Variances d’estimation de γ ? (h) et C ? (0) − C ? (h)

La structure r´egionale ´etant calcul´ee sur la grille 30× 30, consid´erons la structure exp´erimentale obtenue `a partir d’une grille de 11× 11 points r´epartis sur le domaine de cot´e L (sch´ema ferm´e, voir figure2.7) ; ces conditions d’´echantillonnage sont relativement optimistes.

30 CHAPITRE 2. INF ´ERENCE D’UNE STRUCTURE SPATIALE

Mod`ele simul´e

γR(h) CR(0)− CR(h) h 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 h 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 h 20 25 30 0 2 4 6 8 γR(h) CR(h)

Fig. 2.5 – Statistiques des nu´ees de γ(h) et C(h) pour 100 simulations. FA lognormale, mod`ele sph´erique avec a = 2L pour la FA gaussienne. Les boxplots reprennent les quantiles `a 10, 25, 50, 75 et 90 %, les cercles repr´esentent les moyennes. L’´echelle verticale est identique pour les deux premiers graphiques. Le troisi`eme graphique contient les structures γR(h) et CR(0)− CR(h)

simul´ees, le mod`ele ainsi que la variance des donn´ees.

A titre d’exemple, les figures 2.8 et 2.9 illustrent sur une simulation, pour le variogramme classique et pour C(0)− C(h), les diff´erences existant entre structures exp´erimentale et r´egionale, dans le cas favorable d’une FA gaussienne puis d’une FA lognormale. Pour le cas gaussien et la port´ee courte a = 5, la structure r´egionale est bien approch´ee par la structure exp´erimentale pour le palier, tandis que la port´ee exp´erimentale semble l´eg`erement plus ´elev´ee. Lorsque la port´ee est ´egale au cot´e du champ, la correspondance entre les structures exp´erimentale et r´egionale est tr`es bonne `

a petite distance, et se d´et´eriore aux distances les plus grandes. Les r´esultats sont tr`es semblables pour le variogramme classique et pour C(0)− C(h).

Concernant la FA lognormale, la correspondance entre les structures est m´ediocre pour a = 5, que ce soit pour la port´ee, le palier ou le comportement aux petites distances. Les choses se passent l´eg`erement mieux dans le cas a = 30, cas o`u il n’y a pourtant pas stationnarit´e `a l’´echelle du champ. Rappelons que ces r´esultats sont obtenus sur une seule simulation.

Consid´erons `a pr´esent les versions probabilistes ΓR(h) and Γ?(h) du variogramme r´egional et

du variogramme exp´erimental d’une FA Z(x). La variance d’estimation du variogramme

σ_E2(h) = Var[Γ?(h)− ΓR(h)] (2.8)

d´epend de l’´echantillonnage et converge dans le cas ergodique vers 0 lorsque la densit´e des donn´ees augmente. Cette variance d’estimation permet d’´evaluer pour une FA donn´ee si le variogramme r´egional peut raisonnablement ˆetre approch´e par le variogramme exp´erimental, et donc si l’inf´erence structurale peut s’effectuer dans de bonnes conditions. Dans le cas gaussien, son calcul est simple pour le variogramme et la covariance non centr´ee [Alfaro Sironvalle (1979)] ; les calculs restent simples pour la covariance non centr´ee dans le cas lognormal. Cependant, nous int´eressant ´egalement

2.2. VARIOGRAMME D ´EDUIT DE LA COVARIANCE NON CENTR ´EE 31 h 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 a=2L a=L a=L/2 a=L/6 h 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 a=2L a=L a=L/2 a=L/6

(a) FA gaussienne (b) FA lognormale

Fig. 2.6 – Rapport I(h) pour 100 simulations. FA gaussienne (a) et lognormale (b), mod`ele sph´erique de port´ees a = 2L, a = L, a = L/2 et a = L/6. I(h) > 1 (resp. < 1) indique que la nu´ee du variogramme est en moyenne plus (resp. moins) dispers´ee que celle de la covariance.

au variogramme pour une FA lognormale, pour lequel les calculs se compliquent, nous proc´ederons syst´ematiquement par simulation, par souci d’homog´en´eit´e. En effet, comme σ2_E(h) = E[(Γ?(h)− ΓR(h))2], on approche σ_E2(h) par l’erreur quadratique moyenne sur un nombre suffisant de simula-

tions. Cette approximation a ´et´e valid´ee pour diff´erents sch´emas simul´es dans le cas gaussien `a une et deux dimensions.

Les r´esultats sont pr´esent´es sous forme d’´ecart-types d’estimation relatifs du variogramme σE(h)

γ(h) .

Les calculs ´etant effectu´es dans une seule direction, parall`element `a un cot´e de la grille avec une tol´erance angulaire nulle, les variances d’estimation obtenues sont plus ´elev´ees que celles obtenues avec une tol´erance angulaire ´egale `a 90◦, i.e. un calcul faisant intervenir toutes les directions.

32 CHAPITRE 2. INF ´ERENCE D’UNE STRUCTURE SPATIALE 2.2.6.1 FA gaussienne

Les r´esultats pour le variogramme classique (voir figure2.10(a)) sont similaires `a ceux obtenus par Chil`es & Delfiner (1999) qui utilisent l’approximation [Matheron (1965)]

Var[Γ?(h)− ΓR(h)] = 4γ(h)σ2h

o`u σ<sub>h</sub>2 est la variance d’estimation de la moyenne de Z(x) sur D∩ D−h, calcul´ee `a partir des N (h)

paires intervenant `a la distance h.

Les variances d’estimation sont suffisamment faibles pour permettre une inf´erence dans de bonnes conditions. Plus la port´ee du mod`ele simul´e est grande et plus la variance d’estimation est faible et donc les conditions d’inf´erence bonnes.

La figure 2.10 (b) illustre les variances d’estimation pour γ(h) et C(0)− C(h). Le pas de calcul, indiqu´e pour le cas a = L/6, croˆıt monotonement avec les variances d’estimation pour les autres port´ees. L’ordre de grandeur des variances d’estimation est identique pour les deux outils. Aux petites distances, ces variances sont l´eg`erement plus ´elev´ees pour C(0)− C(h), except´e pour a = L/6 ; ensuite, approximativement `a partir de la moiti´e du champ, les conditions d’inf´erence avec C(0)− C(h) deviennent ´egalement meilleures pour les trois autres port´ees consid´er´ees, et ce malgr´e l’absence de sens de la covariance r´egionale dans le cas non stationnaire.

2.2.6.2 FA lognormale

Les valeurs ´elev´ees des variances d’estimation relatives du variogramme (voir figure 2.11 (a)) illustrent la relation tr`es ´eloign´ee entre variogramme exp´erimental et variogramme r´egional dans le cas d’une fonction al´eatoire lognormale ; l’inf´erence de la structure spatiale est d´elicate dans ces conditions. Le nombre de simulations choisi est ´egal `a 5000, au lieu de 500 dans le cas gaussien.

Tout comme dans le cas gaussien, plus la port´ee augmente et plus les variances d’estimation relatives diminuent. L’ordre de grandeur reste ´egalement analogue pour les deux outils, mˆeme si leurs diff´erences sont nettement plus marqu´ees ici (voir figure2.11(b)). Les conditions d’inf´erence ne restent meilleures pour le variogramme classique que pour les port´ees les plus grandes a = L et 2L, et seulement aux petites distances. Au contraire, pour a = L/2 et plus particuli`erement L/6, les variances d’estimation relatives sont inf´erieures pour C(0)−C(h) quelle que soit la distance, except´e approximativement `a la moiti´e du champ dans le cas a = L/2.

2.2.6.3 Cas des ensembles al´eatoires

Consid´erons comme ensembles al´eatoires une FA gaussienne seuill´ee `a la m´ediane, pour un sch´ema sph´erique de port´ee L/6 = 5, et pour les polygones poissonniens un nombre moyen de droites ´egal `a 40 ; la port´ee pratique du variogramme exponentiel vaut dans ce cas 4.5.

Comme l’illustre la figure 2.12, les mod`eles th´eoriques associ´es aux deux ensembles al´eatoires sont alors tr`es proches, ce qui permet leur comparaison. Deux exemples de simulations sont illustr´es `

2.3. VARIOGRAMMES POND ´ER ´ES 33 Pour ces deux familles d’ensembles al´eatoires, la variance d’estimation du variogramme classique (voir figure2.14) est l´eg`erement inf´erieure `a celle de la covariance non centr´ee, l’´ecart entre les deux variances augmentant `a partir de h' 0.6L.

Ces r´esultats ne sont pas surprenants, le variogramme ´etant plus sensible aux contrastes entre valeurs fortes et faibles, qui caract´erisent particuli`erement ces ensembles al´eatoires.