Prise en compte du caract`ere int´egral de l’innovation

Lorsque la p´eriode du positionnement des flotteurs n’est pas n´egligeable devant le temps int´egral lagrangien de l’´ecoulement, on ne peut plus faire l’hypoth`ese que cet ´ecoulement est stationnaire : il faut donc prendre en compte deux aspects suppl´ementaires :

1. le fait que la vitesse qui d´etermine la trajectoire de l’´ecoulement varie au cours du temps, et

2. le fait que l’innovation calcul´e `a partir des d´eplacements de flotteurs repr´esente maintenant une int´egrale spatio-temporelle (et non plus seulement spatiale) de l’erreur de vitesse. Avec les m´ethodes lagrangiennes, le premier point peut ˆetre pris en compte naturellement en faisant d´eriver les flotteurs simul´es (´equivalent mod`ele) dans le champ du mod`ele pendant l’int´egration du mod`ele sur la p´eriode s´eparant deux observations de position successives.

Avec les m´ethodes euleriennes, le probl`eme qui se pose est analogue `a celui du point d’ap-plication de la correction et doit ˆetre trait´e de fac¸on coh´erente.

Le second point pose la question de l’instant auquel on doit appliquer la correction calcul´ee pour un intervalle de temps correspondant `a un cycle du flotteur. Dans les m´ethodes d’OI clas-siques, on applique en g´en´eral la correction `a la fin du cycle d’assimilation, mais dans le cas d’observations int´egrales, cela revient `a d´ecentrer la correction par rapport `a l’observation, et risque donc d’induire un biais temporel (vers le pass´e) d’une demi-p´eriode d’assimilation. La

section suivante pr´esente et illustre sur un exemple analytique tr`es simple une m´ethode permet-tant d’appliquer la correction au milieu du cycle au prix d’un surcoˆut de calcul.

Correction centr´ee et tests pr´eliminaires

Cette partie est plutˆot une illustration d’int´erˆet qualitatif de l’application de la correction en milieu de cycle d’assimilation. Son int´erˆet est de montrer clairement la perte d’information que repr´esente la prise en compte de la correction en fin de cycle.

Assimilation en fin de cycle

Assimilation centree en milieu de cycle

1 2 3

Cycles des flotteurs et cycles d’assimilation

FIG. 4.5 –Diagrammes des runs avec assimilation pour l’assimilation en fin de cycle (en haut) et pour l’assimilation en milieu de cycle (en bas).

Le diagramme 4.5 explicite la fac¸on dont les corrections sont prises en compte, et comment le mod`ele est pilot´e. La trajectoire de flotteurs dans le mod`ele sur un cycle (en bleu) est toujours compar´ee `a la r´ealit´e correspondante. Dans le cas de l’assimilation en fin de cycle (en haut), les anomalies mod`eles-observations obtenues sont analys´ees en fin de cycle, et le mod`ele est red´emarr´e pour un nouveau cycle. Dans le cas de l’assimilation en milieu de cycle, on a sauve-gard´e l’´etat du mod`ele en milieu de cycle. On lui ajoute l’analyse et on le red´emarre, d’abord pour une simulation d’un demi cycle pour atteindre `a nouveau la fin du cycle, puis on continue sur un nouveau cycle.

Nous avons test´e cette m´ethode sur un exemple analytique tr`es simple : le mod`ele `a 2 va-riables(x1, x2)solution des ´equations :

∂x₁

∂t ^=kx2,

∂x₂

dont une solution analytique ´evidente est (x1, x2) = a(sin(kt +φ), cos(kt +φ)) o`u a et φ

sont d´etermin´es par la condition initiale. Le mod`ele est impl´ement´e avec un sch´ema d’Euler (non centr´e) et un pas de temps de 1.10−2, et des observations sont g´en´er´ees tous les 200 pas de temps. Pour simuler un mod`ele imparfait, on prendk = 1pour la v´erit´e et k = 0.8pour le mod`ele avec assimilation.

La figure 4.6 pr´esente les r´esultats en termes de distance `a la v´erit´e pour l’AO en milieu et en fin de cycle. L’AO en milieu de cycle apporte une am´elioration substancielle des performances : l’´etat du mod`ele reste syst´ematiquement plus proche de la v´erit´e, et le maximum de distance `a la v´erit´e est r´eduit d’un facteur 4 ( !).

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 0.5 1 1.5

distance quadratique a la verite

pas de temps

FIG. 4.6 –Performances en termes de distance `a la v´erit´e des me´thodes d’AO sur un petit mod`ele analy-tique. R´esultats pour la simulation libre (trait tiret´e bleu), la simulation avec assimilation en fin de cycle (en rouge) et la simulation avec assimilation en milieu de cycle (en vert).

On ne peut ´evidemment pas attendre de telles performances avec un mod`ele d’oc´ean, mais ces tests sont tr`es encourageants pour impl´ementer une m´ethode d’AO avec application de l’incr´ement en milieu de cycle. On remarquera cependant que le surcoˆut li´e `a cette m´ethode est loin d’ˆetre n´egligeable : il repr´esente la moiti´e du coˆut de l’int´egration directe.

Cette m´ethode a ´et´e test´ee avec MICOM avec un cycle d’assimilation de 10 jours, mais les r´esultats obtenus avaient des erreurs sup´erieures `a ceux de l’analyse en fin de cycle. Ceci est apparemment dˆu au fait que la croissance des erreurs du mod`ele pendant les cinq jours de pr´evision suppl´ementaires est sup´erieure `a l’erreur faite en applicant les corrections en fin de cycle. Cette piste m´erite peut-ˆetre tout de mˆeme d’ˆetre suivie, car en principe d’une correction centr´ee au milieu de la fenˆetre d’assimilation est ´evidemment pr´ef´erable, et devrait contribuer, comme dans le petit mod`ele analytique, `a diminuer les erreurs de pr´evision. Une ´etude th´eorique ou une tentative de validation sur un mod`ele au comportement chaotique serait certainement le pr´ealable `a d’autres essais.