Validations numériques

Membrane : Sqq(xc, x′c, ω) = 16 AxAx′ ( ω4 ∫ S_x′ ∫ Sx σ2wv(x)Sww(x, x′, ω)wv(x′) dxdx′ − ω2 ∫ Sx′ ∫ Sx σ ˜T wv_(x)S wα(x, x′, ω)αv(x′) dxdx′ − ω2 ∫ Sx′ ∫ Sx σ ˜T αv⊤(x)Sαw(x, x′, ω)wv(x′) dxdx′ + ∫ Sx′ ∫ Sx ˜ T2αv⊤_(x)S αα(x, x′, ω)αv(x′) dxdx′ ) (3.55)

Pour calculer la densité interspectrale, la fenêtre virtuelle Sx′ est fixée à une position arbitraire et le point x′_csert comme référence à l’interspectre. La même technique itérative est ensuite appliquée pour balayer la surface avec des fenêtres Sx et résoudre l’interspectre

du chargement à chaque point successif xc. D’autre part, la densité autospectrale est

calculée en imposant x = x′ de sorte que les deux fenêtres virtuelles coïncident.

Le calcul des équations (3.54) et (3.55) à partir de grands maillages de mesure vibratoire est coûteux en ressources informatiques. Par conséquent, une alternative optimisée pour le traitement des données de déflectométrie optique est formulée à la fin de la section 6.2.3.

3.5.2

Validations numériques

Les résultats de reconstruction suivants sont basés sur des simulations des fonctions de den- sité spectrale de la réponse vibratoire. Ces fonctions sont calculées à l’aide des équations matricielles développées dans la section3.1pour un chargement aléatoire et en considérant les modes jusqu’à l’ordre 20 dans les directions x et y. Les paramètres mécaniques de la

plaque sont des valeurs typiques pour une plaque d’aluminium de 3,19 mm (1/8") d’épais- seur, tandis que des valeurs arbitraires mais réalistes ont été attribuées à la membrane (sur la base d’investigations préliminaires). Les propriétés de la plaque et de la membrane utilisées dans les simulations sont répertoriées dans le tableau 3.2.

Tableau 3.2 Paramètres des modèles de plaque et de membrane utilisés dans les validations numériques de la reconstruction d’excitations spatialement corrélées

PLAQUE MEMBRANE

Paramètre Valeur Paramètre Valeur

Dimensions (Lx× Ly) 48 cm × 42 cm Dimensions (Lx× Ly) 48 cm × 42 cm

Épaisseur (h) 3.19 mm Masse surfacique (σ) 0.1 kg/m2

Densité (ρ) 2700 kg/m3 Tension linéique (T ) 500 N/m

Module de Young (E) 70 GPa Facteur de perte structurale (η) 10−3

Coefficient de Poisson (ν) 0.3 Facteur de perte structurale (η) 4×10−3

Les excitations aléatoires considérées dans cette section sont le champ acoustique diffus (CAD) et la couche limite turbulente (CLT). La densité interspectrale de la pression pariétale d’un CAD entre le point x et le point de référence x′ est donnée par [80] :

Sqq(x, x′, ω) = Sqq(x, x, ω)

sin(k0|x − x′|)

k0|x − x′|

(3.56)

où Sqq(x, x, ω) est l’autospectre de pression en chaque point x, k0 = ω/c0 est le nombre

d’onde acoustique et c0 la vitesse du son. L’excitation CLT est définie à l’aide du modèle

empirique de Corcos [25]. Pour un écoulement dans le sens des x positif, l’interspectre de pression est : Sqq(x, x′, ω) = Sqq(x, x, ω) exp ( −ω|x − x ′_| αUc ) exp ( −ω|y − y ′_| βUc ) exp ( jω|x − x ′_| Uc ) (3.57)

où Sqq(x, x, ω) est à nouveau la densité autospectrale, α et β sont les coefficients de dé-

croissance de la corrélation spatiale les directions x et y, respectivement, et Ucest la vitesse

de convection. Les paramètres choisis sont α = 1.2, β = 0.8 et Uc= 0.7U∞, où U∞ est la

vitesse d’écoulement.

La référence x′ pour les densités interspectrales est le point au centre de la surface S et les excitations sont normalisées en supposant un autospectre unitaire : Sqq(x, x, ω) =

1 Pa2. Les reconstructions des interspectres en utilisant la VFM sont effectuées sur un maillage régulier de 49 × 43 points équidistants (résolution spatiale de 1 cm), tandis que les reconstructions de la densité autospectrale sont effectuées sur un maillage plus grossier de 33 × 29 points (résolution spatiale de 1,5 cm) pour maintenir le temps d’exécution inférieur à une heure sur un ordinateur portable régulier. Cependant, il existe une marge

58 L’APPLICATION DE LA VFM d’optimisation car les calculs de Sqq(xc, x′c, ω) sur les fenêtres virtuelles successives sont

indépendants et peuvent être traités en parallèle.

Afin de respecter l’approximation d’une pression uniforme sur la fenêtre virtuelle à l’équa- tion (3.23), des petites fenêtres virtuelles contenant 3 × 3 points sont utilisées. De toute évidence, il existe un compromis car cette approximation suppose que la fenêtre est petite par rapport à l’échelle spatiale du chargement, mais doit aussi inclure un nombre suffisant de points pour effectuer avec précision les intégrations de surface dans la VFM. Néan- moins, l’estimation de ces intégrales est améliorée par un sur-échantillonnage spatial et une interpolation cubique des fonctions de densité spectrale de la réponse vibratoire avant l’intégration.

La figure 3.6 présente quelques exemples de résultats de reconstruction pour différentes combinaisons de structures et d’excitations. En comparant les figures 3.6(a-b) et (c-d), on voit que la valeur maximale de 1 Pa2 dans la densité interspectrale du CAD est mieux prédite dans la figure (d) que dans la figure (b), dont les valeurs maximales sont 0.99 Pa2 et 0.84 Pa2_{, respectivement. Ceci est dû à la plus faible variation spatiale de l’interspectre}

à 750 Hz, qui se rapproche davantage d’une pression constante sur les fenêtres virtuelles de 3×3 points, confirmant ainsi l’hypothèse de l’équation (3.23). Cependant, il y a des erreurs notables sur la forme reconstruite de l’interspectre de chargement sur la figure3.6(d). Ceci est attribué à un échantillonnage spatial insuffisant des fonctions de réponse spectrale de la membrane Sww, Swα, Sαw and Sαα. En fait, la fréquence d’évaluation de 750 Hz est proche

de la 63èmerésonance de la membrane, ou du mode (m, n) = (10, 2), où m est l’indice modal selon x et n est l’indice selon y. Par conséquent, la résolution spatiale actuelle est trop grossière pour que les pics de réponse le long de la direction x soient correctement résolus. Inversement, le motif de la figure 3.6(b) est bien reproduit car la réponse de la plaque à 2000 Hz est seulement près de son 35ème _{mode, ou (7,3). La densité modale plus élevée}

de la membrane est un résultat général, car elle augmente linéairement avec la fréquence, tandis que la densité modale d’une plaque reste constante. Les expressions pour la densité modale d’une plaque et d’une membrane isotrope sont respectivement [18] :

nplaq(f ) = Ap h √ 3ρ(1 − ν2₎ E (3.58) nmemb(f ) = 2πσAm T f (3.59)

où Ap et Am sont les surfaces respectives de la plaque et de la membrane, E le module

de Young et ν le coefficient de Poisson. Par ailleurs, les figures 3.6(e-f) montrent une reconstruction adéquate de la partie réelle de l’interspectre à 200 Hz pour une CLT avec

Figure 3.6 (a-f) Comparaison des interspectres de chargement théoriques et reconstruits. (g-h) Autospectre de chargement reconstruit sur une plaque et une membrane (l’autospectre théorique est unitaire) [67].

U∞ = 40 m/s appliqué à la membrane, mais les amplitudes sont à nouveau sous-estimées

en raison de la courte échelle de corrélation spatiale comparée à la taille de la fenêtre virtuelle : la valeur maximale reconstruite au centre est de 0.63 Pa2, tandis que la valeur théorique est de 1 Pa2. Enfin, les figures3.6(g-h) représentent la densité autospectrale pour les excitations CAD et CLT, respectivement. Le résultat de la figure 3.6(g) montre une légère sous-estimation de l’autospectre du CAD sur la plaque avec une valeur moyenne de

60 L’APPLICATION DE LA VFM 0.90 Pa2. Ceci est dû à la moyenne spatiale impliquée dans l’approximation (3.23), ainsi qu’aux intégrations numériques approximatives sur la fenêtre virtuelle. Pour des raisons similaires, l’autospectre de pression reconstruit sur la membrane de la figure 3.6(h) a une valeur moyenne de 0.67 Pa2. Cependant, le biais plus prononcé dans ce cas est à nouveau attribué au sous-échantillonnage des fonctions de réponse spectrale de la membrane. En général, l’utilisation d’une résolution spatiale plus élevée conduira à des résultats plus précis car ces fonctions seront bien résolues, tout en permettant d’inclure plus de points de maillage dans la fenêtre virtuelle afin d’améliorer les intégrations numériques. Malgré la densité modale plus élevée de la membrane, l’un de ses avantages pratiques importants est qu’aucune différentiation spatiale n’est requise pour le calcul VFM en fonction de la fréquence, ce qui pourrait entraîner des résultats d’identification plus précis à partir de mesures expérimentales.