Variation avec la s´eparation

Etant donn´ee la faible distance qui s´epare les transducteurs par rapport au diam`etre du jet et les distances de s´eparation, la pr´esence d’un sillage cr´e´e par les transducteurs n’est pas `a exclure. Celui-ci pourrait avoir une incidence sur les mesures, en particulier pour les grandes distances de s´eparation. Pour v´erifier l’absence d’un tel effet, une exp´erience a ´et´e faite en pla¸cant les quatre transducteurs face au jet, et le fil chaud hors de la zone de mesure, en l´eger amont des transducteurs, de sorte que ni le sillage du fil, ni un ´eventuel sillage des transducteurs ne puisse exister dans la zone de mesure. Aucune diff´erence notable n’a ´et´e constat´ee, ni pour les statistiques d´ej`a pr´esent´ees (histogrammes, vitesse moyenne, etc.), ni pour l’intercorr´elation lagrangien-eul´erien (voir la gauche de la figure 6.18). Seul le d´ebut du segment moyen (cf 5.2.2, page 88) subit un changement visible (droite de la figure 6.18). Ce petit changement dans la vitesse est `a mettre sur le compte de la l´eg`ere asym´etrie de la zone de mesure introduite par la variation du vecteur d’onde de diffusion (voir figure 3.18, page 64).

6.3.3 Variation avec la s´eparation

Les courbes pr´esent´ees au paragraphe pr´ec´edent ont ´et´e obtenues avec le fil chaud `a l’int´e-rieur mˆeme de la zone de mesure. Il est int´eressant d’´etudier le comportement de l’intercorr´e-lation lorsque le fil est d´eplac´e en aval de la zone. `A cause de contraintes d’encombrement, de

122 6. Corr´elations lagrangiennes −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Décalage temporel [s] Intercorrélation x y z −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Décalage temporel [s] Intercorrélation x y z

Fig.6.17 – Intercorr´elations entre les vitesses eul´erienne et lagrangienne apr`es m´elange al´eatoire des segments. La destruction du synchronisme entre les deux signaux d´etruit ´egalement la corr´elation.

grandes s´eparations n’ont pu ˆetre obtenues qu’avec la zone de mesure `a 1,8 m de la buse. `A cette distance, plusieurs exp´eriences ont ´et´e faites, pour des s´eparations l allant de 12 cm `a 168 cm. La figure 6.19 pr´esente en superposition les diff´erentes courbes d’intercorr´elation obtenues. La d´ecorr´elation n’a lieu qu’au del`a de 1,5 m de s´eparation. Cette distance est `a comparer `a la longueur int´egrale, qui est de l’ordre d’une dizaine de centim`etres.

Plusieurs ph´enom`enes sont visibles simultan´ement. Le niveau de l’intercorr´elation corres-pondant au maximum de corr´elation diminue lorsque la s´eparation augmente. Le d´ecalage tem-porel, lui, augmente. Un ´elargissement de la courbe est ´egalement visible `a grande distance. Pour s’assurer que l’´evolution de la position du maximum correspond bien au temps de vol entre la zone de mesure et le fil chaud, une estimation de ce temps a ´et´e faite en int´egrant l’inverse de la vitesse sur l’axe depuis la position du centre de la zone de mesure jusqu’au fil chaud. Les valeurs obtenues ont ´et´e repr´esent´ees avec de petites croix sur la figure pr´ec´edente (la position verticale a ´et´e prise ´egale `a celle du maximum de la courbe correspondante). L’accord est excellent pour les petites s´eparations, puis se d´egrade progressivement. Pour les distances les plus grandes, la valeur calcul´ee sous-estime l´eg`erement la valeur r´eelle [9]. C’est parfaitement compatible avec le fait que les bulles passent dans des zones loin de l’axe, o`u la vitesse moyenne y est beaucoup plus faible. Pour de petites s´eparations, la diff´erence de temps de vol est assez faible, et la diff´erence se manifeste progressivement au fur et `a mesure que la s´eparation spa-tiale augmente. L’´elargissement des courbes peut lui aussi s’expliquer par ce mˆeme argument. Plus la s´eparation spatiale augmente, plus la dispersion des temps de vol va augmenter. Avec la quantit´e de donn´ees dont nous disposons, il est malheureusement assez difficile de quanti-fier ce ph´enom`ene. Des exp´eriences avec des temps d’enregistrement plus ´elev´es permettront d’augmenter la convergence statistique, et de calculer des intercorr´elations plus pr´ecises.

Il est n´eanmoins possible de faire une comparaison avec l’´evolution des intercorr´elations eu-l´eriennes. Nous avons pour cela effectu´e des mesures simultan´ees avec deux fils chauds sur l’axe. Le fil amont a ´et´e plac´e `a la distance de la buse correspondant au centre de la zone de mesure,

6.3. Intercorr´elation lagrangienne - eul´erienne 123 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Décalage temporel [s] Intercorrélation (z) s20062004 s21062004 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 Temps [s] Vitesse moyenne (z) [m/s] s20062004 s21062004

Fig. 6.18 – Comparaison des intercorr´elations (`a gauche) et des segments moyens (`a droite) obtenus pour deux exp´eriences o`u la position des transducteurs est sym´etrique.

et le fil aval a ´et´e plac´e aux diff´erentes positions utilis´ees pour les mesures d’intercorr´elation lagrangien-eul´erien. Pour que le fil aval ne soit pas ou peu influenc´e par le sillage du fil amont, il a ´et´e d´ecal´e de l’axe d’environ un centim`etre. La figure 6.20 montre les intercorr´elations entre vitesses eul´eriennes et les intercorr´elations entre vitesses lagrangienne et eul´erienne. Pour les distances de s´eparation faibles, la valeur d’intercorr´elation eul´erienne-eul´erienne est bien sup´e-rieure `a celle de l’intercorr´elation lagrangien-eul´erien. Par contre, des valeurs du mˆeme ordre se retrouvent sur les deux graphiques, pour des valeurs de s´eparation grandes devant la longueur int´egrale. Les variations en fonction de la distance `a la buse seront ´etudi´ees un peu plus loin. Mise `a part cette diff´erence dans les niveaux de corr´elation, le comportement des deux s´eries de courbes est tr`es similaire. La figure 6.21, qui montre la superposition des intercorr´elations distance de s´eparation par distance de s´eparation permet de s’en assurer. Pour autant que la faible convergence statistique permette de juger, les d´ecalages temporels ainsi que les largeurs sont tr`es voisins. Le passage par z´ero des intercorr´elations co¨ıncide ´egalement remarquablement avec celui des autocorr´elations du signal du fil chaud aval. Il est donc probable que le mˆeme m´ecanisme pr´eside `a l’´evolution des trois s´eries de courbes.

Quantitativement, le temps caract´eristique eul´erien (par exemple le temps int´egral) se com-porte comme le carr´e de la distance `a la buse [63] (cf 6.2.4). Ceci permet de supposer qu’il en est de mˆeme pour les intercorr´elations eul´erienne-lagrangienne. Il reste n´eanmoins `a refaire des exp´eriences pour am´eliorer la convergence des courbes et v´erifier la pr´esence d’un ´eventuel ´ecart.

L’´evolution des maxima pour les deux types de mesure est pr´esent´e sur la figure 6.22, avec le mˆeme graphique en ´echelles lin´eaires et logarithmiques. Malgr´e un bruit tr`es ´elev´e, il est clair que les intercorr´elations lagrangien-eul´erien et eul´erien-eul´erien ne varient pas de la mˆeme mani`ere, au moins pour les distances de s´eparation faibles. Id´ealement, le maximum d’intercorr´elation eul´erien-eul´erien doit tendre vers un pour une distance de s´eparation nulle. Dans notre cas, la limite semble ˆetre plutˆot de 0,7, valeur qui s’explique par la s´eparation lat´erale d’un centim`etre entre les deux fils, pour ´eviter les effets de sillage. `A grande distance, l’effet

124 6. Corr´elations lagrangiennes PSfrag replacements D´ecalage temporel [s] In tercorr ´elation (z) 1.68 m 0.12 m 0.40 m 0.80 m 1.20 m 1.50 m -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Fig. 6.19 – Variation de l’intercorr´elation lagrangien-eul´erien avec la distance de s´eparation dz entre le centre de la zone de mesure et le fil chaud. Les croix indiquent le temps de vol calcul´e `a partir de la vitesse longitudinale sur l’axe.

de la s´eparation lat´erale s’estompe, et on peut envisager un comportement en loi de puissance d’exposant moins un. Pour l’intercorr´elation lagrangien-eul´erien, les choses sont moins claires.

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A faible s´eparation, un comportement lin´eaire est envisageable, alors qu’`a grande s´eparation, on retrouve une ´evolution comme l’inverse de la distance. Des exp´eriences compl´ementaires permettront sans doute de trancher.