Validation de l’utilisation de surfaces auto-affines simul´ees

estimer les performances du contact

L’objectif de ce paragraphe est de valider l’utilisation de surfaces auto-affines simul´ees `a la place de surfaces r´eelles mesur´ees, notamment pour l’estimation des propri´et´es de transport. Ce travail de validation a fait l’objet d’une publication [Vallet et al., 2008]. Pour ce faire, nous consid´erons tout d’abord les deux mˆemes surfaces (rod´ee et sabl´ee) que dans le paragraphe 3.2.2. Des surfaces ´equivalentes ont ensuite ´et´e simul´ees avec les param`etres d´efinis dans le tableau 3.1 et Df = 2, 5.

La fr´equence de coupure ωmin a ´et´e ´egalement ´et´e prise en compte pour simuler la

surface rod´ee. Ainsi, pour ωeq < ωmin, P est constant. Pour chacune des surfaces

r´eelles - rod´ee et sabl´ee -, quatre surfaces ´equivalentes ont ´et´e simul´ees `a partir de s´equences al´eatoires amn diff´erentes afin de quantifier la dispersion des r´esultats li´ee au

caract`ere al´eatoire de la texture. Les densit´es spectrales des surfaces consid´er´ees sont repr´esent´ees sur les figures 3.15 et 3.16 et leurs textures sur les figures 3.17 et 3.18. D’un point de vue qualitatif, les textures des surfaces rod´ees sont plus r´eguli`eres que celles des surfaces sabl´ees. Cela peut s’expliquer par l’analyse des densit´es spectrales. Comme il a d´ej`a ´et´e pr´ecis´e, la surface rod´ee ne pr´esente des propri´et´es d’auto-affinit´e qu’aux hautes fr´equences. Toutes les fr´equences inf´erieures `a ωmin sont tronqu´ees (Fig.

3.15), ce qui signifie que l’amplitude des grandes longueurs d’onde est att´enu´ee par rapport aux surfaces sabl´ees, qui sont quant `a elles auto-affines `a toutes les ´echelles consid´er´ees (Fig. 3.16).

(a) (b)

Fig. 3.15: Densit´es spectrales de la surface rod´ee r´eelle (a) et de sa surface simul´ee ´equivalente (b) -

(a) (b)

Fig. 3.16: Densit´es spectrales de la surface sabl´ee r´eelle (a) et de sa surface simul´ee ´equivalente (b) -

Dans le cadre de la validation des outils mis en place pour simuler des surfaces rod´ees, nous allons comparer les aires de contact et les propri´et´es de transport (K et D) obtenues `a partir des surfaces r´eelles avec celles obtenues `a partir des surfaces simul´ees. Par simplification, nous consid´ererons le contact entre une seule surface rugueuse d´eformable et un plan lisse et parfaitement rigide. Les calculs de d´eformation ont ´et´e effectu´es avec le code semi-analytique pr´esent´e au paragraphe 2.1.2 et avec

3.3. Simulation de surfaces auto-affines et validation des outils fractals

- r´eelle - - simul´ee -

Fig. 3.17: Textures des surfaces rod´ees -

- r´eelle - - simul´ee -

Fig. 3.18: Textures des surfaces sabl´ees -

les propri´et´es m´ecaniques d’un acier inoxydable standard (voir Tab. 3.2). Les cal- culs ont ´et´e r´ealis´es pour une pression de contact apparente Pca variant de 7 `a 600 M P a.

Tab. 3.2: Propri´et´es m´ecaniques d’un acier inoxydable standard - module d’Young coefficient de Poisson duret´e

E ν _H

210 GP a 0, 3 1800 M P a

Aires r´eelles de contact

Sur la figure 3.19 est repr´esent´e le rapport de l’aire r´eelle de contact Sc sur l’aire apparente S = Lx× Ly, en fonction de la pression de contact apparente Pca, pour les

surfaces rod´ees d’une part, et les surfaces sabl´ees d’autre part. Ces courbes confirment tout d’abord la proportionnalit´e entre Sc/S et Pca [Bhushan, 1998]. On constate

de plus un parfait accord entre les r´esultats obtenus `a partir des surfaces r´eelles et simul´ees ´equivalentes, et qu’il n’y a aucune dispersion entre chacune des surfaces simul´ees. Cependant, on peut remarquer d’apr`es la figure 3.19 que cette comparaison n’est pas suffisante car les deux surfaces r´eelles ont des variations de Sc/S identiques alors que leur texture ont des propri´et´es diff´erentes. Afin de rendre le comparatif plus complet, une ´etude sur la distribution des aires locales de contact a donc ´et´e effectu´ee.

0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 25 30 35 Pca (MPa) Sc/S (%) Surface réelle Surfaces simulées 0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 25 30 35 Pca (MPa) Sc/S (%) Surface réelle Surfaces simulées

- Surface rod´ee - - Surface sabl´ee -

Fig. 3.19: Aire de contact relative Sc/S en fonction de la pression de contact apparente Pca -

Sur les figures 3.20 et 3.21 sont repr´esent´es la moyenne m et l’´ecart type σ de la distribution des aires de contact locales en fonction de la pression apparente de contact Pca, pour les surfaces rod´ees et sabl´ees respectivement. En ce qui concerne les surfaces rod´ees, il apparaˆıt que toutes les surfaces simul´ees ont un comportement similaire. En revanche, on observe une dispersion importante entre les quatre r´ealisations des surfaces sabl´ees simul´ees. Encore une fois, la diff´erence entre les surfaces rod´ees et sabl´ees provient de la pr´esence ou non de la fr´equence de coupure ωmin dans la densit´e

spectrale (voir Figs. 3.15 et 3.16). Dans le cas des surfaces sabl´ees, le motif pr´edominant de la texture est gouvern´e par les grandes longueurs d’onde, qui sont du mˆeme ordre de grandeur que les dimensions de la surface. Les diff´erentes r´ealisations peuvent donc avoir des textures relativement diff´erentes, bien qu’ayant les mˆemes param`etres. Les dispersions entre les quatre r´ealisations sont donc dues `a un effet de taille finie des surfaces. Dans le cas des surfaces rod´ees, le motif pr´edominant n’est plus gouvern´e par les plus grandes longueurs d’onde, c’est pourquoi les textures sont plus r´eguli`eres et donc plus homog`enes.

Les r´esultats de la figure 3.20 montrent un bon accord entre la moyenne des aires locales de contact de la surface rod´ee r´eelle et celles de ses surfaces simul´ees ´equivalentes, puisque les erreurs relatives sont inf´erieures `a 10%. L’´ecart type est un peu plus sensible car les erreurs sont de l’ordre de 30%. Concernant les surfaces sabl´ees r´eelle et simul´ees, les erreurs relatives sur la moyenne m peuvent atteindre 20% (Fig.

3.3. Simulation de surfaces auto-affines et validation des outils fractals

3.21), ce qui reste raisonnable compar´e `a la dispersion relative des quatre r´ealisations qui est de l’ordre de 15%. Les r´esultats concernant l’´ecart type montrent un bon accord entre surfaces r´eelle et simul´ees.

0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 25 30 35 m aires de contact (µm 2 ) 0 100 200 300 400 500 600 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Pca (MPa) σ aires de contact (µm 2 ) Surface réelle Surfaces simulées Surface réelle Surfaces simulées

Fig. 3.20: Moyenne m et ´ecart type σ de la distribution des aires locales de contact de la surface rod´ee - 0 100 200 300 400 500 600 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 m aires de contact (µm 2 ) 0 100 200 300 400 500 600 0 200 400 600 800 1000 1200 Pca (MPa) σ aires de contact (µm 2 ) Surface réelle Surfaces simulées Surface réelle Surfaces simulées

Fig. 3.21: Moyenne m et ´ecart type σ de la distribution des aires locales de contact de la surface sabl´ee -

Propri´et´es de transport effectives

Pour calculer les propri´et´es de transport `a l’´echelle des surfaces consid´er´ees, un seul changement d’´echelle est effectu´e, ce qui signifie que l’on applique les mod`eles

macroscopiques `a l’´el´ement de surface. La d´etermination des propri´et´es de transport est donc effectu´ee par r´esolution du probl`eme de fermeture sur cet ´el´ement. Les processus de rodage et de sablage ´etant al´eatoires, on s’attend `a ce que les surfaces soient isotropes, ce qui implique que Kxx = Kyy. Par ailleurs, le d´ebit dans la direction χ est principalement

dˆu au gradient de pression dans cette direction. Ceci se traduit par le fait que les termes extra-diagonaux des tenseurs K et D doivent ˆetre n´egligeables devant les termes diagonaux. Dans le cas des textures ´etudi´ees ici, les tenseurs K et D sont th´eoriquement sph´eriques, c’est-`a-dire K =KI et D =DI.

Les r´esultats num´eriques obtenus montrent que les termes extra-diagonaux de K et D sont deux ordres de grandeur inf´erieurs aux termes diagonaux. Nous ne nous int´eressons donc qu’`a ces derniers. Comme nous allons le voir par la suite, l’isotropie des surfaces n’est r´eellement v´erifi´ee que pour les surfaces rod´ees.

La comparaison entre les propri´et´es de transport des surfaces rod´ees r´eelle et si- mul´ees est pr´esent´ee sur la figure 3.22. Celle-ci montre l’´evolution des termes diagonaux de K et D en fonction de la pression de contact apparente Pca. Comme attendu, cette figure met clairement en ´evidence la d´ecroissance de K et D avec Pca, qui s’explique simplement par le fait que le serrage rend le contact moins percolant. On peut remar- quer que la plage de variation de K est bien plus importante que celle de D, ce qui s’explique par le fait que K varie avec h3 tandis que D varie avec h.

De plus, la surface r´eelle rod´ee est parfaitement isotrope aux ´echelles consid´er´ees et toutes les surfaces simul´ees ont les mˆemes propri´et´es de transport, except´e lorsque le serrage devient important. Aux faibles valeurs de Pca, les ramifications des chemins de fuite permettant au fluide de traverser le contact sont suffisamment nombreuses pour que toutes les surfaces soient statistiquement identiques. Aux grandes valeurs de Pca, le nombre de ramifications se rar´efie, ce qui explique les diff´erences entre les r´ealisations des surfaces simul´ees. Aussi bien pour K que pour D, on observe cependant un tr`es bon accord entre surface r´eelle et surfaces simul´ees. Quel que soit Pca, les ´ecarts relatifs sur D sont inf´erieurs `a 7%. Pour K, ces ´ecarts atteignent 20%, ce qui reste faible compte tenu des variations de K sur environ trois ordres de grandeur pour la gamme de Pca consid´er´ee.

Sur la figure 3.23, nous avons repr´esent´e les termes diagonaux de K et D estim´es sur la surface r´eelle sabl´ee et sur les surfaces simul´ees ´equivalentes. Contrairement au cas pr´ec´edent, la surface r´eelle sabl´ee n’est pas isotrope, car on remarque des ´ecarts significatifs entre les termes diagonaux de K et D. Les mˆemes constations peuvent ˆetre faites pour les surfaces simul´ees entre elles. De la mˆeme mani`ere que pour les aires de contact, ceci provient d’un effet de taille finie des surfaces et de l’absence de la fr´equence de coupure ωmin dans la densit´e spectrale. Pour chaque surface, on constate

de plus que les ´ecarts entre les termes diagonaux augmentent avec Pca. Ces ´ecarts sont dus au nombre de zones percolantes qui diminue, accentuant les dispersions. Les ´ecarts relatifs entre les termes diagonaux par rapport `a la valeur moyenne ( |Kxx−Kyy|

(Kxx+Kyy)/2) atteignent 20% pour la diffusivit´e et 45% pour la transmissivit´e. Cependant, comme pour les surfaces rod´ees, on constate un tr`es bon accord entre les propri´et´es de

3.3. Simulation de surfaces auto-affines et validation des outils fractals 100 101 102 103 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Pca (MPa) K (µm 3 ) Surface réelle Surfaces simulées 100 101 102 103 10−2 10−1 100 101 Pca (MPa) D (µm) Surface réelle Surfaces simulées - Transmissivit´e - - Diffusivit´e -

Fig. 3.22: Propri´et´es de transport effectives des surfaces rod´ees r´eelle et simul´ees -

100 101 102 103 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 Pca (MPa) K (µm 3 ) Surface réelle Surfaces simulées 100 101 102 103 10−2 10−1 100 101 Pca (MPa) D (µm) Surface réelle Surfaces simulées - Transmissivit´e - - Diffusivit´e -

Fig. 3.23: Propri´et´es de transport effectives des surfaces sabl´ees r´eelle et simul´ees -

transport de la surface r´eelle et celles des surfaces simul´ees.

L’ensemble de ces r´esultats, portant `a la fois sur les aires de contact sur les pro- pri´et´es de transport, permettent de conclure que l’utilisation de surfaces auto-affines simul´ees est tout `a fait appropri´ee pour pr´edire le comportement d’un contact rugueux, tant du point de vue de la d´eformation des surfaces rugueuses que du transfert de mati`ere visqueux ou diffusif au travers du contact.