) | p0⇒mp1} est borné par 3taille(p2 1). En particulier, la propriété 1 permet d’affirmer que {p0| p0
⇒mp1} est fini.
De même, par le lemme 10, {taille(p) | p⇒ax p0∧ ln(p) ≤ l} est borné par
l(taille(p0)), et par la propriété 1, {p | p⇒ax p0∧ ln(p) ≤ l} est fini pour tout
p0.
On a donc, en regroupant les deux points qui précèdent, {p | p⇒ p1∧ln(p) ≤
l} fini pour tout p1. Or, X ⊆ {p1 ∈ MLL− | ln(p1) ≤ fln(l) ∧ p1 ⇒k q} est fini, donc {p ∈ MLL− | p ⇒ p1∈ X} = {p ∈ MLL−| ln(p) ≤ l ∧ p ⇒k q} est également fini.