fluide-structure
1.4.1 Approches de résolution fluide-structure
Dans cette section, nous allons présenter une vue d’ensemble des principales approches utilisées dans la littérature pour résoudre des problèmes d’interaction fluide-structure. Ces approches peuvent être employées pour tout type d’interaction fluide-structure : aérothermique, aéroélasticité, etc...
1.4.1.1 Approche monolithique et partitionnée
Il existe deux principales stratégies pour résoudre des problèmes d’interaction entre deux physiques :
— L’approche monolithique : le problème est traité dans son ensemble et toutes les équations sont résolues simultanément à travers un unique système d’équation. — L’approche partitionnée : les problèmes associés aux différentes physiques sont
résolus séparément et une troisième entité est chargée d’échanger les quantités pariétales d’un problème à l’autre afin d’assurer les conditions aux limites à l’inter- face.
Dans le cas monolithique, le système d’équations non-linéaires est généralement résolu avec une variante de la méthode de Newton. Le système d’équations intègre l’interface fluide-structure. Ainsi, aucune instabilité supplémentaire n’est ajoutée à ce système multi-physique déjà complexe (Heil et al.,2008). Cette approche est généralement difficile
à mettre en place car il est nécessaire de découper les domaines fluide et solide avec la même discrétisation spatiale. Par exemple,Hübner et al.,2004utilisent une discrétisation
en éléments finis etBlom,1998opte pour la méthode des volumes finis. Cette tâche est
1.4 résolution des problèmes d’interaction fluide-structure 21
Un autre grand inconvénient de l’approche monolithique est de devoir utiliser la même discrétisation temporelle pour les différentes physiques. Ceci est acceptable pour des problèmes où les temps caractéristiques des physiques en jeu sont du même ordre de grandeur (problèmes aéroélastiques par exemple), ce qui n’est pas le cas des problèmes aérothermiques. En effet, le temps caractéristique de la convection thermique dans le fluide et celui de la conduction thermique dans le solide peut différer de 3-4 ordres de grandeur. L’emploi de la même discrétisation temporelle dans tout le problème force à utiliser le plus petit pas de temps (celui du fluide) ce qui conduit à une sur-intégration inutile du problème associé au solide augmentant alors le temps de calcul.
Enfin, l’approche monolithique nécessite un solveur capable de résoudre différents problèmes physiques à la fois. En effet, le problème de mécanique du solide et celui de la mécanique des fluides sont résolus avec des méthodes différentes. Les éléments finis sont les plus utilisés pour la physique du solide. Les volumes finis sont quant à eux privilégiés pour la mécanique des fluides. Il n’est également pas facile de résoudre un système d’équations incluant plusieurs physiques. En effet, si les physiques ont des propriétés très différentes, les problèmes peuvent ne pas être bien conditionnés (Farhat,
Lesoinne et Le Tallec,1998).
L’approche partitionnée a, quant à elle, été développée afin d’accélérer et faciliter la résolution des problèmes couplés qui étaient traités via l’approche monolithique. L’avantage majeur est la modularité logicielle qui permet la réutilisation des codes existants spécifiques à chaque physique. Ainsi, l’utilisateur peut choisir des méthodes et modèles propres à la physique traitée. Cette résolution séparée n’impose pas de contraintes sur la discrétisation spatiale des différents domaines et permet une intégration temporelle optimale en utilisant des pas de temps appropriés à chaque phénomène. La résolution est généralement plus rapide (Felippa et Park,1980;Felippa, Park et Farhat,
2001).
Toutefois, la résolution dissociée des physiques entraîne un décalage lors de l’intégra- tion temporelle induisant une discontinuité à l’interface à chaque pas de temps (Farhat,
Lesoinne et Le Tallec,1998; Jaiman et al., 2011). L’équilibre des quantités à l’interface
fluide-structure n’est pas respecté. Ce déséquilibre peut se réduire au fil des itérations de couplage ou augmenter en faisant diverger la solution. De nombreux auteurs ont constaté que ces instabilités sont produites par un déséquilibre entre les énergies trans- mises au travers de l’interface par chacune des physiques. Dans le cas d’un couplage aéroélastique, cette énergie ∆ représente le travail de l’effort à l’interface engendré par la différence des déplacements des surfaces fluide et solide. Parmi ces auteurs,Le Tallec,
Gerbeau et al.,2005proposent une estimation de cette énergie en utilisant l’algorithme
CSS (Conventional Sequential Staggered, algorithme partitionné décrit au paragraphe1.4.2) pour des problèmes aéroélastiques :
∆= Z Γ n· σn+1 F u n+1 S − un+1F (1.69)
22 résolution d’un problème d’interaction fluide-structure
où σn+1
F est le tenseur des contraintes dans le fluide qui est égal à celui dans le solide par construction de l’algorithme de couplage, enfin un+1S et un+1F sont respectivement les déplacements de l’interface dans les domaines solide et fluide. Cet algorithme utilise une prédiction constante entre les temps n et n + 1, ce qui donne un+1F = un
S. L’équation 1.69devient : Z Γ n· σn+1 F u n+1 S − unS (1.70) L’énergie artificiellement créée à l’interface fluide-structure ne peut pas être nulle car la position de l’interface solide varie d’une itération à l’autre. Ainsi, plus l’intervalle entre deux échanges est petit plus l’algorithme est stable.
La définition (1.69) a été formulée pour un problème aéroélastique mais elle peut être étendue par analogie à un problème aérothermique.
En conclusion, une attention particulière doit être portée à la formulation et l’implé- mentation des algorithmes partitionnés afin de réduire le déséquilibre à l’interface. Ces dernières décennies, de nombreuses études consacrées à la stabilité des algorithmes par- titionnés ont tenté de comprendre la nature de cette instabilité et de trouver des moyens pour la prévenir. Nous allons présenter celles qui nous semblent les plus pertinentes pour notre étude dans le chapitre2.
1.4.1.2 Couplage fort et faible
Dans le cadre de la résolution des problèmes multiphysiques, il est nécessaire de faire une distinction entre les algorithmes de couplage fort et ceux de couplage faible. Dans la littérature cette distinction est ambiguë, il peut s’agir :
— d’une distinction entre les algorithmes utilisant une approche monolithique et ceux utilisant un approche partitionnée ;
— d’une distinction entre les algorithmes utilisant une méthode implicite et ceux utilisant une méthode explicite ;
— d’une distinction entre les algorithmes qui respectent et ceux qui ne respectent pas la continuité du flux de chaleur et de la température (cft) à l’interface à chaque itération de couplage.
La définition retenue est celle généralement utilisée à l’Onera depuis la thèse de
Garaud,2008qui relie ces termes fort et faible au respect ou non du critère cft.
En résolvant un problème multiphysique avec l’approche monolithique, le critère cft est toujours respecté car l’interface fait partie du domaine de résolution. Au contraire, pendant la résolution d’un problème via une approche partitionnée le critère cft n’est généralement pas respecté, ce qui d’après la définition retenue voudrait dire qu’il s’agit d’un couplage faible. Cela justifie l’association faite par certains auteurs entre l’approche monolithique (respectivement l’approche partitionnée) et un couplage fort (respective- ment un couplage faible). Cependant, dans la section suivante nous montrons qu’il existe des algorithmes partitionnés "forts".
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