3.4 Application au calcul de teneur en eau : validation pour le cas d’un sable
3.4.4 Modèle numérique du sable
Les résultats issus des campagnes de mesures sur sable partiellement saturé et les différents schémas analytiques présentés précédemment sont maintenant mis en parallèle avec la modélisation numérique de l’expérience. Celle-ci consiste en la modélisation de la
microstructure sèche, la simulation de la répartition liquide-gaz dans l’espace poreux et une homogénéisation par différences finies. On cherche ainsi à comparer les performances des modèles analytiques reposant sur une géométrie fictive parfois éloignée de la mor- phologie de la microstructure étudiée avec celles d’un modèle numérique permettant le calcul de la constante diélectrique (partie réelle de la permittivité) d’une morphologie tri- dimensionnelle fidèle à l’expérience. Le processus numérique se compose alors d’une étape de construction de géométrie de grains de sable dispersés dans une matrice d’air, d’une étape d’intégration d’une phase liquide dans la matrice et d’une étape finale de calcul par différences finies de la constante diélectrique effective du matériau simulé.
Construction d’une géométrie de sable sec
En premier lieu, un VER (volume élémentaire représentatif) de la microstructure de sable sec est généré. La géométrie poreuse est construite par dispersion de particules sphériques dans un cube de dimensions finies, avec des conditions aux limites périodiques dans le but d’optimiser la convergence du calcul numérique. Au sein du domaine poreux du volume créé (hors grains de sable solide), aucune information ne permet pour l’instant de distinguer phase liquide et gazeuse. Les grains de sable sont représentés par des sphères dispersées aléatoirement, sans possibilité d’interpénétration et avec une distribution de taille mono-disperse. Afin d’assurer la représentativité de la géométrie créée, le diamètre de ces sphères est pris égal à 2 mm tandis que les dimensions du cube sont fixées à 10 mm. La fraction totale d’inclusions sphériques est choisie égale à la fraction de grains solides dans l’échantillon de sable avec fs = 1 − φ = 63%. Cette valeur élevée ne pouvant être
atteinte par utilisation d’un algorithme RSA (Random Sequential Adsorption algorithm) [110], un algorithme de Lubachevsky et Stillinger [111] implémenté par F. Lavergne [112] est utilisé. Un exemple de représentation géométrique de la microstructure est présenté Figure 3.21.
Figure 3.21 – Première étape du processus numérique pour le calcul de la constante diélectrique homogénéisée : construction d’une géométrie numérique tridimensionnelle pour la description du sable sec : répartition aléatoire de 63% de sphères dans un cube.
Ajout d’une phase liquide par méthode de Boltzmann sur réseau
Dans la suite du processus numérique, le domaine géométrique est discrétisé en voxels et utilisé en entrée d’une simulation reposant sur la méthode de Boltzmann sur réseau (Lattice Boltzmann Method, LBM) pour l’intégration et la répartition de la phase liquide au sein de la matrice poreuse de la géométrie créée. Le code utilisé, développé par J.L. Adia [9] pour modéliser les effets de l’eau capillaire dans les microstructures de béton à l’échelle de l’espace poreux, permet de choisir un degré de saturation particulier à appliquer au volume total. Cette méthode repose sur une description mésoscopique des écoulements biphasiques liquide-gaz et permet de créer un équilibre de leur répartition dans le volume élémentaire généré. On note parmi les avantages de ce type d’algorithme un temps de calcul moins important que dans le cas de simulations reposant sur des descriptions de dynamique moléculaire. De nombreux ouvrages présentent le support théorique et les différentes applications de la méthode de Boltzmann sur réseau [113].
Lors de la simulation d’un sable partiellement saturé, la discrétisation du volume total conditionne d’une part la précision sur la morphologie modélisée mais impacte également directement le temps de calcul. On choisit ici comme compromis une discrétisation de 2563 voxels. La nouvelle géométrie obtenue est présentée Figure 3.22 et 3.23 pour le cas
d’un degré de saturation égal à 60% puis 80%, avec en blanc et rouge les phases gazeuse et liquide, respectivement.
Figure 3.22 – Deuxième étape du processus numérique pour le calcul de la constante diélectrique homogénéisée : intégration et répartition d’une phase liquide au sein du milieu biphasique. Le degré de saturation est choisi égal à 60%.
Figure 3.23 – Deuxième étape du processus numérique pour le calcul de la constante diélectrique homogénéisée : intégration et répartition d’une phase liquide au sein du milieu biphasique. Le degré de saturation est choisi égal à 80%.
Calcul de la constante diélectrique homogénéisée
La constante diélectrique effective du milieu poreux à différents degrés de saturation est finalement calculée par homogénéisation numérique. Bien qu’initialement créé pour l’étude de phénomènes de transfert de chaleur dans une géométrie tridimensionnelle, l’algorithme utilisé permet la résolution de la constante diélectrique macroscopique par transposition directe des équations de la thermique à celles de l’électrostatique telles que présentées Table 3.3. La différence de température appliquée de part et d’autre de deux faces du cube est remplacée par une différence de potentiel électrique. Chaque voxel constituant le milieu hétérogène est, lui, caractérisé non plus par une conductivité thermique mais par
une constante diélectrique intrinsèque.
Conduction thermique Électrostatique
Température : T Potentiel électrique : V −
→
G = −gradT −→E = −gradV
Flux de chaleur : −→j Densité de flux électrique−→D
Conservation de la chaleur : div−→j = 0 Conservation de la charge : div−→D = 0
(absence de source de chaleur) (absence de charges libres) Conductivité thermique : λ Permittivité :
Loi de Fourier : −→j = λ−→G −→D = −→E
Table 3.3 – Parallèle entre lois thermiques et lois électrostatiques. Ces dernières sont utilisées dans le calcul de la constante diélectrique effective.
Le code utilisé repose sur un algorithme par différences finies implémenté par F. La- vergne et exploitant un solveur multigrid [114] reposant sur la bibliothèque PETSc [115]. La constante diélectrique effective est alors calculée après attribution des propriétés à chaque voxel, choisies égales à celles des différentes phases élémentaires du sable non saturé. Le calcul est répété pour différents degrés de saturation et différentes réparti- tions aléatoires de grains solides et les constantes diélectriques calculées sont présentées en fonction du degré de saturation Figure 3.24. On observe une légère augmentation de l’incertitude avec celui-ci. Un nombre plus élevé de données calculées permettraient, dans le cas présent, un traitement statistique plus approfondi de la permittivité homogénéisée numériquement.
Figure 3.24 – Évolution de la constante diélectrique homogénéisée par processus numérique en fonction du degré de saturation.