Il est maintenant nécessaire d’établir l’expression de la viscosité moléculaire du mélange à l’échelle de la maille, en fonction du taux de vide. L’approche la plus simple et la plus intuitive est celle utilisée par Kubota [81], qui consiste à exprimer la viscosité du mélange par une moyenne arithmétique des viscosités des phases liquide et vapeur, supposées constantes :
µ = (1 − α)µl+ αµg. (4.44)
Une expression harmonique peut également être utilisée :
µ = µgsi α < 0.5 − , µ = 2 µgµl µg+ µl si 0.5 − < α < 0.5 + , µ = µlsi α > 0.5 + , (4.45)
avec , valeur qui est prescrite par Benkenida [13] à 5×10−2. Enfin une moyenne géométrique est également
applicable dans ce cas et est de la forme :
µ = µgµl αµl+ (1 − α)µg . (4.46) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α 0.0e+00 2.0e−01 4.0e−01 6.0e−01 8.0e−01 1.0e+00 µ /µl loi arithmetique loi geometrique loi harmonique
F
IG. 4.5: Différentes expressions de la viscosité du mélange en fonction du taux de vide.
On remarque dans la figure 4.5 que ces expressions de la viscosité donnent des résultats très différents dans la zone diphasique. Une manière de définir la modélisation de la viscosité dans notre cas est d’étu- dier un écoulement de Poiseuille (écoulement de deux couches de fl uides de densités différentes entre deux parois). La continuité de la contrainte de cisaillement à l’interface est très importante, car le fl uide le plus visqueux sera entraîné par le fl uide le moins visqueux. Comme la solution analytique de ce problème est connue, il est très facile de comparer les résultats de profils de vitesse pour les trois expressions de la visco- sité du mélange. Benkenida a montré dans un article consacré au problème de l’expression de la viscosité en écoulement diphasique [13], que l’expression la plus appropriée est la loi géométrique.
4.6 Conclusion
Il est évident que la loi d’état utilisée dans un code de mélange est la clef de voûte de la modélisation du comportement du fl uide. En effet, dans le cas d’un écoulement cavitant comme le nôtre, la dynamique est très dépendante du champ de pression.
Nous avons posé les principales hypothèses de notre modèle : – le mélange est homogène à l’échelle de la maille ;
– l’écoulement est isentropique ;
F
IG. 4.6: Réfl exion des ondes de pression dans un domaine comportant un "nuage de
bulles".
La loi d’état HEM a pour qualité d’être basée sur l’expression théorique de la vitesse du son dans un mé- lange diphasique. Ceci nous a permis de prendre en compte une caractéristique importante de l’écoulement à l’échelle de la maille : la vitesse du son dans les zones de mélange est très faible (de l’ordre de quelques mètres par seconde), corroborant les résultats des études de Jakobsen [75] et Cooper [37]. Ce résultat peut s’expliquer par les multiples réfl exions des ondes de pression sur les interfaces des bulles réparties de façon homogène dans le liquide (voir figure 4.6), diminuant la vitesse de propagation.
Du point de vue numérique, l’utilisation de l’équation d’état pour déterminer le champ de pression évite le risque d’obtenir des pressions négatives dans les zones de forts gradients.
La méthode que nous avons utilisée pour modéliser le mélange nous offre des garanties de stabilité numérique pour le code. Le chapitre suivant traitera de l’intégration de ce modèle dans un code de calcul tridimensionnel.
Élaboration du code CavIF
5.1 Introduction
L
’OBJETde ce chapitre est de présenter les caractéristiques numériques du code de simulation d’écoule- ments cavitants dans les injecteurs Diesel CavIF. Après une analyse bibliographique consultable sous forme de rapport interne IFP [42] et de publication [43], le choix de la méthode de modélisation s’est porté sur une simulation continue de l’écoulement dans les injecteurs, i.e. une méthode eulerienne de résolution d’un écoulement diphasique dont la masse volumique dépend de la pression (loi d’état barotrope).Nous avons mis en évidence les caractéristiques numériques du code nécessaires à la fin de la partie §1.5. Rappelons-les brièvement ici :
– calculs tridimensionnels pour prendre en compte le caractère asymétrique de l’écoulement, – mouvements de maillage pour simuler la levée et descente d’aiguille,
– prise en compte d’un maillage multi-blocs pour pouvoir diminuer le nombre de mailles nécessaire dans des géométries complexes.
À partir de l’étude des codes existants, nous nous sommes rendus compte qu’aucun d’entre eux ne ré- pondait aux contraintes définies dans notre cahier des charges. Nous avons donc eu le choix entre écrire un nouveau code ou partir d’une base (code existant) pour y intégrer notre modèle de mélange et les méthodes numériques qui nous paraissent nécessaires. À l’IFP, un code de simulation est utilisé pour les calculs de combustion et d’aérodynamique interne dans les chambres de combustion : KIVA. Il a été développé au départ dans les laboratoires de Los Alamos [3], puis utilisé à l’IFP, où il a subi des modifications et amélio- rations [62]. Comme on peut s’en douter, la connaissance générale de ce code au sein de l’équipe calculs est excellente. C’est un atout essentiel, qui nous a permis de nous décider pour l’implantation du modèle de mélange homogène à l’équilibre dans le code KIVA-MB V8.0.
Ce chapitre commence par l’étude du schéma d’advection utilisé dans KIVA, en le comparant à celui utilisé dans le code CAVALRY [114]. En effet, dans CAVALRY est utilisé un schéma d’advection dit “ de capture de choc” du troisième ordre, alors que dans KIVA un schéma d’advection de quasi-second ordre est utilisé. Il nous faut donc effectuer un calcul type, pour savoir si la méthode d’advection existante dans KIVA est suffisante pour nos calculs.