4.3 Assimilation Variationnelle : 4D-Var incr´emental
4.3.4 Validation du lin´eaire tangent et de l’adjoint
yo−HMδx,R−1(yo−HMδx)+ 1 2 δxTB−1δx
avec les notations de Ide et al.(1997) : J est la fonction coˆut, δx est le vecteur d’´etat incr´emental, yo est le vecteur d’observation, M est l’op´erateur dynamique (mod`ele) lin´earis´e, Hest l’op´erateur d’observation lin´earis´e,Rest la matrice de covariance des erreurs d’observa-tion,Best la matrice de covariance des erreurs d’´ebauche.
L’utilisation de MIQN3 n´ecessite le calcul du gradient deJ par rapport `aδxqui est :
∇J =−MTHTR−1(yo−HMδx) +P−1δx
Dans cette expression,Mrepr´esente une int´egration du mod`ele lin´eaire tangent etMT une int´egration du mod`ele adjoint sur la dur´ee du cycle d’assimilation. Comme nous avons choisi d’int´egrer les positions des flotteurs assimil´es dans le vecteur d’´etat, l’op´erateur Mcontient la forme lin´earis´ee des routines d’advection des flotteurs lagrangiens, et l’op´erateur d’observation s’´ecrit tr`es simplement :
y=Hδx= 0 0 0 I 0 0 0 0 0 I ! ha ua va xf la yf la
4.3.4 Validation du lin´eaire tangent et de l’adjoint
Le mod`ele lin´eaire tangent de MICOM, version adiabatique,et son adjoint, ´ecrits par Nico-las Filatoff et R´emy Baraille (Baraille et Filatoff, 1998), ont ´et´e d´ecrits dans la section 2.3.5. Des d´eveloppements suppl´ementaires ont ´et´e entrepris dans le cadre de cette th`ese, avec l’aide de Nicolas Filatoff, pour ´ecrire le lin´eaire tangent et l’adjoint de la proc´edure d’advection des flotteurs lagrangiens. Ces d´eveloppements n’ont pas pos´e de difficult´e particuli`ere, mis `a part le fait de s´electionner quelles variables doivent ˆetre d´eriv´ees, et lesquelles doivent ˆetre consid´er´ees comme constantes. Contrairement `a la pratique utilis´ee dans tout le reste du code consistant `a ne jamais consid´erer des incr´ements de position, il est n´ecessaire pour les flotteurs d’introduire ces incr´ements. En revanche, les indices de grille sont fixes, c’est-`a-dire qu’on consid`ere qu’on peut faire l’approximation que le flotteur ne change pas de maille du mod`ele (pour un mˆeme pas de temps) entre la pr´evision et l’analyse. Les tests suivants, de mˆeme type que ceux pr´esent´es dans la section 2.3.5 ont ´et´e effectu´es pour valider les d´eveloppements sur l’advection ainsi que l’utilisation du code adjoint dans une nouvelle configuration.
Lin´earit´e
La premi`ere condition pour utiliser une m´ethode adjointe est que l’hypoth`ese de lin´earit´e soit valide, c’est-`a-dire que quel que soit le petit incr´ementδxdu vecteur d’´etat, on puisse approcher le vecteurM(x0 +δx)par l’expressionMx0+Mδxo`uMest appel´e lin´eaire tangent deM.
Cette condition n’est pas syst´ematiquement remplie pas les flotteurs lagrangiens, dont les trajectoires peuvent pr´esenter des bifurcations et de fortes non-lin´earit´es lorsqu’on se place `a des ´echelles temporelles de l’ordre du temps int´egral lagrangien. On peut n´eanmoins la v´erifier pour des ´echelles de temps courtes, mais aussi statistiquement pour des dur´ees un peu plus longues, ce qui justifie l’utilisation d’une m´ethode de lin´earisation pour l’assimilation des flotteurs.
Dans la pratique, il n’est pas n´ecessaire que l’incr´ement δx soit r´eellement quelconque, ce qui est d´eterminant, c’est que pour des incr´ements r´ealistes, tels qu’ils apparaissent au cours du processus de minimisation de la fonction coˆut, l’hypoth`ese de lin´earit´e soit v´erifi´ee.
Validation du lin´eaire tangent
Si on ´ecrit le d´eveloppement limit´e de l’expressionM(x+α δx)autour de l’´etatx, on obtient la formule de Taylor :
M(x+α δx) =M(x) +α∂M
∂x δx+O(α2) (4.12) Par d´efinition, le mod`ele lin´eaire tangent estM= ∂M
∂x et l’´equation 4.12 peut s’´ecrire :
M(x+α δx) =M(x) +αMδx+O(α2) (4.13) Pour s’assurer de la validit´e du mod`ele lin´eaire tangent, on peut donc v´erifier que M satis-fait bien l’´equation 4.13. Dans la pratique, on choisit une forme lin´eaireS de Rn dansR; par exempleS peut associer au vecteur d’´etat sa i`eme composante, ou bien une somme de ses com-posantes sur un sous-domaine. Baraille et Filatoff (1998) proposent de v´erifier que la fonction
F (α) =Log S(M(x+α δx)− M(x)−αMδx)
α2
!
est constante dans le domaine de validit´e du mod`ele tangent lin´eaire. Pour ce faire, les valeurs deF(α)sont calcul´ees (avec un incr´ement initialδxfix´e) pour les valeurs deα:1, 10−1,10−2,
10−3, ...10−14, et on traceF(α)en fonction deα (Figure 4.13). Ce test est tr`es s´ev`ere : il peut effectivement ˆetre v´erifi´e dans des cas favorables, mais il arrive qu’il donne des r´esultats n´egatifs (c’est-`a-direF(α) non constante) alors que le lin´eaire tangent se comporte bien, en particulier dans le cas o`u le mod`ele est tr`es proche de la lin´earit´e, et ou le r´esidu cens´e ˆetre proportion-nel `aα2est plutˆot domin´e par l’erreur machine. Nicolas Filatoff (communication personnelle) a cependant pu v´erifier ce test sur des incr´ements du vecteur d’´etat particuliers, dans une configu-ration id´ealis´ee `a quatre couches, et pour des dur´ees allant jusqu’`a une semaine et sur huit ordres de grandeur de l’incr´ement.
FIG. 4.13 –MICOM : validation du lin´eaire tangent. Filatoff et Baraille, 1998
Avec notre configuration, pour des incr´ements r´ealistes, il a ´et´e difficile d’obtenir F(α)
constante sur plus de trois ou quatre ordres de grandeur, mais nous avons adopt´e un crit`ere de validation plus pragmatique : finalement, pour l’utilisation du lin´eaire tangent dans le 4d-Var incr´emental, la question d´eterminante est de savoir siM(x) +αMδxest une bonne approxi-mation deM(x+α δx)et il suffit pour cela que :
F2(α) = S(M(x+α δx)− M(x)−αMδx)
S(αMδx)
v´erifieF2(α)≪1.
Pour des perturbations baroclines en ´equilibre g´eostrophique avec des ordres de grandeur r´ealistes (par exemple des incr´ements de hauteur de surface de 10cm `a 1mm compens´es en pro-fondeur, et les vitesses g´eostrophiques correspondantes),F2(α)est de l’ordre de10−4 ou moins.
Validation du mod`ele adjoint
Pour v´erifier si le mod`ele adjoint est effectivement l’adjoint du mod`ele lin´eaire tangent, on peut s’appuyer sur l’´egalit´e suivante, d´ecoulant de la d´efinition du produit scalaire :
(Mδx,Mδx) =MTMδx, δx
(4.14) Cette ´egalit´e doit ˆetre v´erifi´ee `a la pr´ecision machine pr`es, ce qui a ´et´e r´ealis´e sur toutes les parties du mod`ele MICOM adiabatique dans une configuration id´ealis´ee (Nicolas Filatoff, com-munication personnelle). Avec le codage des r´eels sur 64 bits utilis´e, ce produit est g´en´eralement inf´erieur `a10−14. On peut v´erifier cette ´equation sur les ´equations compl`etes du mod`ele ou sur une partie, ce qui permet de traquer les erreurs dans le codage de l’adjoint. Un usage intensif de ce test a ´et´e fait lors de la mise au point du syst`eme et nous somme parvenus `a obtenir un test du produit scalaire concluant sur toutes les routines utilis´ees.
Gradient de la fonction co ˆut
Il s’agit de v´erifier la formule de Taylor pour le gradient de la fonction de coˆut. Si on ´ecrit le d´eveloppement limit´e deJ pour les conditions initialesx0 =x+α∇J autour de l’´etatx, on obtient :
J(x+α∇J) =J(x) +α∇J∇J+O(α2) (4.15) avecJ d´efinie par :
J(x0) = 1
2[d−HMδx]T R−1[d−HMδx]
De fac¸on analogue au test du lin´eaire tangent, on d´efinit une fonctionnelle F(α) qui doit v´erifier : F(α) = J(X+α∇J)−J(X) (α∇J,∇J) = 1 +O(α) −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 2 2.5 3 3.5