Afin d’appliquer l’assimilation de donn´ees pour caract´eriser et quantifier les imperfec- tions de l’´etat sain de la maquette de turboalternateur, il faut fixer les param`etres d´efinis
pr´ec´edement.
A.2.1 Param`etres caract´erisant l’imperfection et ´ebauche
On a vu que x correspond `a l’´etat qui caract´erise le syst`eme consid´er´e. Dans notre cas, cet ´etat correspond `a un ensemble de param`etres d’entr´ee de simulation et qui ont une r´ealit´e physique. Dans la section 2.4.3, il a ´et´e montr´e que certains param`etres de simulation tels que le courant d’excitation n’ont pas une valeur parfaitement stable. Ces param`etres ´evoluent en fonction du fonctionnement de la machine et les prototypes sont form´es sur une zone de confiance de ces param`etres. Ces derniers ne caract´erisent pas une machine `a son montage, mais `a son fonctionnement, ils ne peuvent alors pas ˆetre choisis pour l’´etat x.
Iamamura a montr´e, dans sa th`ese [29], que la maquette pr´esente une l´eg`ere excen- tricit´e combin´ee dans le cas sain. Effectivement, lors de la mise en place du rotor et de son axe d’appui, on suppose, th´eoriquement, que le centre du rotor est parfaitement positionn´e par rapport `a celui du stator. N´eanmoins, l’installation de cette partie de la machine, pouvant mesurer plusieurs m`etres de long, peut induire un d´ecentretement tr`es faible du rotor et du stator, induisant une imperfection assimilable `a une excentricit´e combin´ee1.
On d´efinit x comme un ´etat de la position du rotor et de son centre de rotation tel que :
x =Ë dxsta dysta dxdyn dydyn
È
(A.2) o`u l’indice ”sta” d´esignent une excentricit´e statique (d´eplacement du rotor) et ”dyn” une excentricit´e dynamique (d´eplacement du centre de rotation) selon les axes x et y.
L’´ebauche xb correspond `a la seule connaissance de l’´etat sain de la machine. On
rappelle que ce vecteur doit prendre des valeurs justifi´ees par la physique. Ainsi, aucune information n’est donn´ee sur la position exacte du rotor et de son centre de rotation `a part le cas id´eal, i.e. sans imperfections. C’est pourquoi on choisit xb =
Ë
0 0 0 0 È.
A.2.2 Matrices de covariance
En g´en´eral, l’ajustement des matrices d’erreur Ry et Bb est capital dans le but de
maitriser le processus d’assimilation de donn´ees. Elles demandent une interpr´etation phy-
1. On rappelle que ce d´efaut correspond `a la combinaison d’une excentricit´e statique et d’une dyna- mique.
sique de la machine (corr´elation, lien entre les variables, etc), qui n’est pas ais´ee. Sans connaissance a priori, il est recommand´e de choisir ces matrices comme identitaires.
A.2.3 Observations et op´erateur de simulation
H(x) et y sont deux vecteurs de mˆeme dimension qui caract´erisent les mˆemes gran-
deurs physiques simul´ees et mesur´ees. Afin d’assurer la comparaison entre les deux si- gnaux, leur ´echantillonage doit ˆetre identique, celui-ci ´etant trait´e grˆace `a l’autocorr´elation appliqu´ee aux mesures. `A l’image de la d´etection de d´efauts, les composantes de ces vecteurs doivent ˆetre de bons indicateurs pour la d´etection d’excentricit´es statique et dynamique. On a vu que que l’utilisation d’une sonde de flux permet de d´etecter une excentricit´e. Contrairement au diagnostic d´evelopp´e pr´ec´edement, on cherche `a identifier des d´efauts de tr`es faible gravit´e. En multipliant le nombre de sondes, on am´eliore la performance du diagnostic, c’est pourquoi on en consid`ere deux d´ecal´ees de 180°.
On a d´ej`a vu qu’il est possible de d´etecter une excentricit´e statique par l’analyse de certains harmoniques de la f.e.m. issue de la sonde. Il faut alors identifier le comportement du signal dans le cas o`u la machine subit une excentricit´e dynamique. La Figure A.2 correspond `a la f.e.m. de la sonde dans les cas sain et en excentricit´e statique et dynamique `a vide. L’excentricit´e statique laisse une ´epaisseur d’entrefer constante dans le temps pour une position angulaire donn´ee ce qui induit une baisse d’amplitude constante si le rotor s’´eloigne de la sonde (augmentation si le rotor s’en rapproche). Dans le cas dynamique, l’´epaisseur d’entrefer n’est plus constante et on voit l’amplitude des harmoniques varier en fonction du temps, i.e. la position du rotor.
On propose de couper ce signal en 4 portions, chacune correspondant `a un pˆole. Une FFT est alors appliqu´ee `a chacune des portions, pr´esent´ees dans la Figure A.3.
L’int´erˆet de cette d´ecoupe est d’am´eliorer la d´etection du d´efaut pour l’identification de l’imperfection. On voit que les signaux sain et en excentricit´e statique sont identiques dans les 4 sous-figures, ce qui n’est plus le cas pour l’excentricit´e dynamique. On retouve le comportement dynamique par l’´evolution des amplitudes en fonction du pˆole. Les vecteurs H (x) et y contiennent donc 160 composantes = 20 harmoniques ◊ 4 pˆoles ◊ 2 sondes. Les deux signaux ´etant de mˆeme ordre de grandeur, il est inutile d’appliquer une normalisation entre les composantes. N´eanmoins, ce n’est pas le cas des deux distances de l’´equation (A.1). Effectivement, d’apr`es la figure A.3, les observations sont d’ordre 1 alors que les ´etats sont d’ordre 10≠4. Il est donc n´ecessaire de relever l’ordre de grandeur des
Figure A.2 – f.e.m. issue de la sonde de flux dans les cas sain et en excentricit´e.
A.2.4 Choix de la m´ethode de minimisation
La minimisation de J se fait au travers d’une m´ethode de descente bas´ee sur la direc- tion de son gradient. Ce dernier d´epend du gradient de H (x) qui contient la simulation. Le gradient d’un code de calcul ´el´ements finis ´etant tr`es complexe `a mettre en place et inenvisageable, celui-ci est calcul´e par diff´erences finies qui d´ependent d’un pas de pertur- bations. Il doit ˆetre choisi suffisamment faible devant une imperfection et assez important pour ˆetre diff´erenci´e du bruit num´erique induit par l’approximation ´el´ements finis. Une ´etude de sensibilit´e sur les sorties de simulation selon x montre qu’une perturbation de 0.7% de l’´epaisseur d’entrefer est un pas suffisant pour calculer le gradient par diff´erences finies.
Afin de s’assurer que l’espace de recherche de l’´etat optimal ne converge pas vers une solution non physique (cas o`u le terme Îy ≠ H (x)Î l’emporte sur Îx ≠ xbÎ), on fixe des
contraintes au probl`eme d’optimisation. Ces bornes du domaine de d´efinition de x sont fix´ees `a des valeurs inf´erieures `a 10% de l’´epaisseur d’entrefer sain : [≠0.15, 0.15]4 (mm). Une fois les variables d´efinies, on se propose de tester la m´ethodologie d’assimilation de donn´ees pour la caract´erisation de la position initiale du rotor de la machine au travers d’exp´eriences jumelles.
Figure A.3 – FFT des 4 portions de la f.e.m. dans les cas sain et en excentricit´e.