mˆeme ordre de grandeur que l’amplitude des rugosit´es.
A faible valeur de e, les dispersions sur H et E sont relativement importantes. Elles peuvent ˆetre li´ees `a un effet de surface et plus particuli`erement aux rugosit´es, qui ne sont pas totalement supprim´ees par le polissage. H et E prennent une valeur maximale pour e ≈ 0, 05 µm. A partir d’une profondeur de 0, 5 µm, toutes les mesures fournissent sensiblement le mˆeme r´esultat. A la profondeur maximale de p´en´etration, la valeur moyenne de la duret´e est de 5400 M P a et le module d’Young de 226 GP a. La valeur de H est l´eg`erement sup´erieure `a celle attendue (4500 MP a) tandis que la valeur de E est tout `a fait en accord avec celles fournies par la litt´erature. Cependant, ces ´ecarts sur H ne permettent pas d’expliquer les ´ecarts importants entre les essais et les simulations, puisque le fait d’augmenter la duret´e du mat´eriau, c’est-`a-dire plim, va
conduire `a des pressions de contact plus importantes et donc `a des aires de contact plus faibles. Ceci va tendre `a augmenter l’ouverture et les simulations surestimeront donc encore d’autant plus les valeurs de K mesur´ees.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 e (µm) (MPa)
Fig. 5.6: Duret´es H mesur´ees par micro-indentation sur l’´eprouvette 2 en fonction de la profondeur de p´en´etration e de l’indenteur -
5.3
Validation du mod`ele de Reynolds
5.3.1 Hypoth`ese d’´ecoulement rampant
Dans ce paragraphe nous nous int´eressons aux hypoth`eses qui ont ´et´e effectu´ees pour ´ecrire l’´equation de Reynolds. Pour r´esoudre le probl`eme d’´ecoulement du fluide au travers de la fracture rugueuse, nous avons tout d’abord suppos´e que le nombre de Reynolds Re est petit devant 1/ε, c’est-`a-dire que l’´ecoulement est rampant. Nous allons v´erifier cette condition a posteriori `a partir des valeurs exp´erimentales de
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 e (µm) E (GPa)
Fig. 5.7: Modules d’Young E mesur´es par micro-indentation sur l’´eprouvette 2 en fonction de la profondeur de p´en´etration e de l’indenteur -
transmissivit´es pr´esent´ees au chapitre 4.
L’expression du nombre de Reynolds d´epend du probl`eme ´etudi´e. Dans le cas d’un ´ecoulement au travers d’une fracture rugueuse, nous avons ´etabli, d’apr`es la forme adimensionn´ee de l’´equation de Navier-Stokes pr´esent´ee au paragraphe 2.2.1, que Re prend la forme :
Re = ρu
0h0
µ (5.3)
L’´equation de Reynolds (2.14) permet d’exprimer la vitesse caract´eristique u0. Dans ce cas, il vient : Re = ρ(h 0)3 12µ2 ∆P l (5.4)
Un estimateur raisonnable pour (h120)3 est K, ce qui conduit `a : Re = ρK
µ2
∆P
l (5.5)
o`u ρ et µ sont respectivement la masse volumique et la viscosit´e dynamique du fluide qui fuit au travers du contact, K la transmissivit´e du contact, ∆p la diff´erence de pression de part et d’autre du contact et l la largeur du contact.
Dans les conditions exp´erimentales, nous mesurons des fuites de butanol au travers d’un contact rugueux de 1 mm de large. Nous avons donc :
5.3. Validation du mod`ele de Reynolds
µbutanol= 2, 73.10−3 P a.s
l = 1.10−3 m ∆P = 2.105 P a K = 5.10−19m3
Nous avons choisi des valeurs de ∆p et de K qui sont caract´eristiques des valeurs exp´erimentales et qui maximisent Re. Ces valeurs nous donnent :
Re = 1, 1.10−2<< 1 ≤ 1
ε, car ε ≤ 1
D’apr`es la valeur de Re d´etermin´ee exp´erimentalement, l’´ecoulement peut donc ˆetre consid´er´e comme rampant, ce qui signifie que les effets inertiels sont n´egligeables dans l’´equation de Navier-Stokes. Ce r´esultat valide ainsi l’utilisation du mod`ele de Stokes pour d´ecrire le transport visqueux du fluide.
5.3.2 Approximation de Reynolds
Comme nous l’avons montr´e dans le chapitre 2, lorsque le champ d’ouverture est `a faibles variations, c’est-`a-dire quand le facteur d’´echelle est suffisamment faible (ε << 1), le mod`ele de Stokes se r´eduit `a l’´equation de Reynolds. Afin de v´erifier si cette condition est satisfaite, et ainsi valider l’approximation de Reynolds dans le cas des fractures rugueuses consid´er´ees dans ce travail, nous avons compar´e les transmissivit´es obtenues `a partir du mod`ele de Reynolds avec celles obtenues `a partir d’une r´esolution par ´el´ements finis (`a l’aide du logiciel commercial Comsol Multiphysics) du mod`ele de Stokes. Les probl`emes sont r´esolus `a travers une fracture form´ee par deux surfaces rugueuses auto-affines (Fig. 5.8) g´en´er´ees selon la m´ethode pr´esent´ee au paragraphe 3.3.1. La r´esolution du mod`ele de Stokes n´ecessite de mailler en 3-D la fracture rugueuse, contrairement `a l’´equation de Reynolds, qui est une ´equation 2-D. Pour limiter le nombre de donn´ees, les surfaces sont donc discr´etis´ees par 50 × 50 points sur une grille r´eguli`ere de taille 49 × 49 µm. Le maillage de la fracture est libre et compos´e de t´etra`edres. Nous avons par ailleurs v´erifi´e que le maillage ´etait suffisamment fin pour que les r´esultats n’en d´ependent pas. Deux fractures ont ´et´e consid´er´ees. La premi`ere est r´ealis´ee par deux surfaces rugueuses g´en´er´ees avec Df = 2, 5 et Ra = 0, 4 µm et la seconde avec Df = 2, 5 et Ra = 1, 0 µm. Pour
simplifier la description du probl`eme, les surfaces n’ont pas ´et´e ´ecras´ees et le contact ne se produit qu’en un seul point.
Dans le tableau 5.4 apparaissent les transmissivit´es calcul´ees sur chacune des deux fractures avec les ´equations de Reynolds d’une part, et de Stokes d’autre part. Les transmissivit´es ont ´et´e calcul´ees dans les deux directions orthogonales x et y.
D’apr`es ce tableau, les ´ecarts entre KReynolds et KStokes sont du mˆeme ordre de
x
y
z
Fig. 5.8: Fracture rugueuse consid´er´ee (`a gauche) et son maillage (`a droite) - c’est-`a-dire quand ε augmente (h0 augmente mais pas l0). Ils sont de l’ordre de 7% pour Ra = 0, 4 µm et de 30% pour Ra = 1, 0 µm. On notera aussi, comme attendu [Mourzenko et al., 1995], que la transmissivit´e estim´ee `a l’aide du mod`ele de Reynolds est syst´ematiquement sup´erieure `a celle calcul´ee avec le mod`ele de Stokes.
On peut noter d’une part que les fractures ´etudi´ees dans le cadre de la th`ese sont similaires au cas n˚1 (Ra = 0, 4 µm), ce qui valide l’utilisation de l’´equation de Reynolds pour les surfaces rod´ees consid´er´ees jusqu’`a pr´esent, et d’autre part que, compte tenu des r´esultats exp´erimentaux concernant la r´ep´etabilit´e des mesures, des ´ecarts de 30% sur l’extimation de K restent tout `a fait acceptables. Enfin, on peut remarquer que les d´eformations des surfaces, non consid´er´ees ici, vont tendre `a diminuer ε, car h0 va diminuer avec le serrage mais pas l0. Les erreurs dues `a l’ap-
proximation de Reynolds auront donc tendance `a diminuer avec l’augmentation de Pca.
Tab. 5.4: Comparaison des transmissivit´es obtenues `a partir des ´equations de Reynolds et de Stokes - Ra (µm) KReynolds (µm3) KStokes (µm3) KReynolds KStokes 0, 4 0, 88 0, 79 0, 82 0, 75 1, 07 1, 05 (x) (y) 1, 0 13, 7 12, 3 10, 3 9, 7 1, 33 1, 27 (x) (y)
5.3.3 Influence des conditions aux limites sur K
Lors du changement d’´echelle, nous avons suppos´e que l’´el´ement sur lequel sont moyenn´ees les ´equations est repr´esentatif de toute la texture, c’est pourquoi nous avons appliqu´e des conditions aux limites p´eriodiques. Afin de s’assurer que ces derni`eres n’introduisent pas d’erreur sur l’estimation de K, nous avons test´e leur influence en