Fig. 2.15 – Exemple de signal acoustique diffus´e par une bulle de savon.
de
2,5·103
150·103 · 340
2·sin (120˚/2) = 3,27 m·s
−1,
qui est bien du mˆeme ordre que celle fournie par le tube de Pitot.
1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.5 1.51 1.52 x 105 10−6
Fréquence [Hz]
Amplitude [u.a.]
Fig. 2.16 – Spectre du signal acoustique re¸cu. La fl`eche indique la position de la fr´equence de l’onde incidente.
2.9 Qualit´e du suivi lagrangien
Une fois le traceur d´etermin´e et l’exp´erience en fonctionnement, il est l´egitime de se poser la question de savoir ce que la position et la vitesse de la bulle a en commun avec la particule fluide dont elle prend la place. La physique de ce probl`eme est extrˆemement complexe, et son ´etude a d´ebut´e il y a d´ej`a plusieurs d´ecennies. La simple situation d’une boule se d´epla¸cant sous
42 2. Traceurs et bulles de savon le seul effet de la pesanteur dans un liquide au repos est largement incompris, sans doute en raison de notre ignorance sur le ph´enom`ene de turbulence. Pour les aspects exp´erimentaux de ce probl`eme, on pourra consulter la th`ese de Nicolas Mordant [35], qui y consacre un chapitre tout entier.
La plus grande humilit´e est donc de rigueur lorsque l’on souhaite aboutir `a des conclusions sur la ressemblance dans un ´ecoulement pleinement turbulent entre le mouvement d’une parti-cule et celui du fluide non perturb´e. L’article de r´ef´erence en la mati`ere semble ˆetre celui ´ecrit par Maxey et Riley [33] sur le mouvement d’une sph`ere dans un ´ecoulement quelconque. Ils reprennent les diff´erents r´esultats d´ej`a ´etablis, montrent les erreurs et les limitations et essayent de parvenir `a une ´equation ne contenant aucune incoh´erence. Sous l’hypoth`ese que la taille de la sph`ere est tr`es petite devant la plus petite ´echelle de longueur de l’´ecoulement, ils aboutissent `a l’´equation suivante : mρdVi dt =(mρ−mF)gi +mF Dui Dt Y(t) − 1 2mF d dt Vi(t)−ui[Y(t), t]− 1 10 a 2∇2ui Y(t) −6πaµ Vi(t)−ui[Y(t), t]− 1 6 a 2∇2ui Y(t) −6πa2µ Z t 0 dτ d dτ h Vi(τ)−ui[Y(τ), τ]− 1 6 a2∇2ui|Y(τ)i [πν(t−τ)]1/2 (2.10)
mρ,mF masse de la sph`ere et du fluide d´eplac´e, resp. g champ de pesanteur
Y position du centre de la sph`ere a rayon de la sph`ere
ν viscosit´e cin´ematique
V vitesse du centre de la sph`ere u vitesse du fluide non perturb´e
d
dt d´eriv´ee temporelle en suivant la sph`ere
D
Dt d´eriv´ee temporelle en suivant le fluide non perturb´e
Cinq termes sont pr´esents dans le membre de droite. Le premier correspond `a la force exerc´ee par la pesanteur (pouss´ee d’Archim`ede). Le second est l’acc´el´eration que subirait la particule fluide dont la sph`ere occupe le volume. Le troisi`eme est dit de “masse ajout´ee”, le quatri`eme est la train´ee de Stokes. Enfin le cinqui`eme est un frottement visqueux dont la valeur d´epend de tous les instants pr´ec´edents, c’est pourquoi il est appel´e terme d’histoire.
La premi`ere hyoth`ese que nous ferons sera que la densit´e de la particule est parfaitement ´egale `a celle du fluide (mρ =mF), la seconde que le temps de passage dans la zone de mesure soit relativement bref. Si la seconde hypoth`ese est v´erifi´ee, le terme d’histoire peut ˆetre n´eglig´e.
On a a2∇2ui|Y(t) ∼ a2vk
η2
k vk, avec vk et ηk respectivement la vitesse et l’´echelle de Kolmogorov. Sous l’hypoth`ese Vi−ui a2vk
η2
2.9. Qualit´e du suivi lagrangien 43 mρ dVi dt = +mF Dui Dt Y (t) − 1 2mF d dt(Vi(t)−ui[Y(t), t]) −6πaµ(Vi(t)−ui[Y(t), t]). (2.11)
En utilisant les formules des d´eriv´ees particulaires, on trouve que Dui Dt = dui dt −(Vj−uj) ∂ui ∂xj (2.12) L’´equation 2.11 devient alors
mFd(Vi−ui)
dt =−6πaµ(Vi−ui)−(Vj −uj)
∂ui
∂xj
. (2.13)
Si Vi −ui est suffisamment faible pour qu’`a l’´echelle de la sph`ere les effets visqueux pr´e-dominent, le dernier terme est n´egligeable et l’´equation du mouvement pour la sph`ere devient finalement :
mF
d(Vi−ui)
dt =−6πaµ(Vi−ui). (2.14) Cette ´equation n’apporte malheureusement pas grand chose `a l’estimation de la qualit´e du suivi lagrangien. En effet, sa solution en r´egime permanent estVi=ui. Elle peut ´eventuellement donner un ordre de grandeur du temps n´ecessaire `a l’amortissement du r´egime transitoire lors de l’injection de la bulle. La solution obtenue n’en reste pas moins contradictoire avec l’hypoth`ese qui a ´et´e effectu´ee plus haut, `a savoir Vi−ui a2vk
η2
k, de sorte que le suivi id´eal (Vi =ui) est impossible, mˆeme lorsque les densit´es sont parfaitement ´egales. Les d´eviations sont exprim´ees par les termes qui ont ´et´e n´eglig´es : ceux exprimant la variation des cisaillements de vitesse, et le terme de m´emoire. Il n’est pas facile d’en tirer quelque chose de simple, l’interaction entre l’´ecoulement et la bulle ´etant fondamentalement non lin´eaire.
Chapitre 3
Mesures acoustiques dans un jet
Au chapitre pr´ec´edent, nous avons esquiss´e les grandes lignes du principe de mesure acous-tique, que nous allons pr´esenter en d´etail dans les paragraphes qui suivent. De nombreuses contraintes exp´erimentales devront ainsi ˆetre prises en compte lors de la conception et de l’uti-lisation du syst`eme. Parmi les difficult´es rencontr´ees, l’impossibilit´e pratique de produire des ondes planes tient une place tr`es importante. La r´eduction du bruit (bruit de phase, ´echos), va ´egalement avoir une influence sur les exp´eriences, ainsi que sur le traitement de signal qui suit l’enregistrement. Nous nous int´eressons ´egalement `a la mod´elisation du syst`eme.
3.1 Echelles caract´´ eristiques
Avant d’aborder la pr´esentation des dispositifs mat´eriels qui ont permis de r´ealiser les mesures, attardons-nous un instant sur les capacit´es id´eales `a atteindre. En tout ´etat de cause, il ne sera pas possible de suivre une particule sur un temps ou une longueur arbitrairement grande. L’´ecoulement consid´er´e ´etant `a vitesse moyenne non nulle, le traceur va tˆot ou tard sortir du jet, o`u son comportement ne sera plus caract´eristique de la turbulence. D’autre part, la vitesse d’une bulle n’est mesurable qu’en pr´esence d’une onde acoustique, qui sera n´ecessairement pr´esente dans une portion limit´ee de l’espace. Ces deux facteurs font que la distance (resp. la dur´ee) de suivi d’un traceur sera limit´ee. Si cette distance est trop petite, on retombe dans un cas de mesure de vitesse eul´erienne (le principe en v´elocim´etrie laser n’est pas diff´erent, et il s’agit bien d’une mesure eul´erienne). Pour obtenir des informations lagrangiennes, il faudra donc suivre une particule sur une distance suffisante.
Soit Ts le temps moyen pendant lequel une bulle est d´etect´ee et ls la taille caract´eristique de la zone de mesure. Les deux sont reli´es par le biais de la vitesse moyennehuide l’´ecoulement `a l’endroit de la zone de mesure : ls/Ts = hui. Soit T le temps caract´eristique lagrangien. Pour avoir une mesure correcte, il faut que Ts T, c’est-`a-dire ls T hui. Or, Thui est du mˆeme ordre que L, la grande ´echelle de l’´ecoulement, de sorte que la condition Ts T est ´equivalente `a lsL. La grande ´echelle ne d´epend que de grandeurs g´eom´etriques (dans le cas du jet, le diam`etre de la buse, et la distance `a celle-ci). Pour que la mesure embrasse plusieurs temps lagrangiens, il est n´ecessaire que la zone de mesure recouvre plusieurs grandes ´echelles eul´eriennes. Le changement de la vitesse `a la buse ne changera rien au rapport Ts/T, seul le changement du diam`etre de la buse ou le d´eplacement dans le jet – ce qui est ´equivalent – a un effet. Le syst`eme de mesure doit donc ˆetre capable de suivre une bulle de savon sur au moins une grande ´echelle eul´erienne, qui selon la position dans le jet utilis´ee pour les enregistrements,
46 3. Mesures acoustiques dans un jet va d’environ 6 cm `a 12 cm (cf 2.1 et annexe A). Le faisceau acoustique incident devra donc avoir un diam`etre au moins ´egal `a ces valeurs. Il vaut 24 cm avec les transducteurs utilis´es.
L’autre extr´emit´e de la plage d’´echelles temporelles est born´ee inf´erieurement par un tempsτl, qui est id´ealement inf´erieur au temps de Kolmogorov τη = (ν/)1/2. Ce temps varie de 0,9 ms `a 3,5 ms, ce qui correspond `a des fr´equences de 280 Hz `a 1100 Hz. C’est la r´esolution temporelle n´ecessaire pour esp´erer r´esoudre les plus petites ´echelles. Ces valeurs sont d´ej`a tr`es ´elev´ees, et ne sont que des bornes inf´erieures ! En pratique, les valeurs limites sont bien plus faibles, `a cause de la taille non nulle des traceurs, qui limite les ´echelles spatiales accessibles. Le temps carac-t´eristique associ´e `a l’´echelle l est t(l) =l/δu(l), o`u δu(l) = (l)1/3 est la vitesse caract´eristique `a l’´echelle l. En prenant l = 2 mm, t(l) varie pour les diff´erentes positions utilis´ees entre 6 ms et 14 ms, ce qui est nettement plus accessible.