5.1.2 Hypoth`ese intrins`eque
S’il est possible de faire la part entre g´eom´etrie du champ et r´egionalisation de la variable d’int´erˆet, et par cons´equent de mod´eliser la structure spatiale de la fonction al´eatoire, alors le cadre intrins`eque permet le calcul d’une variance d’estimation sur le champ V de la moyenne des concentrations (Zi)i=1,... ,N, qui s’exprime comme [Matheron (1970), Petitgas & Rivoirard (1991)]
σEI2 = CV V + Cij− 2 CiV (5.2)
o`u CV V, Cij et CiV sont respectivement les covariances moyennes entre deux points d´ecrivant
ind´ependamment V , entre la donn´ee i et un point d´ecrivant V et entre deux donn´ees i et j pour tous les couples (i, j). Par rapport `a la formule transitive, il y a apparition du terme CiV qui
repr´esente l’influence sur l’estimation de la g´eom´etrie des donn´ees, ici fixes, par rapport `a celle du champ ; la grille n’est donc plus n´ecessairement r´eguli`ere. Le mod`ele de variogramme γ(h) = 4000+6200×Sph(30m) illustr´e `a la figure5.2conduit `a un coefficient de variation pour l’estimation globale de 31.3 %, la concentration moyenne sur le champ ´etant estim´ee par krigeage `a 38.2 ppm. Les coefficients de variation et les variances d’estimation, comparables et coh´erents pour les deux formalismes, sont inf´erieures au r´esultat de la statistique classique. La port´ee de la structure spatiale, grande par rapport `a la taille du champ, explique cela. Ces variances indiquent la pr´ecision de l’estimation d’une concentration moyenne sur l’ensemble du champ. Dans le cas pr´esent, cette connaissance du niveau de concentration moyen en polluant pr´esente un int´erˆet pratique assez limit´e, et il est plus important de proc´eder `a une estimation locale des concentrations en place lorsque ces derni`eres pr´esentent une structuration spatiale.
5.2
Estimation locale monovariable des concentrations
Les estimations sont r´ealis´ees ponctuellement sur une grille de 2 m sur 2 m dont les contours correspondent `a ceux du site. Vu le peu de donn´ees disponibles, les estimations sont effectu´ees en voisinage unique. Nous d´eterminons les m´ethodes d’estimation les plus appropri´ees en analysant le cas du benzo(a)pyr`ene sur les sondages, avant de les appliquer aux autres HAP.
Deux crit`eres permettront de comparer l’efficacit´e des diff´erents mod`eles :
– une validation crois´ee ; l’erreur quadratique moyenne, donn´ee syst´ematiquement, synth´etise moyenne et variance des ´ecarts entre les valeurs r´eelle et estim´ee2. Bien qu’´etant conscient que l’utilisation d’une telle statistique est d´elicate vu le peu de donn´ees et la dissym´etrie des variables, les conditions identiques des diff´erentes estimations en font un crit`ere exp´erimental de comparaison int´eressant.
– les variances d’estimation associ´ees aux estimations, pour chaque mod`ele.
n’a pas ´et´e approfondie ici, la prise en compte des irr´egularit´es ne jouant que faiblement sur l’effet de p´epite C0 du
covariogramme transitif, qui est le facteur d´eterminant dans le calcul de la variance d’estimation. En effet, celle-ci, qui est la diff´erence entre l’int´egrale du covariogramme et son approximation au pas de la maille, peut ˆetre correctement approch´ee par le produit C0.a2, cette approximation donnant dans le cas pr´esent un coefficient de variation de 30 %.
2
En effet, si Z est estim´e par Z?, l’erreur quadratique moyenne E[(Z− Z?
)2] vaut Var[Z− Z?
] + E2[Z− Z?
94 CHAPITRE 5. SITE Y - ESTIMATION DES CONCENTRATIONS EN PLACE Le mod`ele structural γ(h) = 4000 + 6200×Sph(30 m) de la figure5.2, ajust´e sur le variogramme m.p.e., est utilis´e pour le krigeage ordinaire (KO) de Bap sur les sondages. Les deux zones de valeurs fortes, au Sud et au Nord, ressortent sur la carte d’estimation (voir figure 5.3). La tache situ´ee au Nord se prolonge `a l’Est de la croix centrale. Les ´ecart-types d’estimation, nuls aux points exp´erimentaux o`u l’interpolation est exacte, deviennent tr`es ´elev´es d`es que l’on s’en ´ecarte, `
a cause de l’effet de p´epite3. Ils montrent par ailleurs bien le risque que pr´esente l’utilisation de cette estimation d`es que l’on sort de la zone investigu´ee.
(a) Krigeage ordinaire (b) Ecart-types d’estimation
Fig. 5.3 – Site Y - Krigeage ordinaire de Bap sur les sondages, mod`ele ajust´e sur le variogramme m.p.e.
Il est possible d’attribuer une part de l’effet de p´epite `a la variance de l’erreur de mesure et de la filtrer. Nous reviendrons sur ce point au chapitre8pour le second site. Le nuage de corr´elation entre valeurs r´eelles aux points exp´erimentaux et estim´ees par validation crois´ee illustre l’effet de lissage du krigeage, les valeurs estim´ees ´etant nettement moins dispers´ees que les valeurs r´eelles (voir figure
5.4). L’erreur quadratique moyenne obtenue par validation crois´ee, ´egale `a 8532, servira de r´ef´erence dans la suite ; cette erreur est l´eg`erement sup´erieure pour un mod`ele ajust´e automatiquement sur le variogramme classique. Les deux concentrations les plus fortes sont mal r´e-estim´ees.
Destin´e essentiellement `a l’estimation globale, le formalisme transitif peut ´egalement ˆetre utilis´e pour l’estimation locale [Bez (1997), Rivoirard (1995)]. Le krigeage transitif consiste `a estimer z(x) par une combinaison lin´eaire des donn´ees situ´ees dans un voisinage de x. L’optimalit´e est ici obtenue en choisissant les pond´erateurs de la combinaison lin´eaire de sorte que, s’il ´etait possible de translater partout dans l’espace la configuration form´ee par x et les points de son voisinage, la somme des erreurs quadratiques entre valeurs vraies et estim´ees soit minimale.
Le krigeage transitif obtenu `a l’aide du covariogramme transitif de la figure 5.1 est illustr´e `a
3Il est d’usage de proc´eder au krigeage en filtrant l’effet de p´epite - erreur de mesure ou de positionnement ; cette
technique, discut´ee `a la page 144, conduit `a des ´ecart-types qui ne sont alors plus nuls aux points exp´erimentaux [Chil`es & Delfiner (1999)]. Cela n´ecessite cependant une connaissance suffisante de ces erreurs de mesure, ce qui n’est pas le cas ici.