Cette section présente le dispositif expérimental utilisé dans la suite de ce chapitre ainsi que la méthode d’estimation des paramètres hydrodynamiques utilisée. Elle propose également une analyse du conditionnement du problème d’estimation afin de vérifier la pertinence de nos résultats.
4.2.1 Dispositif expérimental de simulation
4.2.1.1 Description de la scène simulée
Pour déterminer les paramètres hydrodynamiques, puisque cela est possible en simulation, un essai de translation horizontale est effectué, où les mouvements dans les autres directions sont contraints. Les paramètres hydrodynamiques de l’objet sont donc obtenus pour un mouvement de cavalement (§2.1.1). Ainsi, l’accélération de l’objet ne dépend pas de la gravité mais est définie par une force constante qui s’applique au solide. Ceci permet d’utiliser une force plus faible que le poids et qui correspond aux forces appliqués aux véhicules marins dans des conditions réelles. L’objet choisi pour ces essais est, comme dans le chapitre 3, la sphère, qui est la forme étudiée jusqu’à présent et dont, pour rappel, on a une bonne connaissance des caractéristiques hydrodynamiques. La masse volumique de cette sphère est choisie constante et égale à 2000 kg.m−3. La sphère est immergée dans un bassin et est poussée par une force constante selon un axe fixe, comme illustré sur la figure 4.2. La taille du bassin est variable selon l’essai. L’algorithme utilisé pour cette simulation est ISPH (§ 3.3.3). La technique de calcul de pression à la frontière fluide-solide est celle de l’extrapolation (§ 3.4). La vitesse de la sphère est mesurée au cours du temps. Une condition de glissement libre est appliquée
Figure 4.2 – Expérience numérique d’accélération d’une sphère dans un bassin.
sur la surface du bassin, interdisant toute force de frottement visqueux sur cette dernière. Dans l’équation 3.67, −→FV
s est tout simplement égale à 0. Il en va de même pour le calcul de l’accélération (Équation 3.44) due aux effets visqueux, par principe de réciprocité. Ainsi, aucune accélération n’est calculée à partir des valeurs de vitesse des particules solides hormis
130 Résultats sur la dynamique des solides immergés avec ISPH la gravité. On a tout simplement (les changements apportés sont marqués en rouge) :
˙− →v6P a = 10mµ ρa X b∈Fa (−→v a− −→v b).(−→ra− −→rb) ρb|−→ra− −→rb|2 − → ∇Wab + −→g
Différentes tailles de sphères sont utilisées pour ces expérimentations. La conservation du caractère homothétique des simulations est étudiée avec trois tailles de sphère : une sphère de diamètre 0.3, une autre de diamètre 0.4 et une dernière de diamètre 0.5. Ainsi, les masses de ces sphères sont respectivement, 28.3 kg, 67.0 kg et 130.9 kg. La valeur des paramètres hydrodynamiques est estimée avec ces sphères et plusieurs niveaux de discrétisation pour la simulation, tel que représenté sur la figure 4.3.
Figure 4.3 – Différentes tailles de sphères et de particules utilisées pour l’identification de paramètres hydrodynamiques.
Le kernel utilisé pour cette expérience est le B-Spline quintique (§ 3.2.2.2) qui est plus précis et permet d’approcher plus finement les champs physiques, ce qui améliore la stabilité de l’algorithme ISPH et probablement la précision des forces hydrostatiques et hydrodynamiques. En passant au B-Spline quintique, αh, le rapport entre le rayon d’interaction et la taille des particules, peut être augmenté de 2 jusqu’à au moins 2.5, qui est la valeur retenue. Ainsi, le nombre moyen de particules se trouvant à l’intérieur de la portée de la fonction kernel passe de 32.5 à 64.4. Les paramètres de l’algorithme ISPH utilisés sont décrits dans le tableau 4.2.
Si on compare les tableaux4.2 et3.2, on constate qu’en dehors des paramètres dont les changements ont été expliqués plus haut (δr et αh), seul le paramètre a changé. a été divisé par 2 pour aboutir à une meilleure convergence de l’algorithme ISPH et ainsi limiter les oscillations du champ de pression observées sur la figure 3.14.
Présentation du principe expérimental 131
λCF L 0.4 0.00025
λdif f 0.125 ω 0.5
δr 0.05, 0.025 et 0.0125 m Ω 0.6
αh 2.5 itmin 5
Tableau 4.2 – Paramètres de l’algorithme ISPH
4.2.1.2 Modèle dynamique de la sphère
La somme des forces projetée sur l’axe −→x de translation de la sphère est :
FInput− Klvx− Kqvx|vx|= (m + ma)ax (4.4) Avec vx = −→vSphere · −→x la vitesse de la sphère projetée sur l’axe −→x, ax = −→aSphere· −→x son accélération. Kl, Kq et ma les paramètres hydrodynamiques de la sphère et m sa masse, FInput
la force appliquée à la sphère pour sa mise en mouvement. Les termes de Coriolis sont absents car les vitesses de rotation sont nulles (§ 2.1.2).
Cette équation est utilisée pour calibrer les scènes à simuler d’une part, et pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques d’autre part. Pour rappel, pour la sphère, le coefficient quadratique adimensionnel Cd et Kq sont liés par l’équation (§ 2.2.2.5) :
Kq = 12CdρA (4.5)
Dans la suite de ce chapitre, le coefficient Cd sera employé, car c’est le coefficient que l’on retrouve dans la plupart des ouvrages de référence traitant des forces de frottement s’appliquant sur une sphère.
4.2.1.3 Description du calculateur utilisé dans ce chapitre
Le calculateur utilisé est un ordinateur muni de deux processeurs Intel Xeon E5 2680 v2, cadencé à 2,80 GHz et pouvant aller jusqu’à 3.60 GHz et possédant chacun 10 coeurs, 20 Threads et 25 Mo de mémoire cache, soit au total 40 coeurs et 50 Mo de mémoire cache. Le calcul est fait en parallèle sur 25 Threads. Le calculateur possède 64 Go de mémoire RAM. Le disque dur est un disque SSD. L’affichage est assuré au moyen d’une carte Nvidia Quadro K2000. Les temps de calculs résultant des expériences menées dans ce chapitre seront analysés dans la section 4.5.4.
4.2.2 Numerical Integration Fitting
Pour déterminer les paramètres hydrodynamiques de la sphère, une catégorie de méthodes similaires à la méthode NIPF, développée dans la section 2.4.3, est introduite ici. Cette méthode, pour rappel, consiste à intégrer numériquement l’équation de la dynamique du véhicule pour obtenir une trajectoire, puis à utiliser un algorithme d’optimisation point-intérieur pour minimiser l’écart entre la vitesse obtenue analytiquement par intégration et l’évolution temporelle de la vitesse mesurée de l’objet dont on veut connaitre les paramètres hydrodynamiques. L’algorithme point intérieur utilisé est basé sur une fonction de coût qui a
132 Résultats sur la dynamique des solides immergés avec ISPH été définie dans le chapitre 2comme étant (équation 2.59) :
J = fP s − fP m 2 (fP m)2 Gf + ϕP s − ϕP m 2 4π2 Gϕ+ −→ ∆θ−∆θ→T −→ θm−→ θmT G∆
Ici, il est cependant impossible d’utiliser les informations de fréquence et de phase, puisque nous ne sommes pas dans le cas d’un mouvement de balancier. La position angulaire est remplacée par la position cartésienne suivant x. La fonction de coût de l’algorithme NIPF devient alors : J = −→ δrx·−→δrxT −→ rm x ·−r→m x T G∆, −→ δrx =−→rxA−−r→mx (4.6) Les paramètres de l’équation 4.6 sont :
• −r→m
x le vecteur contenant toutes les positions mesurées sur une plage temporelle donnée, • −r→A
x le vecteur contenant toutes les positions obtenues analytiquement à l’aide de paramètres hydrodynamiques sur la même plage temporelle,
• G∆= 100 le même gain permettant d’ajuster la vitesse de convergence de l’algorithme. On notera que l’utilisation du dénominateur dans cette fonction ne sert pas à la convergence de l’algorithme, puisque ce terme est constant lors de l’optimisation. Il sert néanmoins a posteriori dans l’analyse du résultat de l’optimisation, puisqu’il permet de s’assurer de l’écart maximal obtenu entre la courbe mesurée et la courbe analytique optimisée.
Lors de la simulation, il est possible d’enregistrer la vitesse du solide en parallèle de la position. Ainsi, deux autres méthodes peuvent être imaginées. La première est une méthode qui se base uniquement sur l’écart de vitesse et qui ne nécessite donc qu’une intégration simple. La seconde est une méthode qui compare les écarts de position et de vitesse simulta-nément. Ces méthodes pourraient alors devenir une classe de méthodes nommée Numerical Integration Fitting (NIF). Elles se retrouvent dans d’autres articles traitant de l’identification de paramètres hydrodynamiques, comme par exemple Chen [CCCT07].
Le set initial de paramètres utilisé pour tous les algorithmes de cette section est le même que dans le chapitre 2, c’est à dire (voir Équation 2.60) :
−−→
ξinit= [mth a ,0, C∗
d]
4.2.2.1 Numerical Integration Velocity Fitting (NIVF)
Dans le cas de la simulation SPH, il est possible d’utiliser directement la vitesse mesurée au cours de l’essai, ce qui évite d’utiliser la double intégration numérique lors de l’intégration du modèle dynamique de la sphère. Cette intégration est alors réalisée avec Runge Kutta 4 (Voir annexe C). Pour la méthode NIVF, la fonction de coût devient simplement :
J = −−→ ∆vx·−−→∆vxT −→ vm x ·−v→m x T G∆ (4.7)
Avec −v→xm le vecteur contenant toutes les vitesses mesurées sur une plage temporelle donnée, −→
vA
x le vecteur contenant toutes les vitesses obtenues analytiquement à l’aide de paramètres hydrodynamiques sur la même plage temporelle, −−→∆vx =−v→A
x −−v→m
x la différence entre ces deux vecteurs et G∆= 100 le même gain que NIPF permettant d’ajuster la vitesse de convergence de l’algorithme.
Présentation du principe expérimental 133
4.2.2.2 Numerical Integration Velocity and Position Fitting (NIVPF)
Pour conclure sur l’utilité d’utiliser la position combinée à la vitesse, vérifions s’il existe une évolution entre les paramètres obtenus avec une combinaison des deux algorithmes, en définissant une méthode que l’on nomme Numerical Integration Velocity and Position Fitting (NIVPF) qui nécessite une double intégration pour que l’on puisse se baser sur la position et
dont la fonction de coût est la suivante :
J = −→ δrx·−→δrxT −→ rxm·−r→mxT G∆+ −−→ ∆vx·−−→∆vxT −→ vmx ·−v→mxT G∆ (4.8)
4.2.3 Conditionnement du problème d’estimation de paramètres
hydrodynamiques
Cette partie présente une analyse de conditionnement du problème de l’estimation de paramètres hydrodynamiques selon le modèle de frottement utilisé. Le conditionnement mesure la dépendance de la solution d’un problème numérique par rapport aux données du problème. Ici, il exprime la difficulté d’estimation des paramètres ma, Cd et Kl et permet de contrôler la validité des résultats de l’estimation. Si le conditionnement est élevé, le problème est dit mal conditionné et la confiance dans les résultats de l’estimation des paramètres hydrodynamiques est faible. Dans le cas d’un problème mal conditionné, un faible changement dans les paramètres d’entrées a un fort effet sur le résultat de l’estimation. Si le conditionnement est idéal alors le conditionnement vaut 1. Dans notre cas le problème d’estimation revient à un problème linéaire A −→x = −→b , avec A la matrice contenant les données mesurées, −→x le vecteur de paramètres à estimer et−→b le second membre de l’équation dynamique. Le conditionnement de la matrice A peut être calculé tel que décrit dans Gallouët [Gal19]. Soit IRn muni de la norme euclidienne et Mn(IR) muni de la norme induite. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice inversible. On note cond(A) le conditionnement associé à la norme induite par la norme euclidienne sur IRn et il vaut :
cond(A) = s
σn
σ1 (4.9)
Avec σ1 et σn respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs propres de ATA (qui est une matrice symétrique définie positive).
Il permet d’établir le rapport maximal entre les variations dans la matrice de condition-nement et toute variation des paramètres estimés. En effet, soit A ∈ Mn(IR) une matrice inversible, et −→b ∈IRn, b 6= 0. On munit IRn d’une norme |·|, et Mn(IR) de la norme induite. Soit δA ∈ IRn; on suppose que A + δA est une matrice inversible. Si −→x est solution de
A−→x =−→b et −→x + δ−→x est solution de :
(A + δA) (−→x + δ−→x) =−→b
Alors :
|δ−→x |
|−→x + δ−→x | ≤ cond(A)|δA|
|A| (4.10)
134 Résultats sur la dynamique des solides immergés avec ISPH Pour définir la matrice de conditionnement du problème, on se réfère au modèle dynamique de la sphère (Équation 4.4)
FInput− Klvx− Kqvx|vx|= (m + ma)ax
Les variables à déterminer sont ma, Cd et Kl dans le cas du modèle LQ. Les coefficients liés à l’estimation de ma sont les accélérations, ceux liés à l’estimation de Cd sont les vitesses au carré et ceux liés à l’estimation de Kl sont les vitesses. La matrice de conditionnement du problème avec les deux forces de frottement et la masse ajoutée est la matrice KLQ :
KLQ = v0 v2 0 a0 v1 v2 1 a1 ... ... ... vn v2 n an (4.11)
Avec v0. . . vn les vitesses à chaque pas de temps et a0. . . an les accélérations à chaque pas de temps et n le pas de temps final. Les valeurs utilisées pour le calcul du conditionnement sont les données recalculées analytiquement avec les paramètres estimés.
On peut également analyser le problème dans le cas où l’on utilise un seul coefficient de frottement. Dans le cas du modèle linéaire L (Cd = 0), la matrice de conditionnement KL
est : KL= v0 a0 v1 a1 ... ... vn an (4.12) Dans le cas du modèle quadratique Q (Kl = 0), la matrice de conditionnement KQ est :
KQ = v20 a0 v21 a1 ... ... v2 n an (4.13)
Estimation de la masse ajoutée d’une sphère 135