Cette section explique la manière dont le fluide et les solides interagissent. Pour permettre une interaction, la surface des solides doit-être discrétisée avec des particules. Il existe différentes manières de calculer la pression sur les particules qui représentent la surface du solide. Ces différentes méthodes sont expliquées ici, puis comparées dans la section 3.5.
En plus des solveurs fluides, un solveur de la dynamique des solides est utilisé pour simuler la dynamique des corps rigides. Le principe du solveur rigide est de calculer et de prendre en compte toutes les forces externes appliquées sur les corps rigides. Le solveur dynamique utilisé ici calcule à chaque pas de temps une nouvelle vitesse et une nouvelle position en utilisant le schéma d’intégration de Verlet, détaillé dans l’annexe C, avec un pas de temps ∆tRigid
constant.
3.4.1 Force s’appliquant sur les particules frontières
Pour chaque particule fictive solide, la force totale−→Fs peut être calculée ainsi : −
→
Fs =−→FPs +−→FVs (3.66) Avec −→FV
s la force visqueuse locale qui doit être appliquée sur les parois des solides pour respecter la troisième loi de Newton et compenser l’accélération appliquée sur les particules de fluides (Équation 3.37 et Équation 3.44) :
− → FVs = 10m2µ ρs X b∈Fs (−→vb− −→vs) · (−→rb− −→rs) ρb|−→rb− −→rs|2 − → ∇Wsb (3.67) Et −→FP
s la force locale calculée à partir de la pression selon la méthode de calcul de la frontière solide utilisée (réflexion ou extrapolation). Deux méthodes différentes sont utilisées pour calculer la densité et la pression des particules de la surface du solide : une méthode d’extrapolation et une méthode de réflexion de la pression. Une condition de non-glissement du fluide à la surface du solide est appliquée pour les calculs de frottement.
3.4.2 Méthode d’extrapolation de la pression
La méthode d’extrapolation de Shepard14 a été appliquée par Adami [AHA12] à la technique WCSPH. Cette section explique comment on peut l’appliquer à ISPH également. Les équations 3.68 et 3.69 montrent comment la densité et la pression des particules de la frontière sont calculées.
ρs= P b∈Fs ρbWsb P b∈Fs Wsb (3.68) ps= P b∈Fs [pb + ρb( ˙−→v6Pb − ˙−→v s).(−→rs− −→rb)]Wsb P b∈Fs Wsb (3.69)
112 Simulation hydrodynamique basée SPH Chaque particule de la surface du solide possède donc sa propre pression et densité. La densité calculée est constante pendant un pas de temps. La pression l’est également dans le cas de WCSPH, pour ISPH elle est constante pendant une itération du solveur de pression (voir Annexe E).
Dans le cas de l’extrapolation,−→FP
s La force locale calculée à partir de la pression ( Équa-tion 3.69) : − → FPs = −m2X s∈S X b∈Fs (Θs+ Θb)−→∇Wsb (3.70) Ensuite, la force résultante au centre de gravité du solide (CG) est calculée comme suit :
− → FF luid→Solid =X−→ Fs et le moment résultant : −→ MF luid→SolidCM =X (−→rs− −→rCM) ∧−→Fs
3.4.3 Méthode de réflexion de la pression
Dans la méthode de réflexion de la pression, qui est introduite par Akinci [Aki14], la contribution des particules à la surface du solide est directement prise en compte dans l’accélération des particules fluides et le calcul de la force appliquée aux corps rigides. Pour appliquer cette méthode, les changements suivants sont nécessaires : Le précalcul −→Γa de l’équation 3.41 est maintenant −→ΓM ir
a : − → ΓM ir a = m X b∈Fa Θb − → ∇Wab+ 1 ρa X b∈Sa ( ˙−→v 6Pb − ˙−→vs).(−→rs− −→rb)−→∇Was (3.71)
La force de pression locale appliquée sur les corps rigides (De manière similaire à l’équation
3.70) pour cette méthode d’interfaçage est calculée avec : − → FPs = −m2X s∈S X b∈Fs Θb + ˙− →v 6P b − ˙−→vs .(−→r s− −→rb) ρb − → ∇Wsb (3.72) L’accélération totale du solveur WCSPH donnée par l’équation 3.42 devient :
˙− →vM ir a = ˙−→v 6Pa −Θa − → Σa+−→ΓM ir a (3.73) et la Matrice M (Équation 3.55& Équation 3.56) de ISPH devient les équations 3.74et 3.75:
Da= − −→ Σa 2 + ΣF,2 a +−→Σa·−→ΣS a ρ2 a (3.74) −→ Ra· −→p = ΘaΣF,2 a +−→Σa·−→ΓM ir a + m X b∈Fa Θb −→ Σb +−→ΣS b +−→ΓM ir b ·−→∇Wab (3.75)
Validation de la méthode d’interaction fluide-solide 113
3.4.4 Condition de non-glissement et de glissement libre
La manière dont la condition de non-glissement est appliquée dépend de la méthode de calcul de pression à la frontière du fluide. Dans le cas de la méthode d’extrapolation de la pression, la condition de non-glissement détermine la vitesse des particules solides à utiliser dans les calculs de forces de frottement visqueux. D’après Bouscasse [BCMA13] et Sun [SMZ15], cette vitesse de glissement est :
− →v s= 2−→v f rs − P b∈Fs − →v bWsb P b∈Fs Wsb (3.76)
Dans ce cas, chaque particule possède sa propre vitesse de glissement et cette vitesse est constante pendant un pas de temps.
Dans le cas de la méthode de réflexion de la pression, aucune vitesse n’est calculée pour la particule de fluide considérée. La seule vitesse prise en compte lors des calculs est la vitesse de la frontière solide −→vf r
s , ce qui est un autre façon, bien que non équivalente, d’imposer une condition de non-glissement.
La condition de glissement libre, tel que décrit dans Adami [AHA12] et Sun [SMZ15], consiste à omettre l’interaction visqueuse des particule fluide avec les particules fictives adjacentes. Cette condition est utilisée dans cette thèse pour limiter les effets de bords des parois des bassins de simulation. Autrement dit, dans ce cas, −→FV
s =−→0 .
3.4.5 Comparaison des méthodes de calculs de la pression
Afin de comparer la précision de l’estimation de la pression résultant des méthodes de modélisation de la frontière fluide-solide, la première série d’expériences de ce chapitre consiste à vérifier la pression hydrostatique de l’eau dans un réservoir.
3.4.5.1 Configuration expérimentale
Pour tous les tests de ce chapitre, la même scène est utilisée. La figure3.8 est une vue de la scène d’essai, qui consiste en un réservoir rectangulaire contenant des particules de fluide générées, et dans lequel une sphère de diamètre 0.4 m coulera. Cette figure montre également les particules frontières générées à la surface du corps rigide.
Le fluide est de l’eau avec les propriétés physiques standard de l’eau à 293 K : la densité au repos est ρ0 = 998 kg.m−3 et la viscosité dynamique est µ = 0.000998 kg.m−1.s−1 Le temps de calcul des essais est sauvegardé, puisque un algorithme rapide est recherché, et les résultats seront présentés dans la section 3.5.3. Le kernel SPH utilisé pour tous les tests présentés dans ce chapitre est le B-spline cubique (§ 3.2.2.1), ce qui permet notamment d’obtenir des résultats plus rapidement qu’avec le B-spline quintique.
3.4.5.2 Description de l’essai
Les particules d’eau se stabilisent pendant 3 secondes de temps simulé. Ainsi, elles s’auto-arrangent et on obtient un état statique ou quasi-statique du fluide. Une colonne de 1,62 m d’eau est formée avec environ 13 000 particules. Le paramètre utilisé pour le solveur WCSPH est donné dans le Tableau 3.1. Le choix de la vitesse du son numérique cs,num correspond
114 Simulation hydrodynamique basée SPH
Figure 3.8 – Gauche : La scène à simuler avec les différents solides Droite : La scène à simuler avec les différentes particules frontières.
Le bassin est en jaune, les particules sont en bleus et la sphère est en rouge.
cs,num (Équation 3.36) 80 δr (Équation 3.27) 0.05 m
λCF L (Équation 3.63) 0.4 αh (Équation 3.27) 2
λdif f = (Équation 3.65) 0.125 µnum (Équation 3.37) 0.01 kg.m−1.s−1
Tableau 3.1 – Paramètres de l’algorithme WCSPH
environ au double du critère de hauteur et largement au-dessus des critères de vitesse qui se produiront dans cette scène (Équation 3.36). Cette valeur relativement faible permet d’avoir des pas de temps beaucoup plus importants que si l’on utilisait la vitesse physique du son, le critère correspondant dans l’équation 3.63 étant le plus restrictif, tout en maintenant la compressibilité à un niveau modéré. La valeur de δr correspond, par rapport aux dimensions du réservoir, à une résolution spatiale très grossière, pour minimiser le temps de calcul.
3.4.5.3 Résultats
La figure3.9 montre l’ensemble du champ de pression obtenu en utilisant la technique de réflexion de la pression en comparaison avec celui obtenu par la technique d’extrapolation. La courbe noire représente la solution analytique de l’évolution de la pression statique en fonction de la profondeur.
Cette figure montre que l’erreur faite avec la technique de réflexion de pression est excessive. Elle est par endroit supérieure à 100%. Pour rappel, l’enjeu est de calculer une force de poussée d’Archimède à partir de ce champ de pression qui sera intégré sur la surface. Pour voir où se situent ces erreurs, deux couches de champ de pression à deux profondeurs différentes sont montrées sur les figures 3.10et3.11. Les variations de pression sont illustrées par des couleurs. Comme l’eau aurait dû se stabiliser, la valeur théorique est la pression hydrostatique :
Validation de la méthode d’interaction fluide-solide 115
Figure 3.9 – Evolution de la pression en fonction de la profondeur en utilisant les techniques d’extrapolation et de réflexion de la pression. (WCSPH)
Pour la technique de réflexion, la pression au niveau de la frontière solide est trop élevée, en particulier dans les coins, et elle l’est encore plus au fond du bassin en raison de l’influence fictive des particules de la frontière du fond du réservoir. Cela se produit également à la surface des corps dynamiques et/ou immergés et a un effet néfaste sur l’interaction fluide-solide de la force de pression. Des résultats similaires seraient observés avec le solveur ISPH, puisque ceux-ci sont obtenus à l’état statique, où seule joue la modélisation de la frontière, qui est indépendante de la méthode de résolution de l’écoulement.
116 Simulation hydrodynamique basée SPH
Figure 3.10 – Vue du champ de pression à la profondeur médiane du bassin avec les techniques d’extrapolation et de réflexion de pression. z = 0.81 m and pth = 7931 P a. (WCSPH)
Figure 3.11 – Vue du champ de pression au fond du bassin avec les techniques d’extra-polation et de réflexion de pression. z = 1.62 m and pth= 15862 P a. (WCSPH)
Validation de la méthode d’interaction fluide-solide 117
3.4.6 Conclusion
La précision de la méthode d’extrapolation est bien meilleure que la précision de la méthode de réflexion. De plus, si l’on regarde les temps de calcul à la section 3.5.3, la technique d’extrapolation requiert certes 10 à 15 % de temps supplémentaire mais ceci n’est pas significatif comparée au gain en précision. Dans la suite de cette thèse, seule la méthode d’extrapolation est utilisée pour la modélisation de l’interaction fluide-solide.
118 Simulation hydrodynamique basée SPH