Champs moyens

Z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X+ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 + Z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X+ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 + Z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T+ 0.45 0.15 -0.15 -0.45

Figure4.16 – Ra = 3 × 10⁸. Champs de temp´erature moyens sur les parois adiabatiques (haut) et dans le plan y+ = 0, 5 (bas). L’´ecart entre deux isothermes est de 0, 05.

4.3.1 Champs moyens

Champ de temp´erature

Les champs de temp´erature moyens sur les parois adiabatiques et dans le plan m´edian y⁺ = 0, 5 sont repr´esent´es sur la figure 4.16. Ces champs moyen-n´es temporellement poss`edent des caract´eristiques similaires `a celles obser-v´ees sur les solutions stationnaires `a plus bas nombre de Rayleigh.

Lorsque le rayonnement n’est pas pris en compte (cas A), on retrouve le rebond des lignes isothermes li´e `a l’expansion du fluide, en aval des couches limites verticales. La stratification thermique est proche de l’unit´e et les parois haute et basse sont proches de l’isothermie.

Lorsque le gaz rayonne et que les parois adiabatiques sont parfaitement r´efl´echissantes (cas B), l’´emission et l’absorption locale de rayonnement ho-mog´en´eisent le champ de temp´erature et la stratification thermique d´ecroˆıt fortement. La distribution de temp´erature sur les parois adiabatiques suit celle du gaz : la paroi basse est r´echauff´ee et la paroi haute est refroidie.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 z⁺ -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 T + A B C

Figure4.17 – Ra = 3 × 108. Stratification thermique au cœur de la cavit´e : profil de temp´erature moyen le long de la ligne x⁺= 0, 5, y⁺= 0, 5.

On peut observer sur la figure 4.16 que la sym´etrie de r´eflexion par rap-port au plan y⁺ = 0, 5 (´equation (3.3)) est fortement bris´ee sur les parois hautes et basses. Si les sym´etries du probl`eme sont naturellement bris´ees par la solution instantan´ee (§ 4.2), elles devraient ˆetre v´erifi´ees par la so-lution moyenne, statistiquement stationnaire. Cette brisure de sym´etrie est probablement due `a un manque de temps d’int´egration et `a des fluctuations de basse fr´equence.

Enfin, lorsque les six parois de la cavit´e sont noires et le gaz transparent (cas C), le champ de temp´erature sur les parois adiabatiques est impos´e par le couplage conduction/rayonnement et est quasi-lin´eaire selon l’axe x autour de la valeur moyenne T⁺ = 0. Cela conduit `a une baisse de la stratification thermique au cœur de la cavit´e impos´ee par la conduction. Dans ce cas, on note que les isothermes sur les parois adiabatiques sont un peu bruit´ees selon la direction y. Il s’agit d’un artefact num´erique, qui pourrait ˆetre ´elimin´e en tenant compte de l’inertie thermique des parois (Xin et al., 2013).

La stratification thermique moyenne au cœur de la cavit´e est mon-tr´ee plus quantitativement sur la figure 4.17. La stratification thermique moyenne hSi au cœur de la cavit´e est ´egale `a 1, 00 (A), 0, 32 (B) et 0, 42 (C).

4.3. EFFETS DU RAYONNEMENT DU GAZ ET DES PAROIS `A RA=3×108 0 0,2 0,4 x⁺ 0 0,1 0,2 u3 + A B C z⁺=0,25 0 0,2 0,4 x⁺ z⁺=0,5 0 0,2 0,4 x⁺ z⁺=0,75 0 0,2 0,4 x⁺ -400 -200 0 200 400 P + z⁺=0,75 z⁺=0,5 z⁺=0,25

Figure4.18 – Ra = 3 × 108. `A gauche : profils de vitesse verticaleu<sup>+</sup><sub>3</sub><sup></sup> le long des lignes y+ = 0, 5 et z+ = 0, 25, z+ = 0, 5 et z+ = 0, 75. `A droite : profil de puissance radiative hP+i = ∇⁺ · q^R+ correspondant dans le cas B.

Couches limites

La figure 4.18 montre plusieurs profils de la composante verticale de la vitesse moyenn´ee temporellementu⁺₃, selon x⁺, dans le plan y⁺= 0, 5 et pour diff´erentes hauteurs z⁺ `a proximit´e de la paroi chaude. Dans le cas A, la couche limite est fine (δ+≃ 0, 05) en amont (z+= 0, 25) et pr´esente une oscillation spatiale li´ee `a l’expansion de l’´ecoulement `a des hauteurs plus ´elev´ees. Dans le cas C, la couche limite est ´epaissie en amont `a cause du pr´echauffage du gaz le long de la paroi basse : un plus grand volume de fluide est mis en mouvement. Plus haut dans la cavit´e, l’´epaisseur de la couche limite diminue mais le profil de vitesse n’oscille pas comme dans le cas A.

Dans le cas B o`u le gaz rayonne, le profil de vitesse n’atteint pas de pla-teau et le cœur de la cavit´e est mis en mouvement. Le d´ebit de fluide moyen hQi entraˆın´e dans la cavit´e, calcul´e en int´egrant spatialement la vitesse dans un demi-plan `a mi-hauteur hQi = Z 0,5 0 Z 1 0 u⁺₃(x⁺, y⁺, z⁺= 0, 5)dy⁺dx⁺, (4.41) est ´egal `a 1, 98 × 10−3 (A), 5, 55 × 10−3 (B) et 3, 56 × 10−3 (C). Les profils de puissance radiative, trac´es sur la figure 4.18 aux mˆemes positions que les profils de vitesse, expliquent ce comportement. La puissance radiative est principalement n´egative, except´e pr`es de la paroi, ce qui signifie que le gaz est absorbant plutˆot qu’´emetteur. Elle atteint une valeur minimale en bas

Table 4.3 – Ra = 3 × 10⁸. Nombres de Nusselt moyenn´es en temps et sur des plans verticaux.

Cas A B C

hNu(x⁺ = 0)i 39, 95 35, 58 36, 52 hNu(x+ = 0, 5)i 39, 95 73, 38 45, 07 hNu(x⁺ = 1)i 39, 95 35, 58 36, 52

de la cavit´e, l`a o`u le gaz est plus froid et augmente avec la hauteur quand le gaz se r´echauffe. Au cœur de la cavit´e, entre x+= 0, 25 et x+= 0, 75, les transferts radiatifs gaz-gaz et gaz-parois isothermes ne disparaissent pas. Ils activent les forces de flottabilit´e, mettant en mouvement le fluide loin des parois isothermes.

Transferts de chaleur

Les nombres de Nusselt aux parois isothermes et dans le plan x⁺ = 0, 5 sont aussi affect´es par les transferts radiatifs et sont donn´es dans le tableau 4.3 pour les trois configurations. Les nombres de Nusselt moyens aux parois chaude et froide sont syst´ematiquement ´egaux : les transferts radiatifs sont quasi-lin´eaires et l’´energie est conserv´ee en moyenne. Comme `a Ra = 106, le gradient de temp´erature aux parois isothermes est plus faible quand le rayonnement est pris en compte. Dans les cas B et C, le nombre de Nus-selt dans le plan x+ = 0, 5 est diff´erent de celui des parois isothermes et significativement plus grand que dans le cas A, du fait du renforcement de l’´ecoulement.

Les flux radiatifs aux parois sont donn´es dans le tableau 4.4. En compa-rant les flux radiatifs entre les cas A et B, on peut appr´ecier le niveau d’ab-sorption du gaz. L’´ecart de 0,2 % entre les flux radiatifs des parois chaude et froide dans le cas B est li´e au crit`ere de convergence sur les flux partants (voir §§ 2.2.3), pris ´egal `a 10−3. Les flux radiatifs aux parois horizontales et lat´erales ne sont pas nuls dans le cas C. N´eanmoins, ces flux restent faibles devant les flux radiatifs aux parois isothermes car la temp´erature moyenne de ces parois est proche de z´ero et car le champ de temp´erature est assez sym´etrique.

4.3. EFFETS DU RAYONNEMENT DU GAZ ET DES PAROIS `A RA=3×108

Table 4.4 – Ra = 3 × 10⁸. Flux radiatifs aux parois moyenn´es temporelle-mentq^R+·n. Cas A B C x⁺ = 0 375,15 360,71 377,05 x⁺ = 1 −375,15 −360,01 −377,05 y+= 0 0 0 0,3×10−2 y⁺= 1 0 0 −0,4×10⁻³ z⁺ = 0 0 0 −13,65 z+ = 1 0 0 13,65