3.1 Méthodes de suivi et de capture d’interface
3.1.2 Méthode de capture d’interface "Front-Capturing"
Dans cette méthode, l’interface est définie implicitement à l’aide d’une fonction volumique convectée par l’écoulement. L’interface n’est pas représentée mais reconstruite si c’est nécessaire. Cette méthode ne résout pas les détails de l’interface qui sont plus petits que la taille de la maille. La localisation, l’orientation et la courbure de l’interface ne peuvent être déterminés précisément, ce qui a un effet sur la résolution des contraintes visqueuses et des tensions de surface.
& diffusion numérique pour le front qui s’étale, donc imprécis sans précautions particulières ; % facile à programmer en mono- et bidimensionnel ;
% relativement efficace et économique. Les algorithmes de ce type sont les suivants :
– VOF, – Level Set.
Ces méthodes sont principalement utilisées pour les cas de calculs instationnaires, du fait que le maillage est fixe (méthode eulérienne). Elles ont néanmoins quelques inconvénients, principalement lors des interac- tions entre interfaces ou lorsque l’interface se replie sur elle-même. La détection de ces situations est assez délicate. De plus, l’extension de ces modèles au cas tridimensionnel est malaisée. Voyons maintenant en détail les deux principales méthodes de capture d’interface.
3.1.2.1 Méthode VOF (Volume Of Fluid)
Le principe de cette méthode est de définir une fonction caractéristique convectée par l’écoulement. Cette fonction est singulière à l’interface. Elle représente pour chaque cellule la fraction volumique occupée par un des deux fl uides.
c(t, x ) = 1dans le fl uide 1, c(t, x ) = 0dans le fl uide 2, et
ρ(t, x ) = c(t, x )ρ1+ (1 − c(t, x ))ρ2.
(3.2) Pour le fl uide moyen on calcule dans tout le domaine :
div (−→u ) = 0
∂−→u
∂t + −→u ∇−→u + ρ−1∇P = f
Ensuite on advecte c par :
∂c
∂t+ −→u ∇c = 0 (3.4)
Après advection de c, il faut reconstruire l’interface dans les mailles où 0 < c < 1. Trois types d’algo- rithmes de reconstruction existent : la reconstruction d’interface constante par morceaux [96] [67] [82], la reconstruction d’interface en escalier [33], et la reconstruction d’interface affine par morceaux (méthodes CIAM, FLAIR...).
Voyons en particulier la méthode CIAM1 (Calcul d’Interface affiné par Morceaux), développée par Li [87], qui a été utilisée pour modéliser l’instabilité de Rayleigh-Taylor. Elle a été intégrée au code SUR- FER. CIAM comporte deux parties : la reconstruction de l’interface et l’advection de celle-ci. En deux dimensions, l’interface est représentée par un segment de droite dans chaque cellule. Une reconstruction “ idéale” pourrait être une série de segments qui se raccordent entre les cellules, mais ceci impose trop de contraintes sur la reconstruction. Donc CIAM calcule d’abord une approximation de la direction normalen de l’interface (voir figure 3.1).
F
IG. 3.1: (a) Interface réelle et fractions volumiques correspondantes. (b) Reconstruction
idéale de l’interface. (c) Reconstruction par CIAM [87].
Une simple différence finie centrée en huit points de la fraction volumique permet d’obtenir de bons résultats [20]. La position du segment est alors ajustée pour que la fraction volumique soit égale à la valeur prescrite. Voyons plus en détail le cheminement de la méthode, toujours en deux dimensions : on considère une cellule carrée d’arête h unité dont l’origine est en (0, 0). Le segment de direction normale (m, n) appartient à l’ensemble de droites parallèles d’équation :
mx + ny = ζ (3.5)
ζest un paramètre à déterminer. Après quelques opérations de symétrie, il peut être supposé que 0 <
m ≤ n. Les deux segments de direction normale (m, n) qui passent par le point (1, 0) ou (0, 1) donnent
lieu à deux fractions volumiques critiques α1= m/2net α2= 1 − α1qui induisent trois formules pour ζ :
ζ =√2cmn si 0 ≤ c ≤ c1 ζ = (2cn + m)/2 si c1≤ c ≤ c2 ζ = m + n −p2(1 − c)mn si c2≤ c ≤ 1 (3.6) L’interface est donc reconstruite. Il faut maintenant l’advecter par une méthode lagrangienne, dans laquelle la vitesse sur l’interface est calculée par interpolation linéaire. Soit A un point dans la cellule indexée i, j dont les coordonnées normalisées par h sont (x, y) ∈ [0, 1]2. Les interpolations de la vitesse
sont : u = (1 − x)ui−1 2,j+ xui+ 1 2,j v = (1 − y)vi,j−1 2 + yvi,j+ 1 2 (3.7) 1La traduction en anglais de CIAM est PLIC, pour : Piecewise Linear Interface Connection.
Les nouvelles coordonnées de A sont alors : x0=1 − u i−1 2,j k h+ ui+1 2,j k h x + ui−1 2,j k h y0=1 − v i,j−1 2 k h+ vi,j+1 2 k h y + vi,j−1 2 k h (3.8)
kest le pas de temps. La nouvelle équation de l’interface m0x + n0y = ζ0est alors :
m0= m/1 − u i−1 2,j k h+ ui+1 2,j k h n0= n/1 − v i,j−1 2 k h+ vi,j+1 2 k h ζ0= ζ + m0u i−1 2,j k h+ n0vi,j+1 2 k h (3.9) Le champ de fraction volumique est alors recalculé à partir de ces nouvelles équations d’interface. Des tests ont également été effectués en trois dimensions, donnant des résultats satisfaisants. Néanmoins le pro- blème s’en retrouve plus complexe et plus cher à résoudre.
Un modèle du type VOF a été développé par PRINCIPIA [92] pour l’application à l’injection Diesel. Ce modèle calcule l’écoulement des deux phases incompressibles en tridimensionnel. L’interface est cap- turée par la méthode VOF. Le déplacement des interfaces est piloté par la vitesse du liquide. La condition de cavitation est gérée par trois constantes d’entrée du modèle : la pression d’initiation de la cavitation, la “ fréquence de cavitation” et la pression de vapeur saturante.
Si on veut effectuer un calcul cavitant, un premier calcul en stationnaire doit être effectué en monopha- sique. Lorsque ce calcul a convergé, on utilise sa solution comme condition initiale. La cavitation apparaît alors dans les zones où la pression est inférieure à la pression d’initiation. Ensuite, un test est effectué sur chaque cellule du maillage. Si cette cellule est à une pression inférieure à la pression de vapeur satu- rante pendant le nombre de pas de temps consécutifs correspondant à la “ fréquence de cavitation” , alors cette maille est “ vaporisée” (VOF fixé à 0). La méthode de résolution utilise un schéma du type “ pseudo- compressibilité” . Le calcul d’un système non-linéaire des équations discrétisées est considéré, à un instant donné, comme la limite asymptotique de la solution d’un problème d’évolution en fonction d’une variable fictive, le pseudo-temps. La disparition de la cavitation est traitée de manière purement dynamique (pas de critère sur la pression, c’est à dire que la condensation n’est pas prise en compte). L’interface est advectée par la vitesse du liquide seule. La dynamique de l’écoulement est donc pilotée essentiellement par celle du liquide.
3.1.2.2 Méthode Level Set
Le principe de cette méthode est de définir une fonction distance à l’interface qui est advectée par l’écoulement. Cette fonction est continue et "suffisamment" régulière.
Φ(t, x) < 0dans le fl uide 1, Φ(t, x) > 0dans le fl uide 2, Φ(t, x) = 0à l’interface. (3.10) L’interface se déplace avec les particules fl uides, l’évolution de Φ est donc donnée par :
∂Φ
∂t + u.∇Φ (3.11)
La masse volumique et la viscosité sont supposées constantes dans les deux fl uides, et donc prennent deux valeurs dépendant du signe de Φ :
ρ(Φ) = ρg+ (ρl− ρg)H(Φ) (3.12)
Et :
Avec H(Φ) fonction de Heaviside, donnée par : H(Φ) = 0si Φ < 0 1 2si Φ = 0 1si Φ > 0