IV. 1.5.2.3. Étude statistique de la vitesse dans la veine d’essai
IV.4. C ALCUL D ’ EFFORT HYDRODYNAMIQUE MOYEN
IV.4.3. Validation de l’algorithme de calcul d’effort à partir de données numériques
L’algorithme de calcul de la force est testé sur un écoulement académique autour d’un cylindre carré à Re = 100. La simulation est réalisée sur un code commercial de type éléments
finis (Comsol®) qui résout l’équation de Navier-Stokes sur un maillage régulier comportant
401(longueur) × 81(largeur) cellules. 200 pas de temps de 10-3 secondes sont nécessaires pour atteindre la convergence. Le contour d’intégration le plus large est représenté sur la Figure 125, il comporte 890 points et tourne dans le sens horaire.
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Figure 125. Simulation Comsol® d’un écoulement autour d’un cylindre carré à Re = 100 ; Schéma de l’évolution de la taille du domaine d’intégration pour l’estimation de la force volumique (contour en pointillés noirs)
À chaque étape du calcul de la force (cf. partie précédente), les résultats de l’algorithme de calcul développé sous Maltab® sont comparés aux résultats issus de la simulation Comsol® prise comme référence.
IV.4.3.1. Calcul du gradient de pression sur le contour (C)
Le gradient de pression est calculé à partir de l’équation (30) : ∇⃗⃗ 𝑃|𝑑𝐶 = (𝜌 ((𝑈⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ − 𝜈Δ𝑈⃗⃗ )) |𝑑𝐶 = 𝐹 𝑐𝑜𝑛𝑣,𝑣𝑖𝑠𝑞|𝑑𝐶 et prend en argument la résultante de la force convective et visqueuse sur le contour C.
Figure 126. Variation du gradient de pression selon les composante 𝑥 et 𝑦 ; comparaison entre le résultat de l’algorithme développé sous Matlab® (cercles) et la référence issue de la simulation Comsol® (points)
La Figure 126 illustre les variations du gradient de pression calculé à partir du champ de vitesse sur le contour C avec l’algorithme développé sous Matlab® et les variations du gradient de pression calculé par Comsol® (référence). Le gradient de pression calculé grâce à l’algorithme sur le contour C est quasiment identique au gradient de pression de référence. Seules de légères différences sont perceptibles dans les zones où le gradient de pression évolue fortement notamment dans les zones au-dessus et en dessous du cylindre carré. L’implémentation du calcul du gradient de pression dans l’algorithme de calcul de force est en bon accord avec la référence.
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IV.4.3.2. Calcul de la pression sur le contour (C)
La pression est calculée par propagation du gradient de pression grâce à la formule (31) suivante : 𝑃(𝑥𝑐) = 𝑃(0) + ∮ ∇𝐶⃗⃗ 𝑃(𝑥𝑐). 𝑛⃗ 𝑑𝐶.
La Figure 127 représente les variations de la pression le long du contour C calculées au moyen de l’algorithme Matlab® et les variations de la pression issue de la simulation Comsol® (référence). Les variations de la pression issue de l’algorithme développé sous Matlab® sont en excellent accord avec les variations de la pression de référence. Seules de légères différences sont perceptibles dans les zones proches de l’obstacle où les variations de gradient de pression sont fortes (en dessous et au-dessus du cylindre carré ; indices situés autour de 320 et 520).
Figure 127. Variation de la pression le long du contour C ; comparaison entre le résultat de l’algorithme développé sous Matlab® (cercles rouges) et la référence issue de la simulation Comsol® (points bleus)
L’implémentation du calcul de la pression dans l’algorithme de calcul de force est donc en très bon accord avec la pression directement calculée par Comsol®.
IV.4.3.3. Calcul des efforts globaux
Les efforts globaux appliqués par le cylindre carré sur le fluide, sont issus de la somme des efforts convectifs, visqueux et de pression (équation 34 et 35). Les composantes des efforts globaux sont représentées sur la Figure 128 en fonction de la taille du domaine d’intégration de la force. Les composantes de la force estimées par l’algorithme développé sous Matlab® sont représentées par des ronds tandis que les composantes de la force issues de la simulation de référence (Comsol®) sont représentées par des traits.
La composante de la force selon l’axe 𝑦 (représentée en bleu) estimée (Matlab®) est proche à 2,2.10-3 N/m près de la composante de la force de référence (Comsol®), mais la valeur convergée n’est pas complètement atteinte. Cette erreur est probablement liée à la résolution du domaine de calcul (taille de maille trop large) et à la propagation d’erreur (inhérente à cette méthode) lors de la détermination de la pression en chaque point du contour. D’autre part le
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domaine de calcul (et donc le contour d’intégration) ne sont peut-être pas assez grands pour atteindre la valeur convergée.
Figure 128. Comparaison des courbes de convergence de la force volumique totale appliquée par le cylindre carré sur le liquide, estimée sous Matlab® et de la force de pression simulé sous Comsol® en fonction de la taille du domaine
d’intégration C (du plus petit au plus grand domaine)
La composante de la force selon l’axe 𝑥 (représentée en rouge) estimée (Matlab®) est proche à 1,2.10-5 N/m près de la composante de la force de référence (Comsol®), soit une erreur relative de 0,006 %. Contrairement à la composante de la force selon l’axe 𝑦 , la composante de la force selon l’axe 𝑥 semble converger vers une valeur asymptotique de référence.
IV.4.3.4. Calcul des coefficients aérodynamiques de traînée et
portance
Grâce à l’algorithme développé sous Matlab®, les valeurs convergées de traînée Cx et portance Cy du cylindre carré (largeur 0,1 m) plongé dans un écoulement à 1 m/s sont respectivement égales à - 3,71 et - 0,07.
Les erreurs absolues sur les coefficients aérodynamiques de traînée et portance par rapport aux résultats issus de la simulation (Comsol®) atteignent respectivement 2.10-4 et 5.10-2.
IV.4.3.5. Conclusion
Au cours de cette étude sur la validité de l’algorithme d’estimation des efforts aérodynamiques, les résultats de chaque étape du calcul sont comparés aux résultats d’une simulation de type éléments finis (Comsol®). Il a été montré que l’évolution du gradient de pression estimé sur le contour (C) est identique à l’évolution du gradient de pression simulé dans des zones éloignées de l’obstacle. Dans les zones au-dessus et en dessous de l’obstacle (cylindre carré) où les variations de gradient de pression sont importantes, de légères différences de l’ordre de 0,2 % sont perceptibles. Le calcul de la pression en chaque point du
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05
taille relative (%) du domaine de calcul par rapport au domaine initial (le plus grand)
F orc e (N /m ) Fx Fy Fxref Fy ref
161 contour révèle un très bon accord avec les valeurs de pression calculées directement par Comsol®. De petites différences de pression sont observables dans les zones de fort gradient de pression (autour de l’obstacle) ne dépassant pas 4 % d’erreur relative par rapport à la référence. L’intégration des forces de pression selon la composante verticale est égale à la valeur de référence à 3.10-3 N/m près, tandis que l’intégration des forces de pression selon la composante horizontale est égale à la valeur de référence à 0,007 % près.
Finalement la force totale exercée par l’obstacle sur le fluide selon la composante verticale (𝑦 ) est égal à la force totale de référence à 2,2.10-3 N/m près. La force totale selon la composante horizontale (𝑥 ) est égal à la force totale de référence à 0,006 % près. En termes de coefficients aérodynamiques les erreurs absolues par rapport aux références issues de la simulation Comsol® sur Cx (- 3,71) et Cy (- 0,07) sont respectivement égales à 2.10-4 et 5.10-2.