L
Eprincipe de la loi de consistance géométrique est le suivant [126] : tout champ uniforme et constant, solution des équations de Navier Stokes, doit le rester quel que soit le mouvement du maillage. Dans un premier temps, nous allons vérifier si ce principe est bien respecté par le code, d’abord par une translation simple du maillage, puis par une déformation de celui-ci.6.1.0.1 Translation du maillage
L’idée est d’opérer une translation du domaine de calcul pour les conditions initiales suivantes : le fl uide a une masse volumique constante, et la vitesse en chaque noeud fl uide est égale à la vitesse des parois, soit
Wp. La translation est effectuée selon l’axe
−→
Oz. Le pas de temps est fixé pour que le maillage tridimen-
sionnel régulier avance de l’équivalent de la moitié de la hauteur d’une maille à chaque itération (critère
CF L= 0.5). Le maillage contient 15 ∗ 15 ∗ 15 noeuds.
Suivant la loi de la consistance géométrique, la masse volumique en chaque maille et la vitesse en chaque noeud reste bien constante, validant ainsi les calculs des fl ux convectifs lors du mouvement et de la reconstruction du maillage à chaque pas de temps.
6.1.0.2 Déformation du maillage
La manière de procéder est la suivante : soit un écoulement uniforme (nul par exemple) dans un do- maine discrétisé par un maillage régulier de dimensions 10 × 10 × 2 noeuds, noté 0 dans la figure 6.1. On déforme ce maillage en opérant un mouvement des noeuds du maillage par rapport aux deux noeuds du centre désignés par les coordonnées xc= 5, yc= 5, zc= 1et z = 2. Les noeuds à la paroi restent, quant à
eux, fixes. On effectue un certain nombre de cycles de déformation linéaire (montrés dans la figure 6.2) du maillage entre les positions extrêmes du maillage notées −1 et 1 (montrées dans la figure 6.1), et on vérifie qu’aucune vitesse parasite n’est apparue du fait des mouvements des noeuds du maillage.
Le résultat obtenu à la suite de ce test montre que les vitesses parasites apparues sont de l’ordre de la précision machine, validant ainsi le principe de consistance géométrique.
6.1.0.3 Mouvement d’un piston uniformément accéléré
Ce test consiste à simuler le comportement d’un gaz lors d’une compression isentropique. Le gaz est au repos dans un volume dont la paroi supérieure en z = z0(t = 0)est un piston uniformément accéléré
dont la vitesse est Wp= at, a étant l’accélération. Si a est négatif, le piston pousse et comprime le fl uide.
Il se forme une onde de compression simple, dont le front se propage dans le domaine à la vitesse c (vitesse du son dans le gaz). Dans la zone où z < z0− ct, le gaz est immobile. Sur la paroi du piston, la vitesse
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
F
IG. 6.1: Déformation du maillage. À gauche : déformation extrême −1 ; au milieu :
position intermédiaire 0 ; à droite : déformation extrême 1.
comprise entre le piston et la position du front avant de l’onde a été donnée analytiquement par Landau et Lifchitz [84] pour z0− ct < z < z0+ 1 2at 2: −w = 1 γ c+γ+ 1 2 at − 1 γ " c+γ+ 1 2 at 2 − 2aγ (ct − z) #12 . (6.1)
Cette solution n’est valable que jusqu’au moment où se forme une onde de choc. Cet instant a pour valeur :
tchoc=
2c
|a| (γ + 1). (6.2)
De façon équivalente, si a est positif, le piston s’éloigne de la paroi fixe du domaine, provoquant l’apparition d’une onde de détente simple, dont le front avant se déplace dans le domaine à travers le gaz immobile à la vitesse c. L’équation 6.1 reste valable avant l’apparition d’une onde de choc dont l’instant est défini par le temps calculé dans l’équation 6.2.
La première validation consiste à modéliser la compression d’un domaine bidimensionnel de hauteur
z0 = 15.0cm. Le piston, situé en z0, se déplace à la vitesse Wp = at, avec a = 8.0 × 107, alors que le
bas du domaine est une paroi immobile. La configuration testée consiste en un maillage bidimensionnel de dimensions 6 ∗ 50 noeuds. Les résultats sont donnés dans la figure 6.3. Comme on peut le voir, les résultats numériques sont en accord avec la solution analytique pour les différents temps représentés. La vitesse du
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 0 1 temps (s) Etat du maillage
F
IG. 6.2: Mouvement de déformation du maillage : −1, 0 et 1 correspondent respective-
La vitesse de déplacement de l’onde est égale à la vitesse du son dans le gaz, et le profil de vitesse cor- respond bien à l’expression donnée par Landau et Lifchitz. La vitesse est dirigée partout dans le sens de
0e+00 2e−02 4e−02 6e−02 8e−02
z (m) −200 −150 −100 −50 0 w (m/s) Solution numerique Solution analytique
0e+00 2e−02 4e−02 6e−02 8e−02
z (m) 4.0e−04 6.0e−04 8.0e−04 1.0e−03 1.2e−03 ρ (kg/m 3)
F
IG. 6.3: Compression d’un gaz isentropique. A gauche : profils de vitesse aux temps t =
2 5 µs, 5 0µs, 7 5 µs, 100µs, 12 5 µs, 15 0µs, 17 5 µs, 2 00µs, 2 2 5 µs, 2 5 0µs. A droite : profils de
masse volumique aux mêmes temps
0e+00 2e−02 4e−02 6e−02 8e−02 1e−01
z (m) 0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 w (m/s) Solution numerique Solution analytique
0e+00 2e−02 4e−02 6e−02 8e−02 1e−01
z (m) 2.0e−04 3.0e−04 4.0e−04 5.0e−04 ρ (kg/m 3)
F
IG. 6.4: Détente d’un gaz isentropique. A gauche : profils de vitesse aux temps t =
2 5 µs, 5 0µs, 7 5 µs, 100µs, 12 5 µs, 15 0µs, 17 5 µs, 2 00µs, 2 2 5 µs, 2 5 0µs. A droite : profils de
masse volumique aux mêmes temps
déplacement du piston et décroît de façon monotone (en valeur absolue) entre la paroi du piston et le bas du domaine. Notons que la pression et la masse volumique décroissent de façon monotone également, et dans le même sens. La compression étant isentropique, nous avons vérifié la constance du terme P Vγ, avec
γ = 1.4tout au long de la compression. Nous avons arrêté le calcul avant l’apparition de l’onde de choc.
Un test de détente isentropique a également été effectué, en commençant le calcul avec les mêmes conditions initiales que celles du test précédent. Maintenant a = 8.0 × 107. En comparant les résultats
qualitativement que, de manière logique, quand t > tchoc, le gaz ne peut plus suivre le piston. De ce fait,
une zone de dépression se forme, au-delà de laquelle la vitesse du gaz continue à se conformer à l’équation 6.1.
6.2 Conditions aux limites
Nous avons vu dans le chapitre précédent que les conditions aux limites en sortie utilisées dans CavIF sont plus compliquées que celles utilisées habituellement dans les codes de mécanique des fl uides à écoule- ments non réactifs. Nous allons maintenant procéder à la validation de ces conditions, et nous en profiterons pour montrer leur intérêt et les possibilités qu’elles nous offrent dans le cadre de la modélisation d’écoule- ments cavitants.
La première phase consiste à pouvoir modéliser le début de l’injection : dans CavIF, on simule le début de l’injection (avant l’ouverture de l’aiguille de l’injecteur) en commençant le calcul à partir des conditions initiales suivantes : le domaine de calcul est rempli de liquide au repos (à vitesse nulle), à une pression égale à celle qui règne dans la chambre de combustion (50bar). La condition en pression en entrée est de la valeur de Pinj. Le début d’injection consiste en la propagation de l’onde de pression, et la détente dans l’orifice
dûe au fait que la pression dans la chambre de combustion reste constante. La difficulté numérique est de résoudre la propagation du front à l’intérieur du domaine, puis sa sortie vers la chambre de combustion (qui correspond aux premiers instants de la sortie du jet) sans réfl exion numérique, mais tout en conservant une condition de pression (la pression de sortie tend vers la pression régnant dans la chambre de combustion).
Le cas-test est effectué sur un maillage d’un injecteur type “ Chaves” (voir figure 3.5). La figure 6.5 montre la moyenne sur la section de sortie des valeurs de pression et de masse volumique en fonction du temps. La pression d’injection Pinj est de 1000bar, et la pression dans la chambre de combustion Pchest
de 50bar. On remarque que jusqu’à 0.8µ s de calcul, la pression et la masse volumique en sortie restent constantes : l’onde de pression n’est pas encore arrivée jusqu’à la sortie. À partir de 0.8µ s, on remarque alors des comportements différents en fonction de la valeur de κ (voir §5.4.2). Nous avons vu que si κ = 0, nous sommes en présence d’une condition parfaitement non réfl échissante. Ce cas est vérifié ici : la pression de sortie n’est pas ramenée vers la valeur de pression dans la chambre.
Dans les cas qui nous intéressent (avec des conditions de réfl exion qui permettent de ramener la pression de sortie vers Pch), on voit qu’avec l’augmentation de κ, on ramène de plus en plus vite la pression de sortie
vers Pch, et que l’on reste ensuite à cette valeur stable. Notons toutefois que dans ce cas de calcul la
cavitation n’a pas encore atteint la sortie de l’injecteur, et que l’on a donc encore un écoulement liquide jusqu’à la sortie de l’injecteur.
Dans la figure 6.6, on remarque l’évolution temporelle de la vitesse en sortie de la géométrie : on remarque que la vitesse lorsque la relaxation est nulle, reste bien constante dès la sortie de l’écoulement (à
Vch= −50m/s). Lorsqu’on impose un coefficient de relaxation différent de 0, la vitesse est plus importante
dans le sens de l’écoulement (vers −130m/s) mais sa valeur est la même quelle que soit la valeur de κ, dès qu’on atteint l’état stationnaire. De plus, on remarque que plus le coefficient est important, et plus la vitesse de sortie atteint rapidement sa valeur. Pour le cas où κ = 500, on remarque même la réfl exion de l’onde qui est remontée jusqu’à l’entrée de l’injecteur et qui s’est ensuite redéveloppée (les conditions d’entrée sont imparfaitement non réfl ectives) pour atteindre la sortie vers 1.6µ s. Ce phénomène a déjà été observé par Charlette et Helie [24] sous forme d’énergie totale acoustique.
La figure 6.6 montre également le profil de pression selon l’axe de l’injecteur (la sortie est en 0, l’en- trée à 1 × 10−3m) à deux moments clefs : le profil 1 représente le champ de pression avant la sortie de
l’écoulement, et le profil 2 représente le champ de pression après la sortie du front (à 0.9µ s pour κ = 500). On remarque bien qu’après la sortie du front, la réfl exion, malgré un gradient de pression très important, est faible, et la relaxation de la pression vers Pchs’effectue très rapidement, mais sans comportement instable
0e+00 1e−06 2e−06 Temps (s) 0.0e+00 2.0e+07 4.0e+07 6.0e+07 8.0e+07 1.0e+08 Pression (Pa) Kappa = 0 Kappa = 50 Kappa = 100 Kappa = 500
0.0000000e+00 1.0000000e−06 2.0000000e−06 Temps (s) 840.0 860.0 880.0 900.0 920.0 Masse volumique (kg/m 3) Kappa = 0 Kappa = 50 Kappa = 100 Kappa = 500
F
IG. 6.5: Pression et masse volumique en sortie du domaine en fonction du coefficient de
relaxation κ
0e+00 1e−06 2e−06
Temps (s) −150.0 −100.0 −50.0 0.0 Vitesse (m/s) Kappa = 0 Kappa = 50 Kappa = 100 Kappa = 500
0e+00 2e−04 4e−04 6e−04 8e−04 1e−03
Abscisse (m) 0.0e+00 2.0e+07 4.0e+07 6.0e+07 8.0e+07
Pression (Pa) Profil 1
Profil 2