Variation des param`etres du mod`ele

La plupart des param`etres qui caract´erisent un ´etat de fonctionnement de la machine peuvent pr´esenter des impr´ecisions. Nous pouvons alors d´efinir une plage de variation pour chacun des param`etres et, par discr´etisation, g´en´erer plusieurs simulations pour un ´etat de fonctionnement donn´e. Dans la section suivante, nous nous proposons d’iden- tifier les param`etres dont les valeurs sont impr´ecises, leur plage de variations et leur discr´etisation.

´Etude des param`etres d’entr´ee de simulation

La simulation fine d’une coupe d’alternateur est caract´eris´ee par un ensemble de param`etres physiques (liste non exhaustive) :

– la vitesse de rotation, i.e. la fr´equence, – le courant d’excitation,

– la non lin´earit´e des mat´eriaux ferromagn´etiques, – la conductivit´e des amortisseurs,

– les param`etres g´eom´etriques des diff´erents composants de la machine, – les r´esistances et inductances de phases, ...

(a) Machine saine

(b) D´efaut Ecc44

Il est `a noter que nous ne consid`erons pas ceux d’ordre math´ematique : coefficient de relaxation, pr´econditionneur etc.

La variation des param`etres (coefficients de Marroco) li´es `a la saturation des mat´eriaux magn´etiques ´etant difficile `a mettre en œuvre, nous n’agirons pas dessus [36]. Il en est de mˆeme pour les param`etres g´eom´etriques de la machine qui remettraient en cause le maillage.

Les param`etres qui sont les plus incertains et qui n’induisent pas des modifications majeurs du mod`ele sont : la vitesse de rotation, le courant d’excitation, la conductivit´e des amortisseurs ainsi que les r´esistances et inductances des phases. Une ´etude de sensibilit´e est n´ecessaire de mani`ere `a quantifier l’influence de ses param`etres sur la f.e.m. de la sonde de flux.

Plusieurs simulations en faisant varier ces param`etres sont r´ealis´ees et les ´ecarts, calcul´es entre les f.e.m. issues de ces simulations et le cas id´eal, sont pr´esent´es dans le Tableau 2.4. Dans ce tableau, ‡ d´efinit la conductivit´e des amortisseurs, Iexc est le

courant d’excitation, f est la fr´equence de rotation, R et L correspondent aux r´esistances et inductances pour la simulation de la charge. Ces ´ecarts sont calcul´es `a partir de la f.e.m. id´eale issue de la sonde de flux et celle obtenue apr`es avoir ins´er´e une perturbation sur la valeur du param`etre en question.

En perturbant la conductivit´e des amortisseurs de 40% nous obtenons alors un ´ecart de 0.44%. Nous pouvons donc conclure que la f.e.m. de la sonde de flux est tr`es peu sensible `a la variation de conductivit´e des amortisseurs.

param`etres ‡ Iexc f R L

valeurs id´eales 5.7 ◊ 107_{S/m 5.47 A 50 Hz 3.94 2.34 mH}

perturbations 40% 5% 4% 10% 10%

´ecarts f.e.m. id´eale/perturb´ee 0.44% 5.01% 3.8% 20.86% 18.79% Table 2.4 – Sensibilit´e de param`etres de simulation en fonction de la f.e.m. de la sonde de flux.

Le tableau 2.4 montre l’amplitude des perturbations appliqu´ees dans le cas des quatre autres param`etres d’entr´ee de simulation ainsi que celles de leurs influences respectives sur la f.e.m. de la sonde de flux.

L’amplitude de perturbation du courant d’excitation fait suite `a des constatations exp´erimentales. En effet, chaque essai exp´erimental a ´et´e men´e durant 10 secondes et le courant oscille autour de la valeur id´eale au cours du temps. Afin de d´efinir les bornes de cette plage, nous donnons dans la Figure 2.23a la distribution de ce courant d’excitation dans le cas de la machine `a vide. Cette courbe correspond `a la densit´e de r´epartition

du courant d’excitation entre la borne inf´erieure et sup´erieure de variation au cours du temps. Cette distribution peut ˆetre divis´ee en quintiles et la plage de variation choisie correspond `a la borne inf´erieure du second quintile, et la borne sup´erieure du quatri`eme.

(a) Densit´e du courant d’excitation Iexcau cours d’un

essai sur la maquette de 10s. (b) Sensibilit´e de la sonde `a la variation de lafr´equence f, signaux simul´es.

Figure 2.23 – Variation des param`etres de simulation pour la formation des prototypes. Dans le cas de l’incertitude sur la fr´equence induite par la vitesse de rotation du rotor, nous avons d´ej`a vu qu’elle n’est pas toujours constante. Une autocorr´elation a ´et´e ap- pliqu´ee aux mesures de mani`ere `a les comparer aux sorties de simulation, n´eanmoins, la variation de la fr´equence induit ´evidemment une variation des amplitudes du si- gnal comme nous pouvons le voir dans la Figure 2.23b, et comme en t´emoigne l’´ecart exprim´e dans le Tableau 2.4. Nous d´efinissons la plage de variation de ce param`etre par : [49.5, 50.5] Hz ce qui correspond `a la plage de variation autoris´ee dans les r´eseaux ´electriques.

Lors de l’exploitation de la machine, la charge varie au cours du temps. Il est donc coh´erent de choisir une plage de confiance sur les r´esistances et inductances de charge. Nous imposons alors une incertitude de ±10% sur ces deux grandeurs, ce qui est ac- ceptable quant `a la maquette. Cette incertitude devra ˆetre red´efinie dans l’´etude d’une machine en exploitation selon les donn´ees concernant la variation de charge.

Les plages de variation des param`etres ´etant d´efinies, il faut maintenant les discr´etiser, i.e. en pr´elever des ´echantillons, afin de lancer les simulations qui g´en`erent les prototypes de chacune des classes de d´efaut.

Dans le cas `a vide, les r´esistances et inductances de phases ne sont pas consid´er´ees, donc seuls deux param`etres varient pour former les nuages de prototypes : la fr´equence

Nous avons vu que les prototypes caract´erisent 6 d´efauts de courts-circuits et 8 ex- centricit´es, en y ajoutant le cas sain, nous consid´erons alors 15 ´etats de fonctionnement. La machine ´etant ´etudi´ee avec 4 charges et `a vide, cela g´en`ere 75 cas `a ´etudier. En supposant que chaque classe soit repr´esent´ee par 50 prototypes, il faut alors effectuer 3750 simulations de la machine. Sachant que la simulation de la machine en charge n´ecessite plusieurs semaines de calculs avec nos ressources informatiques actuelles, les r´esultats de toutes les simulations ne peuvent ˆetre obtenus dans des d´elais acceptables. La seule possibilit´e permettant d’obtenir la totalit´e des r´esultats consisterait `a suppo- ser les mat´eriaux magn´etiques avec une relation B (H) lin´eaire, sans tenir compte de la saturation magn´etique.

Pour faire cette simplification, il faut v´erifier sa validit´e et ses limites. Les r´esultats de simulations consid´erant la relation B (H) lin´eaire et non lin´eaire pour deux courants d’excitation : 12.5 et 30 A sont pr´esent´es dans la figure 2.24, permettant d’´etudier la diff´erence entre les signaux `a deux tr`es diff´erents de la saturation de la machine `a vide (cf. figure 2.14). Il est `a noter que le courant d’excitation nominal est de 12.5 A et que 30 A constitue le courant d’excitation maximal admissible et donc qui induit une tr`es forte saturation de la machine.

(a) Iexc= 12.5 A (b) Iexc= 30 A

Figure 2.24 – Comparaison des f.e.m. issues de la sonde de flux obtenus par simulation lin´eaire et non lin´eaire.

12.5 A, qui correspond au courant d’excitation consid´er´e dans la formation des proto- types, se situe au d´ebut du coude de la caract´eristique `a vide de la machine. Les r´esultats de la figure 2.24a montrent que les signaux sont assez proches, induisant un ´ecart7 _de 7. Comme pr´ec´edemment, cet ´ecart est calcul´e en faisant le rapport entre la norme des diff´erences entre les deux signaux et la norme de celui obtenu par la simulation non lin´eaire.

13%, similaire `a celui obtenu par les signaux de la figure 2.16a. Dans le cas d’un courant

Iexc de 30 A (cf. figure 2.24b), l’´ecart est de 130%. En lin´eaire, chaque pic correspond `a

une encoche rotorique et son amplitude d´epend du nombre d’inducteur dans l’encoche. En non lin´eaire, les amplitudes des pics d’encoches sont satur´ees `a fort courant d’excitation. Les contenus harmoniques des signaux de la figure 2.24 sont repr´esent´es dans la figure 2.25. Les coefficients sur chaque raie correspondent au rapport entre les amplitudes des raies des signaux lin´eaire et non lin´eaire. Le but de ces coefficients est d’analyser la r´egularit´e de la variation d’amplitude entre les deux signaux.

(a) Iexc= 12.5 A (b) Iexc= 30 A

Figure 2.25 – Comparaison des FFT appliqu´ees aux f.e.m. issues de la sonde de flux obtenus par simulation lin´eaire et non lin´eaire.

La diff´erence entre les signaux prenant et ne prenant pas en compte la non lin´earit´e magn´etique est tr`es marqu´ee pour une forte excitation. Mˆeme si les amplitudes ont baiss´es, les harmoniques pr´esents `a 12.5A sont retrouv´es `a 30 A. Cela signifie que les attri- buts consid´er´es pr´ec´edement pourront ˆetre choisis pour un courant d’excitation sup´erieur `a 12.5 A en tenant compte de la courbe B ≠ H.

Par ailleurs, les valeurs des coefficients pr´esent´es dans la figure 2.25a sont assez proches sur certains harmoniques de fr´equences : 50, 250, 350, 550, 6650, 850, 950, 1750 et 1850 Hz. Cela se justifie par le fait que ce sont les seules raies pr´esentes sur le signal obtenu par simulation lin´eaire. Ainsi, un simple recalage permettrait d’obtenir deux signaux tr`es proches au regard de ces raies. A contrario, ces coefficients sont tr`es diff´erents : ils doublent entre les fr´equences 1750 et 50 Hz par exemple.

Nous en concluons que la prise en compte des simulations lin´eaires est acceptable tant que le courant d’excitation est suffisament faible, ce qui n’est pas le cas d’un courant

plus fort. ´Etant donn´e que le courant d’excitation maximal consid´er´e lors des essais sur maquette est inf´erieur `a 12.5 A, tous les calculs ont ensuite ´et´e effectu´es avec une variation lin´eaire de la caract´eristique magn´etique des mat´eriaux.

Tous les simulations ont donc ´et´e men´ees en prenant en compte cette hypoth`ese, les configurations Pk, les charges l et les d´efauts Ê. `A vide, 49 simulations sont lanc´ees et 54

si la machine est en charge pour chaque classe. Ces nombres viennent de la discr´etisation de la plage de valeurs de chaque param`etre. En effet, `a vide, les plages de Iexc et f sont

d´ecompos´ees en 7 valeurs chacune (7 ◊ 7 = 49) selon une distribution gaussienne. En charge, la plage de chacun des 4 param`etres est discr´etis´ee en 2 ou 3 valeurs (3 fr´equences, 2 courants d’excitation, 3 r´esistances et 3 inductances : 3 ◊ 2 ◊ 3 ◊ 3 = 54).