Présentation de la méthode de bilan de quantité de mouvement pour le calcul d’effort

L’idée principale d’une méthode indirecte est de quantifier la force s’exerçant sur un fluide grâce à un calcul inverse de l’équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes :

𝑓 (𝑡) = 𝜌 (^{𝜕𝑈⃗⃗}

𝜕𝑡 ^{+ (𝑈}⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ − 𝜈Δ𝑈⃗⃗ − 𝑔 ) + ∇⃗⃗ 𝑃 (66)

Cette équation montre qu’en connaissant les champs de vitesse et de pression, on est capable d’estimer la force à l’origine du champ de vitesse et du champ de pression. On peut noter que la force de gravité 𝑔 est généralement négligeable devant les autres termes, elle est donc négligée par la suite.

Les données de vitesse peuvent être obtenues expérimentalement grâce à des méthodes de mesures de champ de vitesse telle que la PIV. La pression peut être relevée à l’aide de capteurs de pression, mais ces capteurs ne sont que ponctuels et ne permettent généralement pas d’obtenir un champ de pression. La détermination du champ du gradient de pression est donc un problème majeur dans la résolution de l’équation de quantité de mouvement inverse (équation 66). Afin de résoudre ce problème, 2 approches principales sont développées. La 1^re approche regroupe les méthodes dites intégrales qui sont robustes, et peuvent être résolues en temps. Cependant elles ne donnent qu’une valeur globale de la force et ne peuvent permettre d’obtenir un champ de force. Dans le cas de la détermination des efforts aérodynamiques autour d’un profil d’aile, les méthodes intégrales sont souvent efficaces. Elles présentent aussi l’avantage de donner une relation directe entre les événements majeurs d’un écoulement (émission ou passage de structure tourbillonnaire) et les variations de traînée et de portance (Jardin [108]).

155 La 2^de approche regroupe les méthodes dites différentielles qui permettent de s’affranchir du terme de pression. La détermination des efforts résulte alors de l’intégration d’un moment de vorticité sur l’intégralité d’un domaine fluide. Cependant ces méthodes sont particulièrement sensibles aux bruits de mesure du fait de la présence des dérivées de la vitesse d’ordre élevé. La méthode intégrale est choisie pour l’estimation de la force volumique notamment pour sa robustesse et le peu d’hypothèses nécessaires à son application. Elle est basée sur le concept du bilan de quantité de mouvement et s’applique en intégrant l’équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes sur un volume de contrôle fermé.

Étant dans une configuration d’écoulement bidimensionnel, l’intégration est calculée sur une surface (S) rectangulaire, entourant le profil d’aile qui s’appuie sur les points du champ PIV (cf. Figure 124). Les 4 faces sont nommées suivant leur position géographique (Nord, Sud, Est, Ouest).

Figure 124. Volume d’intégration autour du profil d’aile pour le calcul des forces hydrodynamiques

On reprend l’équation de quantité de mouvement de Navier-Stokes (équation 66) et on l’intègre sur la surface de contrôle (S) en négligeant la gravité:

𝑓 (𝑡) = ∬ (𝜌 (^{𝜕𝑈⃗⃗}

𝜕𝑡 ^{+ (𝑈}⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ − 𝜈Δ𝑈⃗⃗ ) + ∇⃗⃗ 𝑃) . 𝑑𝑆

𝑆

(67)

La mesure des efforts étant effectuée sur un champ moyen, le calcul du terme temporel est inutile dans notre expérience et l’équation de la force devient :

𝑓 = ∬ (𝜌 ((𝑈⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ − 𝜈Δ𝑈⃗⃗ ) + ∇⃗⃗ 𝑃) . 𝑑𝑆 𝑆 Ou bien, 𝑓 _𝑙= ^𝑓 𝜌= ∬ (((𝑈⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ − 𝜈Δ𝑈⃗⃗ ) +^{∇⃗⃗ 𝑃} 𝜌) . 𝑑𝑆 𝑆 (68) Où [𝑓 ]= 𝑁/𝑘𝑔 et [𝑓_𝑙]= 𝑁/𝑚

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• Le terme convectif : 𝑓 _{𝑐𝑜𝑛𝑣}= ∬ (𝜌(𝑈_𝑆 ⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ ). 𝑑𝑆 • Le terme visqueux : 𝑓 _{𝑣𝑖𝑠𝑞} = ∬ (𝜌𝜈Δ𝑈_𝑆 ⃗⃗ ). 𝑑𝑆 • Le terme de pression : 𝑓 _𝑝 = ∬ (∇_𝑆 ⃗⃗ 𝑃). 𝑑𝑆

Les termes de force convective et visqueuse sont directement calculés à partir du champ de vitesse issu de mesures PIV. En revanche le terme de pression n’est pas directement quantifiable. Au mieux, la pression peut être connue en quelques points et non sur l’ensemble d’un domaine de contrôle. Cependant, le problème peut être simplifié en utilisant le théorème du flux de Green-Ostrogradsky afin de transformer l’intégrale surfacique en intégrale sur un contour fermé : 𝑓 _𝑝 = ∬(∇⃗⃗ 𝑃)𝑑𝑆 𝑆 = ∮(𝑃𝑛⃗ )𝑑𝐶 𝐶 (69)

On remarque que pour estimer la force de pression, il suffit de connaître la pression sur chaque point du contour entourant la surface de contrôle. Dans notre cas, la pression ne peut être mesurée sur tout le contour du domaine. Il existe cependant une méthode permettant de déterminer le terme de pression sur un contour. Elle consiste à choisir une surface de contrôle suffisamment éloignée de la région d’influence de la force de pression sur l’objet (cf. Figure 124). En chaque point du contour 𝑥_𝑐 de la surface de contrôle, la force peut être considérée comme nulle et on obtient la relation suivante :

𝑓 = 0⃗

⇔ ∇⃗⃗ 𝑃|_𝑑𝐶 = (𝜌 ((𝑈⃗⃗ . ∇⃗⃗ )𝑈⃗⃗ − 𝜈Δ𝑈⃗⃗ )) |_𝑑𝐶 ⁽⁷⁰⁾

Où dC est un élément du contour C

Par propagation du gradient le long du contour (C) à partir d’un point de position x0 et de pression arbitraire p0, il est possible de déterminer la pression à un scalaire près, grâce à la formule suivante :

P(𝑥_𝑐) = 𝑃(0) + ∮ ∇_𝐶⃗⃗ 𝑃(𝑥_𝑐). 𝑛⃗ 𝑑𝐶 (71)

On peut noter que la valeur de P(0) n’a aucune influence sur le résultat final ; on le fixe donc à 0.

Connaissant les valeurs de pression en chaque point du contour, on peut calculer la somme des pressions sur chaque face de la surface de contrôle (Nord, Sud, Est, Ouest):

𝑓 _{𝑝𝑁𝑜𝑟𝑑} = ∮ P(𝑥_𝐴^𝐵 _𝑐)𝑑𝐶 ; 𝑓 _{𝑝𝐸𝑠𝑡} = ∮ P(𝑥_𝐵^𝐶 _𝑐)𝑑𝐶 ; 𝑓 _{𝑝𝑆𝑢𝑑} = ∮ P(𝑥_𝐶^𝐷 _𝑐)𝑑𝐶 ;

157 La résultante des forces de pression selon les 2 directions du repère est déduite en sommant les termes de force de pression sur les faces Nord et Sud (direction 𝑦 ) puis Est et Ouest (direction 𝑥 ) :

𝑓 _𝑝𝑦 = 𝑓 _{𝑝𝑁𝑜𝑟𝑑}+ 𝑓 _{𝑝𝑆𝑢𝑑}

𝑓 _𝑝𝑥 = 𝑓 _{𝑝𝐸𝑠𝑡}+ 𝑓 _{𝑝𝑂𝑢𝑒𝑠𝑡} ⁽⁷³⁾

Afin de déterminer les composantes de la force appliquée par le profil d’aile et l’actionneur sur l’écoulement, on procède en 7 étapes :

1) Le calcul du champ de force convective (fconv) et visqueuse (fvisq) ([f]=N/kg) sur un contour (C).

2) Intégration des forces convectives et visqueuses sur le domaine (S) ([f]=N/m) 3) Détermination du gradient de pression sur le contour (C) grâce à la formule (70) 4) Calcul de la pression sur le contour (C) par propagation du gradient de pression grâce

à la formule (71)

5) Calcul de la résultante des forces de pression 𝑓 _𝑝𝑥 et 𝑓 _𝑝𝑦 selon les axes 𝑥 et 𝑦 6) Calcul des efforts globaux 𝑓 _𝑥, 𝑓 _𝑦 selon les axes 𝑥 et 𝑦

𝑓 _𝑥 = 𝑓 _{𝑐𝑜𝑛𝑣𝑥}+ 𝑓 _{𝑣𝑖𝑠𝑞𝑥} + 𝑓 _𝑝𝑥 (74)

𝑓 _𝑦 = 𝑓 _{𝑐𝑜𝑛𝑣𝑦}+ 𝑓 _{𝑣𝑖𝑠𝑞𝑦}+ 𝑓 _𝑝𝑦 (75)

7) Calcul des coefficients aérodynamiques Cx (traînée ; formule 1) et Cy (portance ; formule 2)

IV.4.3. Validation de l’algorithme de calcul d’effort à partir de