Mod´elisation

La prise en compte des propri´et´es radiatives `a haute r´esolution dans les calculs de transferts radiatifs est tr`es lourde. Si l’approche raie par raie

1.3. PROPRI´ET´ES RADIATIVES DU MILIEU 0 1000 2000 3000 4000 ν (cm^-1) 1e-08 1e-06 0,0001 0,01 1 κ^ν (cm -1 ) 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 I ν °(W m -2 sr -1 cm)

Figure 1.3 – Spectre d’absorption d’un m´elange air/H₂O/CO₂ `a T<sub>0</sub> = 300 K, P = 1 atm, X<sub>H2O</sub> = 0, 02 et X<sub>CO2</sub> = 0, 001 et fonction de Planck `a T₀ = 300 K.

peut ˆetre envisag´ee avec la m´ethode statistique de Monte Carlo, elle est impraticable avec une m´ethode d´eterministe comme la m´ethode de lancer de rayons. Plusieurs voies de mod´elisation ont ´et´e explor´ees pour acc´el´erer l’int´egration spectrale. Ces approches peuvent ˆetre class´ees en deux grandes familles : les mod`eles de bande (dont font partie le mod`ele statistique `a bande ´etroite et le mod`ele CK) et les mod`eles globaux.

• Le mod`ele statistique `a bande ´etroite Le spectre d’absorption est discr´etis´e en intervalles spectraux ∆ν appel´es bandes ´etroites o`u la fonction de Planck est suppos´ee constante mais dans lesquels il existe un grand nombre de raies d’absorption. `A partir d’hypoth`eses statistiques sur la position, les largeurs et les intensit´es des raies, le mod`ele propose une expression de la transmittivit´e moyenne en fonc-tion de deux param`etres pour chaque bande ´etroite, lorsque le milieu est uniforme. Sa formulation en transmittivit´e et non en coefficient d’absorption ne le rend pas compatible avec toutes les m´ethodes de transfert radiatif.

• Le mod`ele CK Ce mod`ele est bas´e sur le r´eordonnement croissant des valeurs du coefficient d’absorption κ prises dans un intervalle ∆ν o`u la fonction de Planck est suppos´ee constante. La fonction de

distri-bution cumul´ee du coefficient d’absorption, obtenue sur chaque bande, pr´esente une allure plus lisse que le spectre initial et s’int`egre facile-ment avec quelques points de quadrature. La formulation est exacte en milieu uniforme.

• Les mod`eles globaux Les mod`eles globaux sont ´egalement bas´es sur le r´eordonnement des valeurs du coefficient d’absorption, mais cette fois sur l’ensemble du spectre. La fonction de distribution cumul´ee est alors pond´er´ee par la fonction de Planck. Ces mod`eles sont limit´es `a des propri´et´es de parois grises.

L’utilisation de ces mod`eles dans des milieux non uniformes, suppose que les variations du coefficient d’absorption avec la temp´erature et la pres-sion ne d´ependent pas de la fr´equence ν. Cette hypoth`ese n’est pas valable lorsque les gradients de temp´erature sont forts par exemple. Dans ce cas, une am´elioration consiste `a discriminer les raies d’absorption en plusieurs classes selon leur comportement avec la temp´erature, et `a appliquer le mo-d`ele statistique `a bande ´etroite, le mod`ele CK ou les mod`eles globaux `a chacune des classes. De mani`ere g´en´erale, les mod`eles globaux sont les plus efficaces en termes de temps de calcul mais sont ´egalement les moins pr´e-cis. Une revue d´etaill´ee de ces diff´erents mod`eles est donn´ee par Taine et Soufiani (1999).

Pour mod´eliser les propri´et´es radiatives des m´elanges air/H2O/CO2, on choisit le mod`ele global Absorption Distribution Function (ADF) de Pierrot et al. (1999a). Il est particuli`erement adapt´e dans le contexte de ce travail puisque le coefficient d’absorption est suppos´e uniforme. Sa formulation est alors identique `a celle des autres mod`eles globaux (Denison et Webb, 1995; Modest et Zhang, 2002). Le mod`ele est d’abord pr´esent´e pour des milieux non uniformes v´erifiant l’hypoth`ese de s´eparabilit´e. Puis, son application `

a la mod´elisation des m´elanges air/H₂O/CO₂, qui sera exploit´ee dans les simulations num´eriques coupl´ees, est d´evelopp´ee.

Mod`ele ADF

On suppose que le coefficient d’absorption κ_ν(r) d´epend s´epar´ement de la fr´equence ν et de la position r (au travers de la temp´erature, la pression et la composition locale) selon

1.3. PROPRI´ET´ES RADIATIVES DU MILIEU

La fonction de distribution cumul´ee de η(ν), pond´er´ee par la fonction de Planck `a la temp´erature T , est d´efinie par

F (h, T ) = ^π σT4

Z

ν/η(ν)≤h

I_ν^◦(T )dν. (1.34) Cette fonction pr´esente une allure beaucoup plus lisse que le spectre d’ab-sorption raie par raie. Le mod`ele consiste `a remplacer l’int´egration sur les fr´equence ν par une int´egration sur les valeurs de η. Les luminances I_η(r, Ω) et I_η^◦(r), fonctions de η, sont d´efinies par

I_η(r, Ω) = ^∂ ∂η Z ν/η(ν)≤η I_ν(r, Ω)dν, (1.35) I_η^◦(r) = ^{∂F (η, T (r))} ∂η σT⁴(r) π ^{. (1.36)}

Iηdη est la fraction de la luminance totale^R₀^∞Iνdν correspondant aux inter-valles de ν tels que η ≤ η(ν) < η + dη et Iη^◦dη est la fraction de la luminance d’´equilibre σT4/π correspondant aux mˆemes intervalles de ν. La luminance Iη(r, Ω) satisfait l’´equation de transfert radiatif

Ω· ∇ Iη(r, Ω) = ηφ(r) ∂F (η, T (r)) ∂η σT⁴(r) π − Iη(r, Ω)  . (1.37) La fonction de distribution cumul´ee est discr´etis´ee en intervalles [η⁻_i ; η_i⁺]. La luminance Ii(r, Ω) associ´ee `a chaque intervalle v´erifie l’´equation discr`ete

Ω· ∇ Ii(r, Ω) = κ_i(r)  a_i(r)^σT 4(r) π − Ii(r, Ω)  , (1.38)

o`u a<sub>i</sub>(r) = F (η<sup>+</sup><sub>i</sub> , T (r)) − F (ηi<sup>−</sup>, T (r)) et o`u κ_i(r) = η_iφ(r) est une va-leur moyenne du coefficient d’absorption sur l’intervalle [η_i⁻φ(r); η_i⁺φ(r)]. La condition aux limites associ´ee est, pour une paroi grise et diffuse

I_i(r_p) = ε(r_p)a_i(r_p)^σT 4(r_p) π + 1 − ε(rp) π Z Ω′·n<0 I_i(r_p, Ω^′)|Ω^′· n|dΩ^′. (1.39)

L’int´egration spectrale s’effectue simplement en sommant la contribution de chaque intervalle i. Tant que l’hypoth`ese (1.33) est v´erifi´ee, la formulation du mod`ele ADF est exacte et sa pr´ecision ne d´epend que de la discr´etisa-tion retenue pour la foncdiscr´etisa-tion F . Cependant, le spectre des m´elanges gazeux v´erifie rarement cette hypoth`ese. Pierrot et al. (1999a,b) fournissent des d´e-veloppements suppl´ementaires pour ´etendre la validit´e du mod`ele dans ce cas (voir annexe B).

Impl´ementation

Les m´elanges air/H₂O/CO₂ consid´er´es sont de composition uniforme et `a la pression atmosph´erique. Compte tenu des faibles ´ecarts de temp´erature ren-contr´es dans la cavit´e diff´erentiellement chauff´ee, le coefficient d’absorption peut ˆetre consid´er´e uniforme `a la temp´erature moyenne T₀. La validit´e de cette hypoth`ese est discut´ee en annexe (§ C.3.3). Le mod`ele ADF pr´esent´e ci-dessus, s’applique en posant φ(r) = 1.

Pour s’adapter aux faibles gradients de temp´erature, le mod`ele ADF est ici d´evelopp´e `a partir des luminances modifi´ees d´efinies par

Iν(r, Ω) = Iν(r, Ω) − Iν^◦(TS), (1.40) Iν^◦(r) = I_ν^◦(r) − Iν^◦(TS), (1.41) o`u T<sub>S</sub> est la temp´erature de shift, choisie l´eg`erement inf´erieure `a la tem-p´erature minimum du milieu T_f. Ce changement d’´echelle sera justifi´e et expliqu´e plus en d´etail dans le paragraphe 2.2.1. Il ne modifie pas la forme de l’´equation de transfert radiatif, puisque celle-ci est lin´eaire en I_ν.

En utilisant la fonction de Planck modifi´ee, la fonction de distribution cumul´ee devient F (κ) = ^π σ(T4 0 − T4 S) Z ν/κν(T0)≤κ (I_ν^◦(T₀) − Iν^◦(T_S))dν. (1.42) De mˆeme, l’´equation de transfert radiatif (1.38) associ´ee au mod`ele ADF discr´etis´e s’´ecrit Ω· ∇ Ii(r, Ω) = κ<sub>i</sub>  a<sub>i</sub><sup>σ(T</sup> 4(r) − TS<sup>4</sup>) π − Ii(r, Ω)  . (1.43) La fonction de distribution cumul´ee `a haute r´esolution du m´elange air/ H2O/CO2 de composition XH2O = 0, 02 et XCO2 = 0, 001, construite `a

1.3. PROPRI´ET´ES RADIATIVES DU MILIEU 1e-06 0,0001 0,01 1 100 κ (m^-1) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 F a₅ κ₅

Figure 1.4 – Fonction de distribution cumul´ee du coefficient d’absorp-tion pond´er´ee par la foncd’absorp-tion de Planck modifi´ee (´equad’absorp-tion (1.42)) relative au spectre du m´elange air/H₂O/CO₂ repr´esent´e figure 1.3 (X_H2O = 0, 02, X_CO2 = 0, 001, T₀ = 300 K et P = 1 atm). La temp´erature de shift est de T_S = 299, 9 K. Discr´etisation sur 16 intervalles de κ.

partir du spectre raie par raie correspondant (figure 1.3), est repr´esent´ee figure 1.4. L’espace des κ est discr´etis´e en NADF = 16 intervalles entre les valeurs minimale et maximale prises par le coefficient d’absorption, de mani`ere logarithmique, mis `a part le premier intervalle des κ les plus faibles dont la taille est fix´ee arbitrairement (le premier intervalle est optiquement mince (κ₁L << 1) et peut ˆetre plus large que les autres). La valeur moyenne κ_i dans chaque intervalle est calcul´ee selon

κ_i= (κ⁻_i )^1−α(κ⁺_i )^α, (1.44) o`u α = 0, 52 est un param`etre optimis´e sur le calcul d’´emissivit´e suivant.

L’´emissivit´e modifi´ee d’une colonne homog`ene isotherme `a la temp´era-ture T₀ et de longueur l est d´efinie par

ε_tot = ^π σ(T₀⁴− TS⁴)

Z ∞ 0

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ ε^tot

raie par raie ADF 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ l (m) -10^-2 0 10^-2 Écart relatif

Figure 1.5 – ´Emissivit´e modifi´ee d’une colonne homog`ene isotherme `a la temp´erature T0 = 300 K du m´elange air/H2O/CO2 (XH2O = 0, 02, X_CO2 = 0, 001, T₀ = 300 K et P = 1 atm) pour diff´erentes longueur l. La temp´erature de shift est de T_S = 299, 9 K. Comparaison entre le mod`ele ADF et l’approche raie par raie.

Son approximation par le mod`ele ADF s’´ecrit ε_tot ≃

NADF X i=1

a_i(1 − exp(κil)). (1.46) La figure 1.5 compare les ´emissivit´es calcul´ees avec le mod`ele ADF pour diff´erentes longueurs l entre 0, 1 mm et 10 m avec les ´emissivit´es calcul´ees par l’approche raie par raie pour le m´elange air/H<sub>2</sub>O/CO<sub>2</sub> consid´er´e. Les ´ecarts obtenus sont inf´erieurs `a 1 %.

Les param`etres κ<sub>i</sub> et a<sub>i</sub> obtenus sont donn´es dans le tableau 1.2. La temp´erature T<sub>S</sub> du mod`ele est fix´ee `a 299, 9 K. Les param`etres resteront valables pour des temp´eratures de shift proches ´etant donn´e que le coeffi-cient d’absorption est uniforme. Ils pourront ´egalement ˆetre r´eutilis´es pour d’autres m´elanges en modifiant les valeurs κ_i proportionnellement `a X_H2O, si le rapport X_H2O/X_CO2 reste constant.

1.3. PROPRI´ET´ES RADIATIVES DU MILIEU

Table1.2 – Param`etres du mod`ele ADF extraits `a partir de la fonction de distribution cumul´ee (figure 1.4) du m´elange air/H₂O/CO₂ (X_H2O= 0, 02, XCO2 = 0, 001, T0= 300 K et P = 1 atm). κi(m⁻¹) ai 5, 24807645 × 10⁻⁶ 4, 00010060 × 10⁻¹ 9, 81747956 × 10⁻⁴ 4, 34007700 × 10⁻² 2, 46603926 × 10−3 7, 07250000 × 10−2 6, 19441015 × 10⁻³ 6, 90137200 × 10⁻² 1, 55596562 × 10⁻² 7, 90771500 × 10⁻² 3, 90840871 × 10−2 8, 66007100 × 10−2 9, 81747891 × 10⁻² 8, 22948400 × 10⁻² 2, 46603933 × 10⁻¹ 6, 34657800 × 10⁻² 6, 19441082 × 10−1 4, 34745600 × 10−2 1, 55596567 2, 91461900 × 10⁻² 3, 90840911 1, 64320300 × 10⁻² 9, 81748026 9, 85414000 × 10−2 2, 46603959 × 101 3, 95211000 × 10−3 6, 19441104 × 10¹ 1, 19208000 × 10⁻³ 1, 55596582 × 10² 6, 10420000 × 10⁻⁴ 3, 90840927 × 102 1, 65100000 × 10−4

Chapitre 2

M´ethodes num´eriques de

r´ef´erence

L

’´etablissementde solutions num´eriques de r´ef´erence pour le couplage entre la convection naturelle et le rayonnement en cavit´e cubique diff´e-rentiellement chauff´ee exige le recours `a des m´ethodes de r´esolution pr´ecises, minimisant l’erreur d’approximation num´erique.

Les ´equations aux d´eriv´ees partielles, d´eterminant l’´evolution de la masse, de la quantit´e de mouvement et de l’´energie du syst`eme mat´eriel, doivent ˆetre r´esolues sur un maillage spatio-temporel suffisamment fin pour cap-ter toutes les ´echelles de variations. En r´egime instationnaire, on parle de simulation num´erique directe. Des sch´emas d’ordre ´elev´e pour l’approxima-tion des op´erateurs diff´erentiels sont ´egalement requis pour obtenir des solu-tions num´eriques pr´ecises. Les m´ethodes spectrales font partie des m´ethodes d’ordre de pr´ecision les plus ´elev´es pour l’approximation des gradients. Une telle m´ethode est adopt´ee ici, associ´ee `a un sch´ema temporel semi-implicite d’ordre deux.

Concernant les transferts radiatifs, la m´ethode de r´ef´erence est la m´e-thode de lancer de rayons, qui consiste en une discr´etisation rigoureuse de l’´equation de transfert sur les variables d’espace, de direction et de fr´equence. La r´ealisation de calculs coupl´es instationnaires par cette approche n’est ce-pendant pas envisageable avec une description `a haute r´esolution spectrale (raie par raie) des propri´et´es radiatives. Seule la m´ethode de Monte Carlo permet de traiter cet aspect, mais les r´esultats obtenus pr´esentent des fluc-tuations statistiques. La m´ethode de lancer de rayons, associ´ee au mod`ele

global de propri´et´es radiatives pr´esent´e au chapitre pr´ec´edent (§ 1.3.2), et la m´ethode de Monte Carlo, associ´ee `a une description raie par raie, ont toutes deux ´et´e utilis´ees pour le calcul des termes sources radiatifs dans le bilan d’´energie et la condition aux limites des parois adiabatiques. La pr´e-sentation des deux m´ethodes sera suivie d’une discussion visant `a identifier la m´ethode la plus ad´equate pour les simulations num´eriques coupl´ees.

2.1 M´ethode spectrale pour la convection

natu-relle

La r´esolution num´erique d’une ´equation aux d´eriv´ees partielles repose sur une discr´etisation spatiale et temporelle et sur un sch´ema d’approximation des op´erateurs diff´erentiels. Pour une m´ethode de diff´erences finies, l’erreur commise sur l’approximation de la d´eriv´ee spatiale est de l’ordre de O(hN), o`u h est le pas de discr´etisation et N est l’ordre du sch´ema d’approximation (li´e au nombre de points impliqu´es dans le calcul de la d´eriv´ee). Pour dimi-nuer l’erreur, deux solutions sont envisageables : dimidimi-nuer h ou augmenter N . En trois dimensions, diminuer le pas spatial d’un facteur 2 revient `a mul-tiplier la taille du domaine et donc approximativement le temps de calcul par 8. Il est donc pr´ef´erable d’augmenter l’ordre du sch´ema d’approximation.

Les m´ethodes spectrales permettent d’atteindre une pr´ecision spatiale ´elev´ee `a un coˆut num´erique raisonnable. Ces m´ethodes supposent que la solution recherch´ee peut ˆetre repr´esent´ee sur une base finie de fonctions orthogonales. En projetant l’´equation `a r´esoudre sur cette base, on obtient une ´equation d’´evolution pour les coefficients spectraux de la solution. La base spectrale la plus connue est celle de Fourier (φ_k(x) = exp(ιkx), k ∈ N), qui permet d’engendrer l’espace des fonctions p´eriodiques. Les coefficients de Fourier des fonctions p´eriodiques de classe C∞ ont la propri´et´e de d´ecroˆıtre exponentiellement : en tronquant la repr´esentation spectrale `a l’ordre N , l’erreur commise est de l’ordre de O(exp(−N)). Les m´ethodes spectrales sont n´eanmoins restreintes aux g´eom´etries simples. Une revue d´etaill´ee de ces m´ethodes pour la m´ecanique des fluides est donn´ee par Canuto et al. (2006a,b).

La m´ethode num´erique utilis´ee ici est une m´ethode spectrale de collo-cation. L’´equation aux d´eriv´ees partielles est r´esolue dans l’espace physique aux points de collocations, qui sont les points de quadrature utilis´es pour ´evaluer les coefficients spectraux. La repr´esentation spectrale est exploit´ee

2.1. M´ETHODE SPECTRALE POUR LA CONVECTION NATURELLE

pour calculer les termes diff´erentiels. Un sch´ema d’approximation tempo-rel d’ordre 2 est choisi et le couplage pression-vitesse est r´ealis´e au moyen d’une m´ethode de projection. L’algorithme de r´esolution est parall´elis´e par d´ecomposition du domaine spatial. Le code informatique a ´et´e d´evelopp´e au laboratoire LIMSI par Jalel Chergui, Shihe Xin et Patrick Le Qu´er´e.

Dans le document Effets des transferts radiatifs sur les écoulements de convection naturelle dans une cavité différentiellement chauffée en régimes transitionnel et faiblement turbulent (Page 33-44)