cielle du système couplé
2.5.2 Étude de stabilité en régime transitoire
Errera, Lazareff et al., 2017 ont analysé la stabilité des problèmes aérothermiques
en régime transitoire où l’attention est portée sur le calcul de l’évolution de la charge thermique dans le solide. L’approche utilisée est la même que pour l’étude du régime permanent mais la résolution est différente car, cette fois, la conduction dans le solide est résolue en régime transitoire, alors que l’écoulement fluide est calculé en régime permanent. Afin d’appliquer une démarche similaire à celle réalisée dans le cas du régime permanent, la position des deux domaines a été inversée dans le modèle 1D (cf. Figure2.6).
y Ωs
Méthode des élements finis 0
Ωf
Méthode des volumes finis
Interface Solide Fluide 0− 0+ j • • 2 1 • ∆ys C.L. externe Tr e f • • • • −1 −2 −3 ∆yf
Figure 2.6 –Étude de stabilité du couplage en régime transitoire : discrétisation du modèle 1-D
Afin d’être concis nous présentons directement l’analyse de stabilité en utilisant la condition de Robin sur les deux cotés de l’interface de couplage. Les conditions de raccord à l’interface, en considérant les normales aux deux domaines entrantes ~ns= −~nf,
sont :
ˆqf+ αsˆTf = −qs+ αfTs Condition de Robin dans le fluide ˆqs+ αfˆTs = −qf+ αfTf Condition de Robin dans le solide
(2.61)
L’application de ces équations au modèle discrétisé en 1D de la Figure2.6et l’utilisation de la décomposition de la température en produit du facteur d’amplification temporelle et spatiale ci-dessous :
Tjn=
zn−1κjs j > 0
54 panorama des études de stabilité des algorithmes partitionnés
permet d’obtenir l’expression du facteur d’amplification temporelle :
z= Ks(αf+ αs) (h + αs) (Ks+ αf) κs− (Ks− αs) (h − αf) (h + αs) (Ks+ αf) (2.63)
Dans l’analyse de stabilité d’un problème aérothermique en régime transitoire il a été nécessaire de redéfinir la conductance du solide Kscar, cette fois, l’intérêt est porté sur l’évolution thermique dans le solide. Ksest alors défini comme suit :
Ks= λs ∆ys
(2.64)
où ∆ysest la taille de la première maille solide.
De l’analyse de stabilité, la suivante contrainte sur le facteur d’amplification spatiale dans le domaine fluide a été obtenue :
h < 2Kf (2.65)
Cette limite de stabilité impose la prédominance de la conduction thermique sur la convec- tion dans la première maille fluide. Dans le cas d’un coefficient d’échange thermique extrêmement élevé (jet impactant, etc...) il est très important de raffiner le maillage du domaine fluide près de l’interface fluide-structure afin que cette condition soit respectée.
Les détails mathématiques de l’analyse de stabilité sont présentés dans l’annexeA.3. Les facteurs d’amplification temporelle pour les deux méthodes les plus classiques (Dirichlet-Robin et Neumann-Robin) en découlent :
— Dirichlet-Robin, en imposant αs=∞ :
z= Ksκs+ αf− h Ks+ αf
(2.66)
Comme dans le cas en régime permanent, le coefficient de stabilité est donné par l’intersection de la branche de Neumann |g(z = −1)| et celle de Dirichlet |g(z = 1)| :
α(opt)f = h −Ks 2 1+ Ds (2.67) — Neumann-Robin, en imposant αs= 0 : z= Ks(αfκs− αf+ h) h(Ks+ αf) = αfκs+ h − αf (Ks+ αf) Bi∆ (2.68)
où Bi∆ est le nombre de Biot local en régime transitoire défini comme suit :
Bi∆ = h Ks
2.6 conclusion 55
En utilisant la même procédure que précédemment, le coefficient optimal dans le cas de la méthode Neumann-Robin est le suivant :
α(opt)f = 2h 1− Ds
(2.70)
2.6
conclusion
Dans ce chapitre nous avons présenté un état de l’art des différentes analyses de stabilité et des méthodes à employer pour éviter l’instabilité d’un problème couplé. Cette revue concerne uniquement les problèmes aérothermiques qui seront abordés dans le cadre de cette thèse.
Les analyses basées sur la méthode des modes normaux deGodunov et Ryabenkii,
1964ont été présentées.Giles,1997, dans une des premières études de stabilité, affirme
que l’utilisation de la condition de Dirichlet sur l’interface fluide et de la condition de Neumann sur l’interface solide stabilise la plupart des problèmes aérothermiques. Différents auteurs ont par la suite montré que cette approche ne permet pas de stabiliser des problèmes couplés composés de physiques ayant des propriétés très différentes. Ainsi, une condition de Robin sur l’interface solide a été privilégiée. Cependant, l’utilisation non appropriée de cette condition peut amener à une convergence très lente.Verstraete et
Scholl,2016proposent d’utiliser la valeur maximale du coefficient d’échange thermique
sur toute l’interface.Roux et Garaud,2009proposent une méthode afin d’optimiser cette
condition mais elle est coûteuse et applicable uniquement sur des cas simples.
Errera et Chemin,2013proposent une méthode analytique basée sur un modèle 1D afin
de calculer localement le coefficient de couplage. L’utilisation de ce coefficient "optimal", stabilise théoriquement le problème couplé en assurant la convergence la plus rapide possible. La méthode a été étendue par la suite aux problèmes aérothermiques en régime transitoire.
Un développement intéressant a été effectué parJoshi et Leyland,2014. Les auteurs
traitent les deux physiques en interaction en régime transitoire et qui ont eux aussi remarqué l’existence d’un valeur optimale dans le facteur d’amplification temporelle. Ces méthodes peuvent être employées pour étudier l’interaction thermique en régime transitoire dans le cas où un algorithme partitionné parallèle instationnaire-instationnaire est utilisé.
Comme annoncé précédemment, dans le cadre de cette thèse l’étude est centrée sur la méthode optimale de Errera et Chemin, 2013 pour la stabilité des problèmes
aérothermiques en régime permanent et la méthode optimale proposée par Errera,
3
É T U D E D U P O T E N T I E L D E L A M É T H O D E
O P T I M A L E D E D I R I C H L E T- R O B I N À
S T A B I L I S E R U N C A L C U L D E C O U P L A G E
A É R O T H E R M I Q U E
Dans ce chapitre, nous étudions la capacité de la méthode optimale de Dirichlet-Robin proposée par Errera et Chemin, 2013 à stabiliser des problèmes aérothermiques en
régime permanent. Afin de mieux comprendre les enjeux liés à la stabilité d’un problème multiphysique comme celui-ci, les premiers travaux réalisés dans le cadre de cette thèse ont été consacrés à l’étude du problème en régime permanent. Les motivations de ce choix sont détaillées dans la section3.1. L’efficacité théorique de la méthode optimale de Dirichlet-Robin à stabiliser le couplage aérothermique est présentée dans la section 3.2. L’attention a été portée sur l’identification des principaux paramètres impactant la stabilité du problème couplé. Ensuite, ces méthodes ont été testées numériquement sur un cas de plaque plane chauffée par un écoulement fluide. La description du cas test est présentée à la section3.3puis la section 3.4permet de détailler le potentiel et les limites de la méthode de Dirichlet-Robin. Les deux dernières sections (3.5et 3.6) sont respectivement dédiées à l’influence de la variation de l’initialisation du calcul couplé et de celle de la période de couplage ∆tc.
3.1
simplification du problème
Quel que soit le domaine d’étude, la résolution d’un problème physique en régime permanent est plus simple que celle en régime transitoire. En effet, dans le premier cas, avec une discrétisation en éléments finis et en l’absence de non-linéarités géométriques ou thermiques, le régime permanent d’un problème de conduction solide peut être obtenu par la simple résolution d’un système d’équations linéaire via une méthode directe. Dans le second cas, il est nécessaire de calculer l’évolution au cours du temps du phénomène physique et pas uniquement l’état final.
Pour le calcul du régime transitoire une résolution de type "time marching", où la solution à l’instant t dépend de celle à l’instant t − 1, est nécessaire. Plus l’intégration temporelle est courte (utilisation de petits pas de temps) et plus la solution du problème en régime transitoire sera précise. Cela est particulièrement vrai pour un problème multiphysique résolu via une approche partitionnée. En effet, comme mentionné dans
58 méthode optimale dirichlet-robin
le paragraphe1.4.2.5, afin d’étudier le régime transitoire d’un problème couplé il faut coupler les résolutions en régime transitoire des deux physiques via un algorithme instationnaire-instationnaire. Cela consiste à utiliser une intégration temporelle synchrone des deux physiques couplées avec une période égale au temps caractéristique de la physique la plus rapide. Le temps de calcul en utilisant cette approche dépend de la différence de grandeur entre les temps caractéristiques des deux physiques. Avant d’aborder le régime transitoire, nous avons décidé de nous placer en régime permanent afin de vérifier si la méthode optimale Dirichlet-Robin permet d’améliorer la stabilité des problèmes aérothermiques.
Une variante de l’algorithme de couplage CSS, déjà décrite au paragraphe1.4.3.1, a été utilisée pour l’étude du régime permanent. Cet algorithme couple une résolution de l’écoulement fluide en régime transitoire avec une séquence de résolutions de la conduc- tion dans le solide en régime stationnaire (Figure 1.7). En effet, puisque le transitoire thermique du problème couplé n’est pas souhaité, la conduction solide est résolue en régime permanent afin d’accélérer la convergence, en revanche une résolution en régime transitoire de l’écoulement fluide est retenue. Le problème fluide est généralement résolu via une approche de type "time-marching" quel que soit le type d’étude à effectuer (régime permanent ou transitoire). La résolution de l’écoulement en régime permanent présente l’avantage de pouvoir utiliser un pas de temps local (à chaque cellule) permettant d’ac- célérer la convergence du calcul. Cependant, ce pas de temps local n’assure pas une cohérence physique pendant le régime transitoire. Malheureusement, l’utilisation d’un pas de temps local requiert la valeur du pas de temps de résolution pour chaque cellule du maillage fluide près de la paroi. Cependant, cette information n’est pas toujours disponible dans le solveur CFD comme dans elsA. Ainsi, un pas de temps global de résolution de l’écoulement a été jugé plus pratique à utiliser.