Un schma de compression vise extraire le dbit minimum d'information permet-tant de reconstruire l'image distorsion xe. Pour y parvenir, les schmas classiques de compression sont composs d'une tape de changement de reprsentations d'images, d'une tape de quantication, et d'une tape de codage. Cette section introduit les carac-tristiques des images naturelles qui permettent de dnir des transformes pertinentes pour la compression, c'est--dire rversibles et de faible entropie. Une attention parti-culire est porte sur la manire classique dont est discrtise la transforme continue pour la rendre adapte ce problme. C'est, en eet, cette discrtisation qui est respon-sable de sa forte variance aux translations et aux rotations, et donc de l'impossibilit de dcrire dans le domaine transform.
3.1.1 Spci cit des images naturelles
Lors de l'acquisition numrique, une image en niveaux de gris de rsolution512512
quantie sur 8 bits cote 256 Koctets. Cette image est une image naturelle, c'est--dire une image d'une scne du monde rel. Cela constitue une information a priori permet-tant de rduire considrablement le cot de reprsentation. En eet, la probabilit de gnrer alatoirement une image ressemblant une image naturelle est extrmement faible. L'ensemble des images naturelles est trs petit dans l'ensemble des images pos-sibles. Une caractrisation, mme partielle, de cet ensemble a de fortes rpercussions en dbruitage, en compression, ou sur toute t%che visuelle. Il est malheureusement vain de chercher caractriser cet ensemble par l'analyse de la distribution empirique d'une grande base d'images. Le nombre d'images ncessaire pour estimer cette distribution est beaucoup trop grand, il cro$t exponentiellement avec la dimension de l'espace image, gale au nombre de pixels. Deux hypothses sur les statistiques des images naturelles sont couramment utilises. La premire est une hypothse de Markov selon laquelle la probabilit d'un niveau de gris sachant les valeurs de niveaux de gris dans un petit voisinage est indpendante des valeurs l'extrieur de ce voisinage. La seconde est une hypothse de stationnarit du processus de gnration des images naturelles. En ralit, les lois des niveaux de gris varient dans l'espace, et le processus n'est pas stationnaire. Cette hypothse est faite par confort thorique, elle permet de driver la reprsentation d'images optimale en compression.
Fig.3.1 Filtres gnrs par ACI partir d'un grand ensemble d'images de taille1212
pixels (extrait de "OF97]).
ACP et TCD. La caractristique la plus vidente des images naturelles est la forte corrlation entre pixels proches. Sous hypothse de stationnarit, la matrice d'auto-corrlation est circulante et donc diagonalisable par une base de Fourier. Cette analyse en composantes principales (ACP) est optimale en compression, en ce sens que le sous-espace engendr par les nplus grands vecteurs propres est le sous-espace de dimension
n minimisant l'erreur quadratique entre l'image originale et sa projection linaire. La transforme en cosinus discrte (TCD) est une bonne approximation de l'ACP sur base xe, et est utilise en compression dans le format JPEG. L'hypothse d'auto-similarit des statistiques travers les chelles contraint les coecients de l'ACP (et de la TCD) suivre une certaine loi. En eet, cette hypothse n'est satisfaite que si l'esprance des spectres de puissance dcro$t avec une puissance de la frquence "MG01]. Dans les annes 1950 avait dj t constate une dcroissance statistique avec le carr de la frquence. Cette rapide dcroissance permet de reconstruire une image de bonne qualit avec peu de coecients de la TCD, rendant possible la compression JPEG.
ACI. Pour obtenir une meilleure caractrisation, les statistiques d'ordre suprieur deux doivent tre prises en compte. Le ltrage des images naturelles par des ltres passe-bande conduit des distributions fortement non gaussiennes "BA83, Fie87, Mal89], largement piques l'origine et queue allonge. Ces distributions proviennent de la structure des images naturelles composes de rgions lisses spares par des contours. Les rgions lisses contribuent aux petites amplitudes formant le pic l'origine, et les contours aux fortes amplitudes en queue de distribution. Les coecients de la TCD sont
dcorrls mais non indpendants, le processus de gnration d'images naturelles tant non gaussien. L'analyse en composantes indpendantes (ACI) repose sur l'optimisation d'une mesure de non gaussianit comme le kurtosis, gal au moment d'ordre quatre divis par le carr de la variance. Cette analyse, eectue au milieu des annes 1990 dans "BS97, OF97] partir d'un grand ensemble d'images de taille 1212 pixels, a conduit aux ltres prsents dans la gure 3.1.
Ondelettes. Les composantes indpendantes ainsi dnies sont des ltres passe-bande orients de bande-passante voisine d'une octave. Elles ressemblent fortement aux on-delettes dnies sur grille dyadique et prsentes dans la prochaine section. Cette d-couverte a permis des progrs considrables en compression pour deux raisons. D'une part, l'entropie des distributions des coecients d'ondelettes est beaucoup plus faible que celle des coecients de la TCD. D'autre part, la dpendance entre coecients d'ondelettes peut tre prise en compte plus ecacement que celle entre coecients de la TCD. Contrairement ce que son nom indique, les coecients obtenus par ACI ne sont pas indpendants. De mme, les coecients d'ondelettes sont dcorr-ls mais non indpendants. Les coecients adjacents en position, chelle ou orien-tation, sont fortement corrls en valeur absolue. Shapiro "Sha93] a trouv une heu-ristique permettant de prendre susamment bien en compte les dpendances inter-chelles pour obtenir un cot de codage infrieur la limite entropique xe par la distribution marginale. Les eorts se portent aujourd'hui sur l'laboration d'ondelettes anisotropes aptes saisir la gomtrie des contours prsents dans les images natu-relles "Kin98, Gop03, CD99, DV00, Do01, VBLVD, FA91], et sur la recherche de diction-naires redondants permettant une reprsentation creuse des images naturelles "MZ93].
3.1.2 Transformes continues en ondelettes
Jusqu' une poque rcente, les transformes de Fourier et de Gabor taient les seules alternatives la reprsentation des images en niveaux de gris. Les dcompositions py-ramidales et les transformes en ondelettes ont donn naissance de nombreuses autres reprsentations. La nature discrte des images conduit galement une multiplication des reprsentations possibles : il existe de nombreuses fa&ons de discrtiser une trans-forme continue. Le but de cette section est d'analyser l'adaptation des transtrans-formes continues au problme conjoint de compression et de description.
Transforme de Fourier. Dans cette section, une imageIest un lment deL 2
(IR 2
). Sa transforme de Fourier est dnie par :
8! 2IR 2 ^ I(!)= Z IR 2 I(x)e ;2i! T x dx (3.1) La transforme de Fourier ^
I, aussi appele spectre de I, est la projection de I sur les modulations pures e
2i! pour ! 2 IR
2. Elle est linaire, continue, bijective, et isom-trique (conserve les normes). Les images naturelles ont la particularit d'avoir un spectre
Fig.3.2 Fentres analysantes dans une analyse espace-frquence, et dans une analyse espace-chelle.
d'nergie qui suit en esprance une dcroissance avec le carr de la frquence :
IE(jj ^ I(!)jj 2 )= A jj!jj 2 (3.2)
L'nergie spectrale est donc concentre dans les basses frquences. Il en va de mme pour les coecients de la transforme en cosinus discrte, ce qui la rend intressante en compression.
Transforme de Gabor. La transforme de Fourier n'est en revanche pas du tout adapte la description locale : chaque point du spectre est calcul partir de toute l'image. En particulier, il est impossible de retrouver la position d'une discontinuit partir du spectre. Une solution consiste calculer la transforme sur l'image convo-lue par une fentre localise et d'eectuer cette opration pour toutes les positions possibles. C'est le principe de la transforme de Fourier fentre glissante, aussi appe-le transforme de Gabor. Elappe-le est dnie par la projection sur l'ensembappe-le des fentres
h u! (x)=h(x;u)e 2i! T x : 8(u!)2IR 2 IR 2 TGI](u!)= Z IR 2 I(x)h !u (x)dx (3.3) o) ' la fentre mre (h2L 2 (IR 2
)est centre l'origine et d'nergie unit. Tout comme la transforme de Fourier, la transforme de Gabor est linaire, continue, bijective, et isomtrique. Elle ralise une analyse espace-frquence de l'image I : la modulation de la fentre d'analyse a pour eet de translater la rgion spectrale analyse. Une analyse
espace-frquence est illustre par la gure 3.2, o) la largeur spatiale de la fentre x, dnie en 1.15, est la mme pour toutes les frquences analyses. Pour la description locale ou d'autres analyses de phnomnes physiques, il est judicieux d'adapter la largeur spatiale la frquence analyse. Lorsque cette adaptation permet d'obtenir un nombre constant d'oscillations dans l'enveloppe analysante, on parle d'analyseespace-chelle. Il sut pour cela de rendre constant le produit!
0
x, o) !
0 est la frquence centrale de la fentre. La rsolution frquentielle relative !
!
0 est la mme pour toutes les fentres d'analyse. L'eet d'une dilatation spatiale de la fentre tant une contraction spectrale de mme facteur, une analyse espace-chelle est la projection sur la famille de fonctions gnres par dilatation et translation :
8u2IR 2 s2IR + us (x)= 1 s ( x;u s ) (3.4)
o) s est le facteur de dilatation, et 1
s un facteur de normalisation permettant de pr-server toute chelle l'nergie de la fentre. La gure 3.2 permet de comparer les fentres d'analyse utilises en analyse espace-frquence et celles utilises en analyse espace-chelle.
Transforme en ondelettes. Dans une analyse espace-chelle, si ' la fentre mre (
est une ondelette isotrope, la projection de l'imageI sur toutes les fentres translates et dilates s'appelle la transforme deI par l'ondelette . La condition d'admissibilit pour que la fentre complexe2L
1 (IR 2 )L 2 (IR 2
) soit une ondelette est :
c = Z IR 2 j ^ (x)j 2 d 2 x jjxjj 2 < 1 (3.5)
Une condition ncessaire pour quec soit ni est que ^
soit nulle l'origine, c'est--dire que soit de moyenne nulle. Cette condition est susante ds que la fonction est susamment rgulire.
Dans le cas gnral o) l'ondelette n'est pas isotrope, la transforme en ondelettes de l'image I est dnie par :
8(us )2IR 2 IR + 02 TI](us )= 1 s Z IR 2 I(x)(s ;1 r ; (x;u))d 2 x (3.6) o)r
est la matrice de rotation d'angle . Lorsque l'ondeletteest isotrope, il n'y a pas de dpendance en . La transforme en ondelettes est linaire, continue, isomtrique, et covariante aux similitudes du plan. La condition d'admissibilit permet d'obtenir la formule de reconstruction : 8x2IR 2 I(x)=c ;1 Z IR 2 Z IR + Z 2 0 TI](us ))(s ;1 r ; (x))s ;3 d 2 udsd (3.7) Comme la transforme est isomtrique, la quantit jjTI](us )jj
2 est une densit d'nergie dans le domaine transform. Cette densit possde deux caractristiques int-ressantes pour la compression et la description. D'une part, une ondelette admettant
temps ou position ´e ch el le −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 30 50 100 150 200 250
Fig.3.3 Densit d'nergie dans l'espace-chelle de l'ondelette de Morlet d'une fonction porte. Les coecients non nuls sont dans le cne d'inuence de la singularit situe l'origine.
n+1 moments nuls est orthogonale tous les polynmes de degr infrieur ou gal
n. Les images naturelles pouvant tre approximes par des fonctions polynomiales par morceaux, leur transforme en ondelettes est creuse ou parcimonieuse. D'autre part, la transforme en ondelettes est un outil privilgi pour dtecter les points saillants, utiles pour amorcer le processus de description locale. La gure 3.3 montre la densit d'nergie dans l'espace-chelle d'une singularit modlise par une fonction porte. Pour une sin-gularit en deux dimensions localise en(x
0 y
0
), l'ensemble des coecients d'ondelettes aects forment un cne dans l'espace-chelle dni par l'ensemble des points (xs )
tels que : ju T x;x 0 j<sC x ju + 2 T x;y 0 j<sC y o)u
est le vecteur unitaire d'orientation , et o) le support de l'ondelette est compact et dni par;C x C x ];C y C y
]. Ce cne est appel le cne d'inuence de la singularit localise en (x
0 y
0
). Pour dcrire une singularit, l'information utile est prsente dans son cne d'inuence.
3.1.3 Transforme discrte en ondelettes
La transforme continue en ondelettes doit tre discrtise pour tre applicable en compression. Dans une perspective de compression et de description, les caractristiques souhaites de la transforme discrte sont mentionnes ci-dessous.
Le nombre de coecients transforms doit tre faible. Dans le cas d'une image continue, la connaissance de la transformeTI]surIR
2 IR
+
02tout entier n'est pas ncessaire pour reconstruire l'imageI. La reconstruction peut s'eectuer
partir des coecients d'ondelettes calculs surf(m2pn2p2p)gmnp2ZZ "Mal98]. Dans le cas d'une image discrte, le nombre minimal de coecients est le nombre de pixels de l'image. On parle dans ce cas de transforme en ondelettes chan-tillonnage critique.
Les coecients transforms doivent tre indpendants. Les niveaux de gris d'une image naturelle sont fortement dpendants, et on ne conna$t pas de transforme coecients indpendants. Il est revanche possible d'obtenir des coecients d-corrls par projection sur une base orthogonale de l'espace transform. L'analyse multirsolution, introduite par Mallat dans "Mal89], et prsente dans cette sec-tion, permet de construire des bases orthonormes d'ondelettes.
Les coecients transforms doivent tre d'entropie marginale, et si possible d'ordre suprieur, faible. La transforme en ondelettes absorbe tous les polynmes de de-gr infrieur ou gal la rgularit de l'ondelette mre. Par consquent, la trans-forme en ondelette est creuse, et donc de faible entropie marginale.
Il doit exister une implmentation de la transforme discrte de faible complexit. L'analyse multirsolution montre qu'une implmentation de complexit linaire existe par un banc de ltres a deux canaux.
La discrtisation de la transforme continue doit aecter aussi peu que possible ses proprits de de covariance. La section 3.2 montrera que le banc de ltres obtenu par l'analyse multirsolution ne permet pas d'assurer cette caractristique. Les ltres d'analyse doivent tre phase linaire, donc symtriques. Cette
caract-ristique est essentielle dans une perspective de description. Les lments saillants, comme les contours, ont un riche contenu spectral. Pour dtecter une primitive saillante particulire, toutes ses frquences caractristiques doivent rester en phase (sinon elles se brouillent avec les lments adjacents).
Le formalisme de l'analyse multirsolution est donc essentiel pour comprendre pour-quoi les transformes discrtes utilises dans le standard JPEG 2000 ne sont pas adap-tes au problme conjoint de compression et de description. Dans ce formalisme, un signal f 2 L2
(IR) se dcompose en une bande d'approximation du signal f l'chelle
p 2 IN
, et des bandes de dtails du signalf aux chelles0kp. Le banc de ltres permettant d'obtenir les composantes d'approximation et de dtails d'un signal X(!)
est illustr par la gure 3.4. Lorsque cette analyse est itre N fois sur la composante d'approximation, on dispose des coecients d'ondelettes aux chelles de 1 N et du reste d'approximation l'chelleN.
Analyse multirsolution. L'analyse multirsolution permet de trouver des onde-lettes2L2
(IR) telles que la famille fnpgnp2ZZ de fonctions dnies par :
8(np)2ZZ
2 np(t)=2
;p=2(2
est une base orthonorme deL 2
(IR). La transforme discrte en ondelettes def 2L 2
(IR)
est donne par l'ensemble des projections def sur les fonctions de base :
8(np)2ZZ 2 c np (f)=hf np i= Z f(t) np (t)dt (3.9)
Si la base est orthonorme, f se reconstruit par la superposition des coecients d'on-delettes : f(t)= X np c np (f) np (t) (3.10)
Une analyse multirsolution est une suite d'espaces vectoriels (V p
)
p2ZZ vriant les pro-prits suivantes :
(i) V
p est un sous espace ferm de L 2 (IR) (ii) V p V p;1 (iii) p2ZZ V p =L 2 (IR) et\ p2ZZ V p =f0g (iv) 9'2V 0 telle que f'(t;n)g
n2ZZ est une base orthonorme deV 0, cette fonction est lafonction d'chellede l'analyse multirsolution. (v) 8p2ZZ v(t)2V
p
,v(2t)2V p;1
La projection orthogonale d'un signal f sur cette suite d'espaces embo$ts permet de construire une base orthonorme d'ondelettes. La relation (i) assure l'existence de la projection orthogonale de f sur chacun des V
p, et les relations (ii) et (iii) que la suite des projections converge vers f pour toutf 2L
2
(IR). La dmonstration dans "Mal89] suit plusieurs tapes. La premire est d'utiliser les relations (ii), (iv) et (v) pour montrer que la famille f' np (t)=2 ;p=2 '(2 ;p t;n)g
n2ZZ est une base orthonorme de V p. Ceci permet de dnir l'approximation def la rsolutionp par :
Proj V p (f)= X n2ZZ hf' np i' np (3.11)
La deuxime tape consiste montrer qu'il existe une fonction telle que la famille
f np
g
n est une base orthonorme du supplmentaire orthogonal deV
p dans V
p;1. On a alors la relation suivante :
Proj Vp;1 (f)=Proj Vp (f) + X n2ZZ hf np i np (3.12)
Il s'en suit que la famille f np
g
np2ZZ est une base orthonorme deL 2
(IR).
Analyse multirsolution et banc de ltres. Outre la construction de bases or-thonormes d'ondelettes, l'analyse multirsolution permet le calcul des coecients d'ap-proximation et d'ondelettes par banc de ltres. Certaines proprits de ce banc de ltres rendent compte de sa variance aux translations et seront discutes dans la section 3.2.1. Les fonctions d'chelle '
np+1 se projettent sur la basef' np g n en : ' np+1 = X h' np+1 ' k p i' k p (3.13)
Il est possible d'crire le produit scalaire indpendamment de la rsolution p : h' np+1 ' k p i = Z 2 (;p+1)=2 '(2 (;p+1) t;n)2 ;p=2 '(2 ;p t;k)dt = Z 2 ;1=2 '( t 2 )'(t;(k;2n))dt = h' 01 ' k ;2n0 i
L'approximation de f la rsolution p+1 s'crit donc :
hf' np+1 i= X k2ZZ hf' k p ihk;2n] (3.14) o) hn] = h' 01 ' n0 i = R 2 ;1=2 '( t 2
)'(t ;n))dt est la rponse impulsionnelle d'un ltre passe-bas. Ainsi appara$t la possibilit d'obtenir rcursivement les coecients de l'approximation def l'chellep (la projection def surV
p). En substituant le ltreh
par son retourn temporel dans l'quation 3.14, l'approximation s
p+1 de f l'chellep
peut s'crire comme la convolution entre le ltrehet le signals
p, suivie d'une dcimation de facteur deux : s p+1 n]=hf' np+1 i= X k2ZZ h2n;k]s p (k) (3.15)
Le lien entre la fonction d'chelle continue ' et le ltre numrique h est donn en rcrivant l'quation 3.13 : ' 01 (t)= 1 p 2 '( t 2 )= X k2ZZ hk]'(t;k) (3.16)
soit dans le domaine de Fourier :
^ '(2!)=H(!)' (!)^ ='(0)^ +1 Y n=0 H( ! 2 n ) (3.17) o) H(!)= p 2 P n hn]e
;in!. En combinant cette quation avec l'quation d'orthonor-malit de la base f' n0 g n de V 0 : X n2ZZ j' (!^ +2n)j 2 =1 (3.18)
il vient l'quation de reconstruction exacte des ltres conjugus en quadrature :
jH(!)j 2
+jH(!+)j 2
=1 (3.19)
Cette quation montre que le module du spectre de h est born entre 0 et 1. Comme
^
' (0)est non nul (sinon'^est nul partout),H(0)=1(soit la condition de normalisation
P n
hn] = p
2), et H() =0. Le ltre h est donc bien un ltre passe-bas, permettant d'obtenir une version grossire du signal d'origine.
X(!) H(!) Analyse G(!) Synthse ~ H(!) ~ G(!) " 2 " 2 Y(!) # 2 # 2
Fig. 3.4 Analyse et synthse par deux paires de ltres bi-orthogonaux. De mme que pour le ltre passe-bas, le ltre passe-haut gn]s'obtient en projetant
01 surV 0 : gn]=h 01 ' n0 i= Z 2 ;1=2 ( t 2 )'(t;n))dt (3.20)
La condition d'orthonormalit de la famille f n0
g
n conduit la relation entre le ltre passe-bas et le ltre passe-haut :
gn]=(;1) n
h;n+1] (3.21)
La relation entre l'ondelette continue et le ltre numrique hest :
( t 2 )= p 2 X n2ZZ (;1) n h;n+1]'(t;n) (3.22)
soit dans le domaine de Fourier :
^ (2!) =H (!+)e ;i! ^ ' (!)=H (!+)e ;i! +1 Y n=1 H( ! 2 n ) (3.23)
L'algorithme de dcomposition en ondelettes par bancs de ltres permet de calculer rcursivement les coecients d'approximations
p n]et d'ondelettesc p n]par convolution et dcimation : s p n]= X k h2n;k]s p;1 k] c p n]= X k g2n;k]s p;1 k] (3.24)
L'algorithme de reconstruction s'eectue par convolutions et insertions de zros :
s p;1 k]= X n h2n;k]s p n] + X n g2n;k]c p n] (3.25)
La seule ondelette symtrique support compact pouvant tre gnre par une telle analyse multirsolution est l'ondelette de Haar valant 1 sur "0,1/2", -1 sur "1/2,1", et 0 partout ailleurs. En revanche, une innit d'ondelettes (avec un degr de rgularit
h Lignes 2:1# sp;1 1:2# 1:2# 1:2# 1:2# Colonnes 2:1# g g h h g c D p s p c H p c V p sp c H p c V p c D p 1:2 " Colonnes 1:2 " h 1:2 " g 1:2 " h g sp;1 Lignes 2:1" h 2:1" g
Fig.3.5 Un tage de la dcomposition multirsolution bidimensionnelle (en haut), et un tage de la synthse associe (en bas).
quelconque) peut tre engendre par analyse multirsolution en rempla&ant la contrainte d'orthogonalit par une contrainte de bi-orthogonalit. Dans ce cas, la reconstruction du signal f donne par l'quation 3.10 devient "Dau92] :
f = X np hf np i ~ np (3.26) o) ~
est l'ondelette duale de, c'est--dire vrie :
h np ~ n 0 p 0i= nn 0 pp 0 (3.27)
L'analyse bi-orthogonale s'eectue par le banc de ltres de la gure 3.4 mettant en jeu deux paires de ltres bi-orthogonaux.
Extension au cas bidimensionnel. L'extension classique de la transforme discrte par ondelettes aux signaux bidimensionnels se fait par produit tensoriel. La fonction d'chelle est sparable dans le repre cartsien :
'(xy)='(x)'(y) (3.28)
L'approximation de f(xy) la rsolution 2
;p est alors donne par :
s p n x n y ]=hf(xy)' nxp (x)' nyp (y)i (3.29)
0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 000 000 000 111 111 111 0000 0000 0000 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 Bande dia- hori-Bande Bande verticale basse Reste zontale frquence gonale
Fig. 3.6 Figure de gauche : partition du plan espace-frquence opre par la trans-forme discrte en ondelettes sparables. Figure de droite : visualisation sur niveaux de gris normaliss de la valeur absolue des coecients d'ondelettes sparables sur grille dyadique.
Comme dans le cas mono-dimensionnel, les coecients d'ondelettes sont obtenus par projection def sur le supplmentaire orthogonal deV
p dansV
p;1gnr par translation et dilatation non plus d'une ondelette mre mais de trois ondelettes mres dnies par :
H (xy)='(x)(y) V (xy)=(x)'(y) D (xy)=(x)(y) (3.30)
Les coecients d'ondelettes sont donc rpartis dans trois sous-bandes chaque niveau de rsolution p : c H p n x n y ]=hf(xy)' pnx (x) pn y (y)i c V p n x n y ]=hf(xy) pn x (x)' pny (y)i c D p n x n y ]=hf(xy) pnx (x) pny (y)i (3.31)
La gure 3.5 montre les bancs de ltres associs une telle dcomposition sparable