fluide-structure
Algorithme 2 Algorithme partitionné parallèle tant que le critère de convergence n’est pas satisfait faire
1 Fluide : Envoi et reception des information à tcet prédiction de l’état de
l’interface fluide à tc+ ∆tc;
Solide : Envoi et reception des information à tcet prédiction de l’état de l’interface solide à tc+ ∆tc;
2 Intégration du fluide du problème fluide d’un ∆tc; Intégration du problème solide d’un ∆tc;
Piperno et al.,1995montrent sur un cas 1D que cet algorithme est moins précis que
les deux précédents puisqu’il repose sur deux prédictions. Son utilisation est conseillée seulement dans le cas où les temps de calcul des deux physiques sont du même ordre de grandeur.
1.4.2.4 Variantes des algorithmes partitionnés afin d’en améliorer les performances
Piperno et al.,1995ont montré que les algorithmes précédents peuvent atteindre au
maximum une convergence du premier ordre en temps, même si les problèmes associés aux différentes physiques sont résolus avec des schémas du deuxième ordre en temps.
L’ordre en temps d’un schéma est l’exposante k dans l’expression théorique de l’erreur de discrétisation en fonction du pas de temps :
= O ∆tkc (1.71)
Pour attendre l’ordre 2,Farhat et Lesoinne,2000proposent une version de l’algorithme
CSS où les échanges sont désynchronisés d’un demi pas de temps comme montré sur la Figure1.5.
26 résolution d’un problème d’interaction fluide-structure 3 1 4 2 Fluide tf Solide ts tc tc+∆tc tc−∆t2c tc+∆t2c
Figure 1.5 – Schématisation de l’algorithme partitionné séquentiel désynchronisé
De la même façon, ils proposent une variante de l’algorithme parallèle où les solveurs solide et fluide avancent ensemble, le solide d’un pas de temps de couplage et le fluide d’un demi-pas de temps de couplage. Les quantités pariétales calculées par le solide sont utilisées pour corriger la prédiction fluide au demi-pas de temps, alors que les informations calculées au demi-pas fluide sont utilisées pour re-calculer le pas de temps solide (cf. Figure1.6). 2 2 3 3 1 1 Fluide tf Solide ts tc tc+∆t2c tc+∆tc 4
Figure 1.6 – Schématisation de l’algorithme partitionné parallèle amélioré
Ces derniers algorithmes sont essentiels pour assurer la conservativité à l’interface fluide-structure dans les problèmes aéroélastiques. Ils peuvent également être utiles pour des problèmes où les maillages restent fixes comme en aérothermique car ils augmentent la qualité de la prédiction.
D’autres techniques peuvent être employées afin d’améliorer les algorithmes de cou- plage : des techniques de correction, de substitution et de synchronisation (Felippa, Park
1.4 résolution des problèmes d’interaction fluide-structure 27
1.4.2.5 Algorithmes de couplage instationnaire-instationnaire
En régime permanent, la synchronisation des résolutions n’est pas obligatoire même si elle est conseillée pour des raisons de stabilité. En régime transitoire (ou instationnaire), il est crucial que les deux physiques soient couplées simultanément car l’objectif est de suivre l’évolution de l’échange thermique au cours du temps.
Tous les algorithmes décrits dans la section 1.4.2 peuvent être utilisés en régime transitoire à condition que le couplage soit effectué à tc = tf = ts. Ces algorithmes sont adaptés aux problèmes d’interaction fluide-structure quel que soit le type d’interaction. Cependant, il s’agit d’algorithmes de couplage faible, le critère cft n’est donc pas respecté et il est nécessaire d’employer des pas de temps de couplage infimes. Ainsi, l’état des deux physiques diffère peu entre deux couplages ce qui limite l’accumulation d’erreur à l’interface. En règle générale, le pas de temps de couplage doit coïncider avec le pas de temps de la physique la plus rapide (en l’occurrence, le fluide). Le temps de calcul de cet algorithme peut être du même ordre de grandeur que l’approche monolithique en étant toutefois plus facile à mette en place. L’algorithme CSS instationnaire-instationnaire sera utilisé dans cette thèse pour calculer la solution de référence des différents cas test étudiés.
Comme mentionné dans le paragraphe 1.4.1.2, il est possible de transformer un algorithme partitionné faible en algorithme partitionné fort en ajoutant un processus itératif à chaque pas de temps de couplage afin que le critère cft soit respecté pendant le régime transitoire. Le principe de ces algorithmes est de corriger à chaque itération la prédiction jusqu’à ce que cette dernière atteigne une solution qui respecte le critère de convergence choisi. Cette méthode permet d’augmenter le pas de temps de couplage.
Dans la littérature, le processus itératif peut être réalisé via une méthode de recherche du point fixe telle que les méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel ou encore de Newton
(Le Tallec et Mouro,2001;Matthies et Steindorf,2002;Gerbeau et Vidrascu,2003;Mok
et al., 2007). L’application de la méthode de Newton nécessite le calcul du Jacobien à
chaque couplage ce qui peut être coûteux. C’est pour cela que d’autres techniques ont été employées : la méthode de quasi-Newton (Verdicchio et al., 2001) qui utilise une
approximation du coefficient d’échange thermique, la méthode de GMRES interfaciale
(Küttler et Wall,2009), la méthode de Newton-Krylov (Knoll et Keyes,2004) ou encore la
méthode de mixage d’Anderson (Ganine, Hills et al.,2013).
Bien que ces derniers algorithmes respectent le critère cft, dans certains cas une relaxation est nécessaire pour converger vers une solution stable (Le Tallec et Mouro,
28 résolution d’un problème d’interaction fluide-structure
1.4.3 Algorithmes de couplage utilisés dans le cadre de la thèse
Dans cette section nous spécifions les algorithmes qui ont été utilisés dans le cadre de ces travaux. Le choix de l’algorithme de couplage dépend de la finalité de l’étude, c’est-à-dire de l’aspect de l’interaction thermique fluide-structure qui est étudié. De plus, pour choisir entre un algorithme séquentiel ou parallèle, il est nécessaire d’estimer le coût de résolution de chaque physique. Dans le cadre de cette thèse, nous allons d’abord travailler sur l’interaction thermique fluide-structure en régime permanent puis en régime transitoire. Nous rappelons que dans l’étude du régime transitoire, l’attention est portée exclusivement sur l’évolution de la charge thermique subie au cours du temps par la structure en interaction avec un écoulement fluide. Ces motivations ont déterminé le choix des algorithmes.
1.4.3.1 Étude du régime permanent
Lorsque seul le régime permanent du problème couplé aérothermique est recherché, il est possible de mettre en place des méthodes numériques qui permettent d’atteindre la solution sans passer par la résolution du problème en régime transitoire. Il n’est donc pas nécessaire d’assurer l’équilibre aérothermique pendant la résolution. Cette démarche suppose qu’il n’y ait pas de phénomènes dissipatifs irréversibles, c’est-à-dire dans le cas où le problème thermique est linéaire. Ainsi, le choix est porté vers un algorithme partitionné faible.
Par ailleurs, dans le cas du couplage aérothermique, le temps de calcul de la CFD est plus important que celui de la résolution du problème de conduction dans le solide. Ceci justifie le choix d’un algorithme séquentiel plutôt qu’un algorithme parallèle afin de privilégier la précision au temps de calcul. Dans ce cas, le temps consacré à la résolution du problème aérothermique complet est du même ordre de grandeur que celui nécessaire pour la résolution de la CFD. Ainsi, l’algorithme de couplage séquentiel CSS sous-cyclé est privilégié car il est le plus simple à mettre en œuvre et le plus adapté au contexte industriel.
Afin de trouver rapidement la solution du problème en régime permanent, il est possible de négliger le régime transitoire dans le solide en supposant que la conduction thermique dans le solide est instantanée (capacité thermique nulle). Cette hypothèse rend la thermique dans le solide linéaire et réversible. Nous allons donc utiliser une variante de l’algorithme CSS qui couple une résolution de l’écoulement fluide en régime transitoire (Éq. (1.9)) avec une séquence de résolutions de la conduction thermique dans le solide en régime stationnaire (Éq. (1.53)). L’algorithme résultant est présenté sur la Figure1.7.
1.4 résolution des problèmes d’interaction fluide-structure 29 Fluide tf Solide 3 1 2 4 tc tc+∆tc tc+2∆tc
Figure 1.7 – Schématisation de l’algorithme de couplage séquentiel stationnaire
Algorithme 3 :Algorithme partitionné séquentiel stationnaire