diction du flux de chaleur
8.2.4 Validation de la méthode DR3 sur un cas test où l’instationnarité provient du changement de la condition d’injection de l’écoulement fluide
Dans cette sous-section, la méthodeDR3est testée sur le cas test de la plaque plane où, cette fois-ci, l’instationnarité du problème thermique est engendrée par le changement de la condition d’injection de l’écoulement fluide. L’objectif est de valider la prédiction flux-température utilisée pas la méthodeDR3dans le cas où la température de référence du fluide Tref varie au cours du temps.
8.2.4.1 Description du cas test
La géométrie et les maillages du cas test précédent (cf. section8.2.3) ont été réutilisés pour cette validation. Le cas test est illustré sur la Figure8.10.
Une température constante de 1000 K est imposée le long de la surface inférieure du domaine solide. Des profils de température et vitesse variant en temps sont appliqués à l’injection du domaine fluide. Ils sont présentés sur la Figure8.11. Quatre points de fonctionnement du système ont été choisis :
— t = 0 s : T∞ = 1000 K et V∞ = 100 m/s ; — t = 0, 6 s : T∞ = 1200 K et V∞ = 120 m/s ; — t = 0, 9 s : T∞ = 1200 K et V∞ = 120 m/s ; — t = 3 s : T∞ = 1100 K et V∞ = 110 m/s.
Ces points de fonctionnement coïncident avec les instants de couplage où les problèmes fluide et solide sont couplés dans les calculs utilisant les méthodesDR2etDR3. Entre ces points de fonctionnement la variation temporelle des conditions de fonctionnement entre les instants de couplage est considérée comme linéaire. Cette hypothèse est utilisée pour la réalisation du calcul de référence et pour la variation de la température de référence Tref lorsque la prédiction linéaire flux-température (cf. Équation (8.7)) de la méthodeDR3 est employée.
Les principaux paramètres caractérisant le problème thermique sont indiqués dans le Tableau8.4. Les valeurs des paramètres thermiques choisies élèvent le nombre de Biot à 17, 1. Il s’agit donc d’un calcul à forte interaction thermique.
k[W/(mK)] ρCp [J/(Km3)] ∆ys [m] ∆ts[s] Ds Bi 0, 1 1, 7· 106 2, 7· 10−5 6· 10−3 0, 48 17, 1 Tableau 8.4 –Paramètres caractérisant le problème à forte interaction thermique
8.2.4.2 Comparaison des résultats avec la solution de référence
Les graphiques sur la Figure8.12montrent la comparaison des résultats obtenus en utilisant les méthodesDR2etDR3avec la solution de référenceDR0.
8.2 amélioration de la précision en modifiant la prédiction du flux de chaleur 161 Solide Fluide Zone tampon x y T = 1000 K Interface de couplage Λs= 3 mm L = 350 mm U∞= f (t) T∞= f (t) Paroi adiabatique 150 mm
Figure 8.10 –Schématisation du cas test de la plaque plane. La température et la vitesse caracté- risant l’injection de l’écoulement fluide évoluent dans le temps.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1000 1050 1100 1150 1200 Temps [s] T emp ´erature d’injection [K ] 100 105 110 115 120 Vitesse d’injection [m/s ]
Figure 8.11 –Variation temporelle de la température et de la vitesse imposées dans la condition d’injection du domaine fluide.
162 amélioration de la précision des calculs aérothermiques transitoires
Méthode Température Flux de chaleur
DR2 1, 21% 35.65%
DR3 0.36% 19.65%
Tableau 8.5 –Erreur relative sur la précision des méthodesDR2etDR3pour le cas test où l’insta- tionnarité vient de la condition d’injection.
Concernant l’évolution de la température (cf. Figure8.9a), les trois profils sont similaires jusqu’au troisième point de fonctionnement (t = 0, 9 s). À partir de cet instant, le profil de température calculé par la méthodeDR2s’éloigne de la solution de référence, alors que le profil de référence et celui calculé par la méthodeDR3restent superposés. L’écart entre les courbes DR2et DR0est de 1, 21% en erreur relative qui correspond à un écart absolu de 13, 5 K. L’écart relatif entre les courbesDR3etDR0est de 0, 36% (3, 8 K).
Un comportement similaire se vérifie sur le calcul du flux de chaleur comme la Figure 8.12ble montre. L’écart entre le profil du flux de chaleur calculé avec la méthodeDR2et la solution de référence augmente à partir de t = 0, 9 s, alors que celui entreDR3etDR0reste faible. En effet, la méthodeDR2donne une solution satisfaisante dans la première partie du calcul car le profil de référence du flux de chaleur est quasi-linéaire. Au contraire, dans la deuxième partie du calcul où la non-linéarité du profil du flux de chaleur est plus marquée, la méthodeDR2s’éloigne de la solution de référence, alors que la méthode
DR3réussit à bien capturer cette non-linéarité.
En zoomant le graphique du flux de chaleur vers la première partie du calcul (cf. Figure8.12c), les profils calculés par les deux méthodes ne sont pas superposés avec la solution de référence. En effet, la méthodeDR3surestime le flux de chaleur, alors que la méthode DR2 le sous-estime. Cela montre les limites de la méthode DR3 lorsque la température de référence n’est pas aisément accessible. Dans cette partie du calcul, la variation de Tref est considérable (200 K en 0, 6 s).
Le Tableau8.5résume les résultats de la comparaison réalisée pour ce cas test en terme d’erreur relative sur la précision. La méthodeDR3 permet d’améliorer la précision sur la température d’au moins un ordre de grandeur, tandis que la précision est deux fois meilleure sur le flux de chaleur. Ce gain limité de la méthodeDR3 sur la méthodeDR2
est dû à la variation de la température du fluide au cours du temps qui remet en cause l’utilisation de la prédiction linéaire flux-température basée sur la loi de refroidissement de Newton.
8.2 amélioration de la précision en modifiant la prédiction du flux de chaleur 163 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1000 1050 1100 1150 1200 Temps [s] T emp ´erature [K ] DR0 DR2 DR3 Temp´erature impos´ee
(a)Profil de température
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 2 4 6 ·104 Temps [s] Flux de chaleur, [W /m 2] DR0 DR2 DR3
(b)Profil du flux de chaleur
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 2 4 6 ·104 Temps [s] Flux de chaleur, [W /m 2] DR0 DR2 DR3
(c)Zoom du profil du flux de chaleur
Figure 8.12 –Comparaison entre les résultats obtenus avec la méthodeDR3et avec la méthode
DR2et la solution de référenceDR0au bord d’attaque de l’interface pour le cas test où l’instationnarité vient de la condition d’injection.
164 amélioration de la précision des calculs aérothermiques transitoires
8.3
conclusions
Dans ce chapitre, la précision des différentes méthodes de prédiction a été analysée en la comparant à une solution de référence.
Les principales caractéristiques de chaque méthode étudiée sont résumées dans le Tableau8.6.
La méthode DR0 est utilisée afin de produire la solution de référence. Elle couple les problèmes fluide et solide à chaque itération solide via l’algorithme instationnaire- instationnaire, ce qui élimine la nécessite de prédire les états fluides et le besoin de mettre en œvre une méthode itérative. En effet, l’utilisation de la méthode de couplage Dirichlet-Neumann et d’une très petite période de couplage assure le respect du critère cft(Continuité Flux-Température) à l’interface.
La méthode DR1 est la méthode classique de prédiction utilisée dans la littérature lorsque le régime transitoire aérothermique est résolu à l’aide de l’algorithme quasi- instationnaire. Cet algorithme emploie une prédiction linéaire en temps du flux de chaleur et de la température provenant du solveur fluide. Cette combinaison engendre une dépendance de la solution (Ts(t) et qs(t)) à la valeur du coefficient de couplage αf (cf. Chapitre7).
La méthodeDR2a été développée afin de supprimer la dépendance au coefficient de couplage. Cette méthode se base sur l’utilisation du profil de température calculé par le solveur solide à l’itération de couplage précédente au lieu d’employer une prédiction linéaire en temps de la température fluide. De plus, afin de réduire davantage cette dépendance, il faut faire attention à appliquer la quadrature de Gauss aux valeurs aux points de Gauss et non aux centres des éléments, pratique commune dans le couplage fluide-structure. Ainsi, la méthodeDR2ne présente pas une dépendance de la solution au coefficient de couplage mais elle est inexacte car elle ne parvient pas à capturer la non-linéarité du flux de chaleur.
La méthode DR3 a donc été développée afin d’améliorer la précision dans la pré- diction du flux de chaleur fluide. Cette méthode se base sur une prédiction linéaire flux-température mise en place à partir de la loi de refroidissement de Newton. La méthodeDR3réussit à améliorer notablement la précision dans la résolution du régime transitoire des problèmes couplés aérothermiques. Cependant, cette méthode est moins robuste que la méthodeDR2lorsque les températures aux deux instants de couplage sont proches, ce qui peut déstabiliser le problème couplé.
La méthode DR3 a été étudiée et comparée avec la méthode DR2 sur trois cas test : deux caractérisés par la provenance de l’instationnarité d’une surface du domaine solide et un caractérisé par l’instationnarité provenant de l’injection de l’écoulement. Sur les premiers deux cas test, la méthodeDR3a donné des résultats d’au moins deux ordres de grandeur plus précis que la méthodeDR2. Sur le troisième cas test, la méthodeDR3
8.3 conclusions 165 Méthode ∆tc Sous- itérations qf Tf Méthode à l’interface DR0 ∆ts Non qf - Dirichlet- Neumann
DR1 ∆tc Oui intert(qf) intert(Tf) Dirichlet- Robin
DR2 ∆tc Oui intert(qf) Ts Dirichlet-Robin
DR3 ∆tc Oui interT(qf) Ts Dirichlet-
Robin
Tableau 8.6 –Résumé des principales caractéristiques des méthodes de prédiction étudiées
le gain en précision est limité par l’omission de la condition (Tref = const) requise par la loi de refroidissement de Newton sur laquelle la prédiction linéaire flux-température de la méthodeDR3se base.
9
C O U P L A G E A É R O T H E R M I Q U E
T R A N S I T O I R E S U R D E S C O N F I G U R A T I O N S
Q U A S I - I N D U S T R I E L L E S
Dans ce chapitre, la méthode de résolution des problèmes couplés aérothermiques en régime transitoire, développée dans le chapitre7puis améliorée au chapitre8, est testée sur des configurations quasi-industrielles. Dans la littérature plusieurs études du régime transitoire de disques de turbine ou de compresseur aéronautiques au cours d’un vol complet ont été réalisées (Sun, Chew, Hills, Volkov et al.,2010;Ganine, Javiya et al.,2012;
Sun, Chew, Hills, Lewis et al.,2012). La plupart de ces études ont montré la nécessité de
coupler les problèmes fluide et solide sur une période de temps faible (typiquement le temps caractéristique du solide) afin de calculer avec une précision acceptable le régime transitoire.
L’objectif de ce chapitre est de vérifier si la méthode développée pendant cette thèse présente autant de précision sur des configurations plus complexes par rapport au cas académique de la plaque plane analysé jusqu’à présent. En particulier, nous voulons vérifier si l’utilisation d’une meilleure prédiction des états fluides (méthodeDR3introduite dans le chapitre8), permet de réduire le nombre d’instants de couplage nécessaire pour atteindre une solution suffisamment précise.
La première configuration quasi-industrielle est celle d’un disque de turbine haute- pression (HP) refroidi par un écoulement d’air (cf. Section9.1). La Section9.2est dédiée à la validation de la méthode de couplage sur un circuit de refroidissement d’un tambour de compresseur axial à haute pression chauffé au niveau du carter extérieur.