Validation numérique du protocole de mesure

Modélisation par éléments finis du système de mesure

Afin de valider le fonctionnement des sondes conçues dans le cadre de l’étude, il a été choisi de construire un modèle numérique par éléments finis du système de mesure complet. Parmi les nombreuses études dédiées au fonctionnement de tels dispositifs, la simulation numérique de leur fonctionnement a été principalement conduite par la méthode des éléments finis ou encore par la méthode des moments [59] [76] [77] [75] [54] [62]. La suite des travaux présentés a été menée grâce à l’utilisation du module RF (Radio Frequence) du logiciel commercial de modélisation par éléments finis COMSOL Multiphysics 5.2. Ce module permet de résoudre dans l’espace l’équation du champ électrique −→E,

∇ ⊗(µ−1∇ ⊗−→E) − k₀2(r− jσ ω0) − → E = 0 (2.36)

En définissant un port d’entrée sur la géométrie construite par lequel un signal élec- tromagnétique transverse électrique-magnétique est émis, le logiciel permet de calculer le coefficient de réflexion S11 correspondant en ce même point. L’objectif de l’étude se

résume alors en deux étapes :

1. L’application du modèle capacitif aux paramètres S11 simulés pour un matériau aux

propriétés prédéfinies pour en valider l’adéquation avec la plage de fonctionnement des sondes.

2. La reproduction numérique d’une séquence de mesures pour en comparer les résul- tats obtenus.

Géométrie et propriétés des éléments simulés

Figure 2.24 – Géométries construites pour les trois sondes et conditions aux limites associées.

L’ensemble des simulations présentées repose sur des géométries d’échantillons ex- clusivement homogènes. Cette condition permet la construction de modèles numériques 2D axi-symétriques, très peu coûteux en temps de calcul et représentatifs d’une me- sure effectuée sur des échantillons homogènes ou dont la plus grande des hétérogénéités est suffisamment petite devant le volume d’investigation (respect du volume élémentaire représentatif (VER)). Les trois géométries construites sont présentées Figure 2.24. Les dimensions choisies sont définies conformément aux dimensions de chaque élément consti- tuant les différentes sondes. Les dimensions de l’échantillon placé en dessous des dispositifs sont ajustables en fonction de la configuration modélisée. Il est alors possible d’attribuer un ensemble de propriétés électromagnétiques (permittivité, perméabilité magnétique) aux différents éléments ainsi que de choisir les différentes fréquences de signal émis lors de chaque simulation. Les propriétés ainsi attribuées sont présentées Tableau 2.3.

Table 2.3 – Propriétés attribuées aux éléments de la géométrie modélisée.

Élément  σ (S/m) µ (SI)

Âme (laiton) 1 71.109 1

Diélectrique (air) 1 0 1 Gaine (laiton) 1 71.109 ₁

Échantillon r σr 1

sentées Figure 2.24. Une condition de conducteur parfait est appliquée tout autour des éléments métalliques de la sonde et des conditions aux limites d’impédance sont appliquées autour de l’échantillon. Un port - source de signal TEM, est défini à l’extrémité haute du système pour simuler la connexion de la sonde à un analyseur de réseau vectoriel. La taille maximale des éléments tétrahédriques du maillage appliquée est de l’ordre de 2 mm avec un taux d’accroissement maximal de 10%. La simulation est alors conduite pour un ensemble de fréquences appartenant à une plage spécifiée. Le temps de calcul pour la résolution des coefficients de réflexion au niveau du port émetteur est alors inférieur à dix secondes pour une simulation incorporant cent fréquences différentes.

Validation du modèle numérique

Trois exemples de simulation sont présentés pour des permittivités de matériau prises réelles et fixées à r = 5, r = 10, r = 15, avec une conductivité σr = 0 S/m. Dans un

premier temps, la géométrie utilisée est celle de la sonde de rayon d’âme a = 6.5 mm. Dans chacun des cas, le coefficient de réflexion est calculé pour chaque fréquence de signal puis injecté dans la formule de changement de plan de référence (section 2.4.1). L’opé- ration est répétée à l’identique pour un matériau de permittivité cette fois-ci égale à 1 (simulation d’une mesure dans l’air) puis 2.1 (simulation d’une mesure sur le Téflon). Les paramètres S11 déduits sont utilisés, après décalage du plan de référence, comme para-

mètres de calibration pour le calcul de permittivité du matériau sondé. L’évolution des parties imaginaire et réelle de la permittivité calculée est présentée Figure 2.25 et 2.26. On remarque une bonne cohérence entre les résultats calculés et les propriétés utilisées en tant que données d’entrée, malgré une erreur croissante avec la fréquence du signal comme illustré Figure 2.27. Cette divergence émerge à des fréquences plus faibles quand la per- mittivité de l’échantillon augmente ainsi que lorsque les diamètres des sondes augmentent comme présenté Figure 2.28. En effet, en augmentant les rayons a et b (toutes proportions gardées), on observe un décalage vers les plus basses fréquences de cette divergence de la permittivité.

La tendance de ces résultats est alors cohérente avec la fréquence de coupure de ce type de dispositif décrite précédemment.

Figure 2.25 – Permittivité réelle recalculée pour un matériau simulé de permittivité de 5,10 et 15 pour la sonde de rayon d’âme a = 6.5 mm.

Figure 2.26 – Permittivité imaginaire recalculée pour un matériau simulé de permittivité de 5,10 et 15 pour la sonde de rayon d’âme a = 6.5 mm.

Figure 2.27 – Écart relatif sur la partie réelle de la permittivité recalculée par rapport aux propriétés d’entrée pour la sonde de rayon d’âme a = 6.5 mm.

Figure 2.28 – Effet d’une variation de diamètre de sonde sur la permittivité recalculée pour un échantillon de permittivité r = 10.

Finalement, les incertitudes maximales sur la gamme de fréquence utilisée par rapport aux valeurs d’entrée du modèle numérique sont présentées pour chaque sonde (Tableau 2.4) pour les trois permittivités d’échantillon. La fréquence maximale est fixée à 1 GHz pour les petites et moyennes sondes et a 690 MHz pour la grande.

Table 2.4 – Incertitude maximale calculée pour chaque sonde et pour trois échantillons diffé- rents.

Sonde r = 5 r = 10 r= 15

Grande 1.0% 3.4% 5.7% Moyenne 0.5% 1.8% 3.2% Petite 0.5% 0.9% 1.1%