1.3 Propri´et´es radiatives du milieu
2.1.5 Validation
a la fois la continuit´e des variables et la continuit´e de leurs d´eriv´ees (Xin et al., 2008).
2.1.5 Validation
R´egime stationnaire
Le code parall`ele spectral a ´et´e valid´e par comparaison avec les r´esultats de Tric et al. (2000) pour des ´ecoulements stationnaires en cavit´e cubique remplie d’air (Pr = 0, 71) `a Ra = 105, Ra = 106 et Ra = 107. Tric et al.(2000) utilisent un code spectral Chebyshev s´equentiel et une m´ethode de projection-diffusion pour le couplage pression-vitesse. Leur domaine est maill´e par 813 points de Gauss-Lobatto pour Ra = 105 et Ra = 106 et par 1013 points de Gauss-Lobatto pour Ra = 107. Leur pas de temps est tel que δta/L2 = 4 × 10−5. Concernant les pr´esents calculs, le domaine est maill´e par 81 × 81× (4× 21) points de Gauss-Lobatto (81 points dans les directions x et y, 21 points dans la direction z pour chacun des quatre processeurs). Le pas de temps est δt+ = 2 × 10−3 pour Ra = 105 et 106 et δt+ = 10−3 pour Ra = 107.
Le tableau 2.1 compare le maximum des trois composantes de la vitesse, le nombre de Nusselt Nump moyenn´e selon la ligne x+ = 0 et y+ = 0, 5 et le nombre de Nusselt Nu3D moyenn´e sur le plan x+= 0. Un bon accord est obtenu pour chaque quantit´e compar´ee, les diff´erences restent inf´erieures `a 0, 5 %.
2.1. M´ETHODE SPECTRALE POUR LA CONVECTION NATURELLE
Table 2.1 – Comparaison entre les r´esultats obtenus avec le code spectral et les calculs de Tric et al. (2000). Maximum des trois composantes de la vitesse, nombre de Nusselt Numpmoyenn´e sur une ligne x+=0 et y+=0,5 et nombre de Nusselt Nu3D moyenn´e sur la paroi chaude x+=0.
Ra = 105 Ra = 106
Code spectral Tric et al. Code spectral Tric et al.
u+1 max 0,13859 0,13884 0,12664 0,12697 u+2 max 0,03065 0,03067 0,02550 0,02557 u+3 max 0,22411 0,22474 0,23627 0,23672 Nump 4,6117 4,6127 8,8743 8,8771 Nu3D 4,3360 4,3370 8,6381 8,6407 Ra = 107
Code spectral Tric et al.
u+1 max 0,12090 0,12138
u+2 max 0,02627 0,02637
u+3 max 0,24168 0,24291
Nump 16,5433 16,5477 Nu3D 16,3386 16,3427
R´egime instationnaire
Une seconde validation a ´et´e men´ee en confrontant les r´esultats du code spectral aux r´esultats de Trias et al. (2007, 2010a,b) en r´egime instation-naire, dans une cavit´e de rapport de forme Lz/Lx= 4, Ly/Lx= 1, remplie d’air (Pr = 0, 71) et `a un nombre de Rayleigh bas´e sur la hauteur de la cavit´e RaLz = 2 × 109. Les parois haute et basse de la cavit´e sont adia-batiques et la p´eriodicit´e des champs de temp´erature, pression et vitesse est impos´ee dans la direction y. Trias et al. (2007, 2010a,b) utilisent une m´ethode de volumes finis, un sch´ema temporel explicite et une m´ethode de projection pour le couplage pression-vitesse. Leur r´esolution spatiale est de 144 × 64 × 318 points (maillage r´egulier dans la direction y, maillage bas´e sur une fonction tangente hyperbolique dans les directions x et z) et leur pas de temps est ´egal `a δt+= 1, 27 × 10−3. Concernant les pr´esents calculs, le domaine est maill´e par 161 × 81 × (8 × 41) points (un d´eveloppement spectral en Fourier est utilis´e dans la direction y) et le pas de temps est δt+= 5 × 10−4. Les r´esultats sont moyenn´es statistiquement h·i en moyen-nant selon le temps (∆t+ = 420 ici et ∆t+ = 550 pour Trias et al.), selon la direction y et selon la sym´etrie centrale 2D par rapport au point central (x+; z+) = (0, 125; 0, 5).
Le tableau 2.2 compare le nombre de Nusselt moyen, le maximum de l’´ecart type du nombre de Nusselt, la temp´erature moyenne de la paroi haute, la stratification thermique au cœur de la cavit´e, le maximum de u+1 dans le plan vertical `a mi-largeur, le maximum de u+3 dans le plan horizon-tal `a mi-hauteur, et enfin le taux de pseudo-dissipation d’´energie cin´etique turbulente moyenn´e sur l’ensemble du volume. Pour chacune de ces quanti-t´es, les ´ecarts ne d´epassent pas 1, 5 %. La figure 2.2 compare des profils de l’´energie cin´etique turbulente, de la pseudo-dissipation, du nombre Nusselt et de l’´ecart type du nombre de Nusselt. Une nouvelle fois, les ´ecarts sont faibles et peuvent ˆetre attribu´es aux diff´erences de m´ethode num´erique, de r´esolution temporelle et spatiale et de temps d’int´egration.
2.2 Transferts radiatifs
La r´esolution num´erique de l’´equation de transfert radiatif le long d’un trajet optique se r´esume `a un calcul d’int´egrales spatiales (´equation (1.13)) pour un milieu non diffusant. Pour calculer la puissance volumique ainsi que les flux aux parois intervenant dans les ´equations (1.4) et (1.8), ce calcul doit
2.2. TRANSFERTS RADIATIFS
Table2.2 – Comparaison entre les r´esultats obtenus avec le code spectral et les calculs de r´ef´erence de Trias et al. (2007, 2010a,b) `a Ra = 2×109. Nombre de Nusselt moyen, maximum de l’´ecart type du nombre de Nusselt, temp´era-ture moyenne de la paroi haute, stratification thermique hSi = ∂ hT+i /∂z+ au cœur de la cavit´e, maximum de u+1 dans un plan vertical `a mi-largeur, maximum de u+3 dans un plan horizontal `a mi-hauteur et pseudo-dissipation d’´energie cin´etique turbulente moyenn´ee sur l’ensemble du volume.
Code spectral Trias et al.
hNui 66,55 66,63 σ(Nu)max(z+) 11,09 10,92 hT+ihaut 0,389 0,391 hSi 1,02 1,01 u+1 max(x+= 0, 125, z+) 1,78×10−2 1,76×10−2 u+3 max(x+, z+ = 0, 5) 2,22×10−1 2,22×10−1 Pr/√ Ra(∂u+′i /∂x+i )2 7,96×10−5 8,08×10−5 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 x+ 0 0,0005 0,001 0,0015
énergie cinétique turbulente
0 50 100 150 pseudo-dissipation 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 z+ 0 100 200 300 < Nu > 0 5 10 σ ( Nu')
Figure2.2 – `A gauche : ´energie cin´etique turbulente 0.5u+′i u+′i (en bleu) et pseudo-dissipation (∂u+′i /∂x+i )2 (en rouge) `a z+ = 0, 8. `A droite : nombre de Nusselt (en bleu) et son ´ecart type (en rouge) sur la paroi chaude x+ = 0. Les r´esultats du code spectral en traits pleins sont compar´es aux r´esultats de Trias et al. (2007, 2010a,b) en pointill´es.
ˆetre men´e en chaque point du domaine r, dans chaque direction Ω, pour chaque fr´equence ν et doit ˆetre r´ep´et´e dans le temps `a mesure que le champ de temp´erature ´evolue.
Le coˆut ´elev´e du calcul num´erique des transferts radiatifs a encourag´e le d´eveloppement de m´ethodes approch´ees, simplifiant la d´ependance fr´equen-tielle (cet aspect a ´et´e pr´ec´edemment discut´e, voir § 1.3) et directionnelle de la luminance. La m´ethode PN, bas´ee sur un d´eveloppement `a l’ordre N de la luminance sur une base d’harmoniques sph´eriques, permet d’obtenir un jeu d’´equations diff´erentielles qui ne d´ependent plus de la direction de propagation. Plus l’ordre du d´eveloppement est ´elev´e, plus la m´ethode est pr´ecise mais plus il y a d’´equations `a r´esoudre. Les m´ethodes de bas ordre (P1 et P3) sont les plus pratiqu´ees mais n’apportent des r´esultats pr´ecis que dans le cas de milieux optiquement ´epais (κνL >> 1). La m´ethode des or-donn´ees discr`etes est une autre approche qui consiste `a r´ealiser l’int´egration directionnelle au moyen d’une quadrature. La discr´etisation grossi`ere de l’es-pace des directions, permet de r´eduire le coˆut du calcul mais conduit `a des impr´ecisions sur de longs trajets optiques. Des d´etails concernant ces m´e-thodes sont donn´es dans les ouvrages de r´ef´erence consacr´es au rayonnement thermique (Siegel et Howell, 2002; Modest, 2003).
Les m´ethodes de r´ef´erence pour le calcul du transfert radiatif, attei-gnant des niveaux de pr´ecision comparables aux m´ethodes spectrales pour la m´ecanique des fluides, sont n´eanmoins praticables aujourd’hui grˆace aux progr`es de l’informatique. Deux m´ethodes de r´ef´erence ont ´et´e d´evelopp´ees dans ces travaux. La premi`ere est la m´ethode de Monte Carlo, m´ethode de r´esolution statistique qui permettra ici de tenir compte des propri´et´es radiatives raie par raie. La seconde est la m´ethode de lancer de rayons, m´e-thode de r´esolution d´eterministe qui ne pourra ˆetre appliqu´ee que combin´ee avec un mod`ele approch´e des propri´et´es radiatives. Avant de pr´esenter et de discuter ces m´ethodes, une nouvelle formulation de l’´equation de transfert radiatif est introduite afin de s’adapter aux faibles gradients de temp´erature rencontr´es dans la cavit´e.