Validation et comparaison des m´ethodes

NADF X i=1 Z 4π 0 κ_i(r)Ii(r, Ω)dΩ, (2.54) q^R·n(r_p) = NADF X i=1 ε(r_p)a_i(r)σ(T (r_p)⁴− TS⁴) − NADF X i=1 ε(r_p) Z Ω′·n<0Ii(r_p, Ω^′)|Ω^′· n|dΩ^′. (2.55)

2.2.4 Validation et comparaison des m´ethodes

Mur plan homog`ene isotherme

Le mur plan homog`ene isotherme est une configuration unidimensionnelle pour laquelle les transferts radiatifs peuvent ˆetre r´esolus de mani`ere analy-tique, ce qui constitue un premier cas de validation pour les codes de Monte Carlo et de lancer de rayons. On consid`ere un milieu gris, de coefficient d’absorption κ, isotherme `a Tgaz= 300 K, contenu entre deux parois noires parall`eles, de temp´erature uniforme T_paroi = 300, 1 K, infinies dans les di-rections y et z et s´epar´ees par une distance L. Le flux radiatif aux parois x = 0 et x = L ainsi que la puissance radiative volumique sont donn´es par les relations

q^R·n|paroi= σ(T_paroi⁴ − Tgaz⁴ ) (1 − 2E3(κL)) , (2.56)

Table2.3 – Mur plan homog`ene isotherme. Flux radiatif adimensionn´e par σ(T_paroi⁴ − Tgaz⁴ ) calcul´e par l’´equation (2.56), par la m´ethode de lancer de rayons et par la m´ethode de Monte Carlo.

κL Analytique Lancer de rayons Monte Carlo

0,25 0,35063 0,35055 0,35063

1 0,78062 0,78062 0,78062

2 0,93973 0,93974 0,93973

o`u E2 et E3 sont les fonctions int´egro-exponentielles d´efinies par En(x) = R₁

0 χⁿ⁻²exp(−x/χ)dχ.

Pour r´esoudre ce probl`eme avec la m´ethode de Monte Carlo 3D, le calcul est effectu´e dans un cube de cˆot´e L en imposant des parois parfaitement r´efl´echissantes sp´eculaires en y = 0, y = L, z = 0 et z = L. Les directions y et z sont consid´er´ees comme des invariants statistiques selon lesquels on peut moyenner le r´esultat. La m´ethode de lancer de rayons ne permet pas de traiter la r´eflexion sp´eculaire. Avec cette m´ethode, le probl`eme est r´esolu dans un domaine parall´el´epip´edique tel que L_z= L_y = 104L, avec des parois diffuses parfaitement r´efl´echissantes aux extr´emit´es et le r´esultat est extrait le long de la ligne y = L_y/2 et z = L_z/2 afin de limiter l’influence des bords. Pour chacune des m´ethodes, le domaine est maill´e par 21 points de Gauss-Lobatto dans la direction x et 21 points uniform´ement espac´es dans les directions y et z. Le nombre de tirs Monte Carlo est fix´e `a N<sub>tirs</sub> = 6 × 10<sup>9</sup> et les nombres de directions du lancer de rayons sont fix´es `a N_ϑ×Nϕ = 60 ×60 et N_ϑ^p× Nϕ^p = 30 × 60.

Le calcul est men´e pour les ´epaisseurs optiques κL = 0, 25, κL = 1 et κL = 2. Les r´esultats sur la puissance volumique sont repr´esent´es sur la figure 2.4 : les ´ecarts avec la solution analytique n’exc`edent pas 0,3 % pour la m´ethode de Monte Carlo et 0,7 % pour la m´ethode de lancer de rayons. Les r´esultats sur le flux aux parois sont donn´es dans le tableau 2.3. L’accord avec la solution analytique est excellent pour les deux m´ethodes.

Cas de validation tridimensionnel

Peu de calculs de r´ef´erence tridimensionnels ont ´et´e propos´es dans la litt´era-ture consacr´ee aux transferts radiatifs et les rares cas de r´ef´erence disponibles ont g´en´eralement ´et´e calcul´es avec des m´ethodes approch´ees comme la

m´e-2.2. TRANSFERTS RADIATIFS -0,76 -0,72 -0,68 κ=0,25 m^-1 Analytique Lancer de rayons Monte Carlo -0,5 -0,4

puissance radiative volumique

κ=1 m^-1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x⁺ -0,5 -0,3 -0,1 κ=2 m^-1 0 0,1 0,2 0 0,2 0,4 0,6 écarts relatfs (%) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x⁺ 0 0,2 0,4 0,6

Figure 2.4 – Mur plan homog`ene isotherme. `A gauche, puissance radia-tive volumique adimensionn´ee par 4κσ(T_paroi⁴ − Tgaz⁴ ) calcul´ee par l’´equa-tion (2.57), par la m´ethode de lancer de rayons et par la m´ethode de Monte Carlo. `A droite, erreur relative du calcul Monte Carlo et lancer de rayons compar´e `a la solution analytique.

thode des ordonn´ees discr`etes. On propose ici un cas test tridimensionnel afin de valider de fa¸con crois´ee le code de Monte Carlo et le code de lancer de rayons.

On consid`ere une cavit´e cubique de taille L, ferm´ee par des parois d’´emis-sivit´e ε = 0, 5 et contenant un milieu gris d’´epaisseur optique κL = 1. On impose un champ de temp´erature Gaussien dans le milieu

T (x⁺, y⁺, z⁺) = exp(−(x⁺−x⁺c)²−(y⁺−yc⁺)²−(z⁺−zc⁺)²)∆T +T0 (2.58) avec (x⁺_c , y_c⁺, z_c⁺) = (0, 25, 0, 25, 0, 25), ∆T = 10 K et T0 = 300 K. Les parois sont isothermes `a la temp´erature T<sub>0</sub>. Le domaine est discr´etis´e en 43 points uniform´ement espac´es dans chaque direction d’espace. Le nombre de tirs Monte Carlo est fix´e `a Ntirs = 6 × 10⁹ et les nombres de directions du lancer de rayons sont fix´es `a N_ϑ× Nϕ = 60 × 60 et Nϑ^p× Nϕ^p = 30 × 60.

La figure 2.5 montre la puissance volumique radiative et le flux radiatif pour diff´erents plans x, calcul´es avec la m´ethode de lancer de rayons. Comme le champ de temp´erature, le champ de puissance radiative pr´esente une sym´etrie de r´eflexion selon la ligne x+= y+= z+et ces quelques plans sont donc repr´esentatifs du champ 3D complet. Les parois ´etant plus froides que

Figure2.5 – Cas de validation 3D. Isovaleurs du flux radiatif (adimensionn´e par εσ((T₀+∆T )4−T4

0)) `a x+= 0 et x+=1 et puissance radiative volumique (adimensionn´ee par 4κσ((T0+∆T )<sup>4</sup>−T0<sup>4</sup>)) `a x⁺= 0, 25 et x⁺= 0, 75 calcul´es avec la m´ethode de lancer de rayons.

le milieu, le flux radiatif est n´egatif et poss`ede un minimum pr`es du point chaud (x⁺_c, y⁺_c , z⁺_c ). Le milieu ´etant plus chaud que les parois, la puissance radiative volumique est positive et poss`ede un maximum dans le coin x+= y<sup>+</sup> = z<sup>+</sup> = 0. La comparaison entre les calculs Monte Carlo et lancer de rayons est pr´esent´ee figures 2.6 et 2.7. On observe un bon accord entre les deux m´ethodes : les ´ecarts sont de l’ordre de l’´ecart type Monte Carlo et n’exc`edent pas 0,3 % pour les puissances et 0,4 % pour les flux. L’´ecart type Monte Carlo est quasi-constant et de l’ordre de 0,1 %.

Une autre comparaison tridimensionnelle entre la m´ethode de Monte Carlo et la m´ethode de lancer de rayons est fournie en annexe C `a partir d’un champ de temp´erature issu d’un calcul de transfert coupl´e en cavit´e diff´erentiellement chauff´ee.

Lancer de rayons d´eterministe ou Monte Carlo statistique ? Pour ´etablir des solutions num´eriques coupl´ees de r´ef´erence, la m´ethode de transfert radiatif id´eale serait d´eterministe et ne reposerait sur aucune mod´elisation. Ces deux crit`eres ne sont v´erifi´es ni par la m´ethode de lancer de rayons ADF ni par la m´ethode de Monte Carlo raie par raie. Il s’agit n´eanmoins de choisir la m´ethode la plus pr´ecise et la plus adapt´ee.

La pr´esence de fluctuations statistiques sur le calcul de la puissance radiative pose probl`eme pour l’´etude du r´egime stationnaire car la conver-gence temporelle n’est plus rigoureusement possible. L’´etude de la transition vers l’insationnarit´e est ´egalement d´elicate car l’on doit pouvoir distinguer

2.2. TRANSFERTS RADIATIFS 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x⁺ -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 flux radiatif Lancer de rayons Monte Carlo 0 0,0005 0,001 écart absolu

écart type Monte Carlo

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x⁺

0 0,001 0,002

écart type Monte Carlo et écart absolu

A

B

A

B

Figure 2.6 – Cas de validation 3D. `A gauche : flux radiatif adimensionn´e par εσ((T₀+∆T )4−T4

0) selon les lignes y+= 0, 25, z+= 1 (A), et y+= 0, 25, z⁺ = 0 (B). `A droite : diff´erence absolue entre les calculs lancer de rayons et Monte Carlo compar´ee `a l’´ecart type des calculs Monte Carlo aux mˆemes positions. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x⁺ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 puissance radiative B A _{Lancer de rayons} Monte Carlo 0 0,0002 0,0004 0,0006 B écart absolu

écart type Monte Carlo

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x⁺

0 0,0002 0,0004

écart absolu et écart type Monte Carlo

A

Figure2.7 – Cas de validation 3D. `A gauche : puissance radiative adimen-sionn´ee par 4κσ((T<sub>0</sub>+ ∆T )<sup>4</sup> − T0<sup>4</sup>) selon les lignes y<sup>+</sup> = 0, 25, z<sup>+</sup> = 0, 25 (A), et y+ = 0, 25, z+ = 0, 75 (B). `A droite : diff´erence absolue entre les calculs lancer de rayons et Monte Carlo compar´ee `a l’´ecart type des calculs Monte Carlo aux mˆemes positions.

sans ambigu¨ıt´e les fluctuations statistiques des fluctuations physiques. Par ailleurs, la formulation ADF utilis´ee par la m´ethode de lancer de rayons est exacte, car le coefficient d’absorption est suppos´e uniforme, et les er-reurs de mod´elisation ne proviennent que de la discr´etisation de la fonction de distribution cumul´ee du coefficient d’absorption. Les calculs d’´emissivit´e pr´esent´es au chapitre pr´ec´edent (§ 1.3.2) montrent que la pr´ecision de la discr´etisation est du mˆeme ordre, voire meilleure, que les incertitudes sur les intensit´es et les largeurs de raie des spectres `a haute r´esolution.

Le choix de la m´ethode de lancer de rayons associ´ee au mod`ele ADF pour les calculs coupl´es s’impose donc. La m´ethode de Monte Carlo pour-rait n´eanmoins s’av´erer pertinente dans le cas de variations de temp´erature importantes pour lesquelles le coefficient d’absorption ne peut ˆetre consid´er´e constant.