jxj ) (3.32) o)contrle la variance etla vitesse de dcroissance. Ces deux paramtres peuvent se calculer partir des deux premiers moments de la distribution empirique. Cette loi peut tre utilise dans l'algorithme de Lloyd-Max visant dterminer la quantication opti-male au sens de la minimisation de la fonction dbit-distorsion. En fait, la quantication uniforme est optimale pour les distributions laplaciennes, et donc proches de l'optimum pour les distributions de type gaussien gnralis. La quantication vectorielle permet d'obtenir de meilleurs rsultats que la quantication scalaire, au prix de la gnration d'un dictionnaire des vecteurs statistiquement les plus probables. Le problme de la constitution du dictionnaire permettant d'optimiser un compromis entre compression et description n'a jamais t trait, et est dlicat. Dans une perspective de description, la contrainte de covariance aux similitudes des vecteurs du dictionnaire est dicile respecter. Dans cette thse, les coecients seront donc uniformment quantis dans chacune des sous-bandes.
La gure 3.8 reprsente la distribution des coecients d'ondelettes sachant une valeur spatialement adjacente dans la mme bande ou sachant la valeur correspondant la mme position dans la bande de rsolution suprieure. Une colonne donne en niveaux de gris la probabilit d'un coecient d'ondelettes sachant que son voisin (en espace ou en chelle) est gale la valeur donne en abscisse. Les distributions de chaque colonne sont de moyenne nulle, conformment la nature dcorrle des coecients d'ondelettes. En revanche, la forme en noeud papillon des distributions conditionnelles montre que les coecients adjacents ne sont pas indpendants. Cette forme spcique est avantageusement exploite dans les schmas de compression comme JPEG 2000 par les codeurs EZW "Sha93] ou similaires comme EBCOT. Leur principe consiste stipuler que les ls d'un coecient non signiant (de valeur absolue infrieure un seuil) sont non signiants. Un tel codage est inadapt pour la description. Les transformations admissibles comme les similitudes ou l'ajout de bruit peuvent considrablement modier l'arbre des coecients signiants.
3.2 Variance de la transforme discrte en ondelettes sur
grille dyadique
La covariance aux similitudes de la transforme continue en ondelettes la rend per-tinente pour le problme de description. Pour rduire sa redondance dans un but de compression, la section prcdente a montr comment discrtiser la transforme pour ne conserver que le nombre minimal de coecients ncessaire pour la reconstruction.
0 200 400 600 800 1000 0 50 100 150 200 250 Fréquence Niveaux de gris 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 −600 −400 −200 0 200 400 600 Fréquence Coefficients d’ondelettes
Fig.3.7 Distribution des niveaux de gris de l'image Lena ( gauche), et des coecients d'ondelettes ( droite).
Fig. 3.8 Distribution conditionnelle des coecients d'ondelettes calcule partir de l'image Lena. Chaque colonne donne en niveaux de couleurs la probabilit d'un coe-cient d'ondelettes sachant que son voisin (en espace sur la gure de gauche, et en chelle sur la gure de droite) est gale la valeur donne en abscisse.
Cette section montre que cette discrtisation implique des recouvrements spectraux inter-bandes faisant perdre la transforme ses proprits de covariance.
3.2.1 Variance la translation
La gure 3.9, reproduite partir de "SAH92], montre l'eet d'une translation d'une unit de temps sur la distribution inter et intra bande des coecients d'ondelettes d'un signal temporel constitu d'une ondelette de Daubechies dilate d'un facteur deux. La translation a pour eet de disperser l'nergie dans toutes les bandes d'analyse. La d-tection de points d'intrt dans le domaine ondelettes devient ds lors instable, comme le montrera la section 3.3.2. Cette instabilit provient du sous-chantillonnage appa-raissant dans le banc de ltres de la gure 3.4. Pour le constater, le premier lment considrer est la prsence de hautes frquences dans la bande de basse frquence, et inversement. Si l'on note X(z) =
P n xn]z ;n la transforme en z du signal xn], le signalX #2
(z) obtenu en ne conservant que les indices pairs s'crit :
X #2 (z) = X n x2n]z ;n = 1 2 X n (1+(;1) n )xn]z ; n 2 En posantz=e
j!, les transformes de FourierX b
(!)etX h
(!)des signaux apparaissant respectivement dans les bandes de basse et de haute frquence de la gure 3.4 s'crivent :
X b (!) = 1 2 (H( ! 2 )X( ! 2 )+H( ! 2 +)X( ! 2 +)) (3.33) X h (!) = 1 2 (G( ! 2 )X( ! 2 )+G( ! 2 +)X( ! 2 +)) (3.34)
La gure 3.10 reprsente le module de la transforme de Fourier dcroissance quadra-tique (comme le spectre des images naturelles) d'un signal d'entreX(!) priodique de priode2, le signal ltrG(!)X(!), la composanteG(
! 2 )X( ! 2 )du signal ltr et sous-chantillonn, et le signal de sortie X
h
(!). Il appara$t que, mme pour un passe-haut idal de frquence nulle sur ;
2
; 2
], le spectre du signal ltr et sous-chantillonn n'est pas nul sur cet intervalle de basses frquences. Ceci provient du recouvrement spectral d au sous-chantillonnage.
Avec les notations de la gure 3.4, le signal de sortie s'crit :
Y(!)= 1 2 X(!)(H(!)G(!)+ ~ H(!) ~ G(!)) + 1 2 X(!+)(H(!+)G(!+)+ ~ H(!+) ~ G(!+)) (3.35) Il s'en suit les deux conditions de reconstruction parfaite :
H(!)G(!)+ ~ H(!) ~ G(!)=2 (3.36) H(!+)G(!+)+ ~ H(!+) ~ G(!+)=0 (3.37)
Fig. 3.9 Premire ligne : signal temporel ( gauche), et sa translate d'une unit de temps ( droite). Leurs coecients d'ondelettes se rpartissent trs diremment dans chacune des sous-bandes.
pi −pi/2 0 pi/2 pi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fr´equenceω(rad/s) X(ω) 2 pi −pi 0 pi 2 pi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fr´equenceω(rad/s) X(ω)G(ω) 2 pi −pi 0 pi 2 pi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fr´equenceω(rad/s) X(ω 2)G(ω 2) pi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fr´equenceω(rad/s) Xh(ω)
Fig.3.10 Signal d'entre X(!)(en haut gauche), signal ltr G(!)X(!)(en haut droite), composanteG( ! 2 )X( ! 2
) du signal ltr et sous-chantillonn (en bas gauche), et signal de sortieX
h
La condition 3.37 s'appelle la condition d'anti-aliasing. Elle assure que,aprssynthse, les rplications spectrales causes par les sous-chantillonnages s'annulent. En revanche, dans toute bande d'analyse, la rplication engendre un recouvrement spectral. Ce re-couvrement est responsable de la variance aux translations. Une fa&on de le constater est de considrer le signal reconstruit partir d'une seule sous-bande. La gure 3.11 reprsente le banc de ltres en cascade utilis pour le calcul de la transforme discrte en ondelettes. Le signal X
k
(!) est reconstruit uniquement partir de lak
sous-bande
Y k
(!), les autres bandes tant mises zro. Un rsultat classique en banc de ltres permet d'inverser l'ordre des convolutions et des dcimations, ou plus prcisment d'af-rmer l'quivalence entre les deux systmes de la gure 3.11. Si la bande conserve est lak
bande d'ondelettes, les ltres A k
(!) etS k
(!)sont donns par :
A k (!)=H(!)H(2!):::H(2 k;1 !)G(2 k !) S k (!)= ~ H(!) ~ H(2!)::: ~ H(2 k;1 !) ~ G(2 k !) (3.38)
Si la bande conserve est len
reste basse frquence, les ltres quivalents se factorisent de la manire suivante : A n (!)=H(!)H(2!):::!)H(2 n !) S n (!)= ~ H(!) ~ H(2!)::: ~ H(2 n !) (3.39) Le signalX k
(!) s'crit donc comme la somme d'une partie covariante dans le temps et d'une partie contenant les recouvrements spectraux :
X k (!)= 1 2 k A k (!)S k (!)X(!) + 1 2 k 2 k ;1 X p=1 A k (!+ p 2 k )S k (!)X(!+ p 2 k ) (3.40) Lak
sous-bande est donc variante aux translations, puisque la rponse du signal modul en frquence n'est pas le modul de la rponse. La covariance aux translations dans chaque bande est quivalente :
81k n81p2 k ;1 A k (!+ p 2 k;1 )S k (!)=0 (3.41)
La gure 3.12 permet de visualiser le recouvrement entre les bandesfA 2 (!+ p 2 2 )g 0 p 7 et la bandeS 2
(!)lorsque les ltresH etGdes quations 3.38 et 3.39 sont ceux associs l'ondelette de Daubechies de longueur 8. Pour le ltre passe-bas, la relation 3.41 est mise en dfaut ' seulement (pourp=1. Le recouvrement spectral est beaucoup plus important dans les bandes d'ondelettes, et a lieu pour p=1, et surtout pour p=2
Les ltresH etGtant rels et symtriques, les spectres de A k
(!)etS k
(!) sont sym-triques par rapport l'origine, impliquant un fort recouvrement. Une solution consiste utiliser des ltres spectre analytique, donc complexes "Kin98]. Il est important de souligner que la nature des recouvrements observs par l'ondelette de Daubechies est la mme pour tout type d'ondelette. En eet, d'aprs les relations 3.19 et 3.21, les spectres
" 2 G(!) #2 ~ H(!) " 2 H(!) #2 ~ G(!) #2 G(!) H(!) #2 X(!) X(!) #2 k A k (!) Y k (!) X k (!) m S k (!) "2 k " 2 ~ H(!) " 2 ~ G(!) Y k
(!)seule bande conserve
Reste basse frquence mis zro
X k (!) Y 1 (!) mis zro
Fig. 3.11 Banc de ltres en cascades. La reconstruction dans le schma du haut s'eectue en ne conservant qu'une seule bande d'analyse, et en mettant zro les autres bandes. Ce schma de reconstruction est quivalent celui du bas, o) les ordres de convolution et de dcimation ont t inverss.
Fig. 3.12 Recouvrements spectraux responsables de la variance aux translations. Le sous-chantillonnage induit deux types de recouvrement : un premier (en haut) entre les ltres passe-bas, un second (en bas) entre les ltres passe-haut.
deH etGsont d'nergie complmentaire, ce qui contraint fortement leur forme. En re-vanche, l'ampleur des recouvrements est variable selon le choix de l'ondelette. Pour s'en apercevoir, il sut en eet de considrer l'ondelette de Shannon (la fonction sinc
module en frquence) pour laquelle les recouvrements sont nuls. Cette ondelette pose toutefois problme : elle n'est pas support compact, elle ne peut pas tre gnre par des ltres rponse impulsionnelle nie. Dans la section 3.3.2 sont testes plusieurs ondelettes dans un but de dtection robuste de points d'intrt.
3.2.2 Variance la rotation
La section prcdente a montr que les coecients d'ondelettes sont trs dpen-dants de la position relative de l'image par rapport la grille dyadique sur laquelle a lieu la dcomposition. Une rotation modie en tout point et non uniformment cette position relative. Ceci constitue une premire source de variance aux rotations. Une deuxime provient du produit tensoriel crant trois bandes dont l'nergie est maximale pour des contours orients dans la direction horizontale, verticale ou l'une des deux directions diagonales. Pour valuer la sensibilit de chacune de ces bandes la direction des contours, on considre l'image synthtique I dont chacune des lignes est une fonc-tion porte, et la famille d'images I
constitue des images I tournes d'un angle . + gauche de la gure 3.13 est reprsente l'volution du maximum d'nergie dans chacune des trois bandes en fonction de l'angle , et droite l'nergie dans la bande verticale pour = 15 degrs. Il appara$t que, dans le domaine ondelettes, l'nergie est fortement oscillatoire le long du contour, alors que, dans le domaine spatial, le contour est inva-riant par translation dans cette direction. Ceci pose un problme de description : la recherche d'invariants, scalaires ou calculs partir de distributions, est dicile, sinon impossible. Un point plus rassurant est que la rpartition de l'nergie dans chacune des bandes est peu prs identique pour l'ensemble des modles de contours reprsents sur la gure 3.14. Cette invariance aux modles de contours permet d'esprer l'existence d'une nergie, dnie comme somme pondre des trois bandes fb
i g
1 i 3, qui soit peu variante aux rotations, mme pour les images naturelles.
Pour le vrier, on cherche les poidsf i
g
1 i 3 permettant la somme pondre de minimiser l'erreur quadratique avec la fonction constante :
f 1 2 3 g= arg min f 1 2 3 g n X k=1 3 X i=1 i b i( k); ! 2 (3.42) o)f k g
1 k nest l'ensemble des angles pour lesquels les nergiesfb i( k)g
1 i 31 k nont t calcules partir de l'ensemble des modles de contours illustrs sur la gure 3.14. La fonction constante est la moyenne suivante :
= 1 n n X 3 X i=1 i b i( k) (3.43)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Bande horizontale Bande verticale Bande diagonale Somme pondérée Angle Energie 0 50 100 150 0 50 100 1500 1 2