Annexe 2 : Calcul de la densité modale d’une plaque rectangulaire en flexion
4.2 Simulation dans l’approximation basse fréquence
4.2.4 Validation du code de simulation par l’expérience et par la méthode de Ritz
4.2.4.1 Expérience dans une barre
Dans un premier temps, nous avons validé le code dans le cas d’une barre. L’équation de propagation de l’onde de flexion dans une barre diffère cependant de celle dans une plaque par l’introduction d’un coefficient qui prend en compte l’effet de Poisson (lorsque la barre est soumise à un effort, la surface de la section droite ne reste pas constante). L’équation de propagation dans l’approximation faible fh est alors :
(1 − ν2)V 2 Ph2 12 ∆ 2w +∂2w ∂t2 = S(x, y, t), (4.18)
ν étant le coefficient de Poisson.
Une expérience a été faite dans une barre d’acier inoxydable de 75.2 cm de long, 9.9 mm d’épaisseur et 2 cm de large. La source est un choc donné par un pot vibrant, et la composante transverse de la vitesse est mesurée par interféromètre laser. La barre est posée sur la tranche sur de la mousse, de façon à se rapprocher au mieux des conditions aux limites libres. Une mesure par la technique de pulse-écho des vitesses de volume dans la barre a été faite : la vitesse longitudinale est de 5725 m/s et la vitesse transverse de 3109 m/s, à quelques pourcents d’erreur près. Le coefficient de Poisson vaut donc ν = VL2− 2VT2
2(V2 L− VT2)
= 0.291.
La forme exacte de la source étant inconnue, il serait inutile de comparer directement le champ mesuré au champ calculé ; en revanche, nous pouvons comparer les amplitudes du spectre pour vérifier dans un premier temps la présence des même modes. La figure 4.4 représente le spectre d’amplitude de la réponse impulsionnelle expérimentale (trait continu), et de la réponse simulée (tirets). Cette dernière a été obtenue en utilisant comme valeurs de vitesses de volume VL = 5600 m/s et VT = 3055 m/s : cette baisse de l’ordre de 2% a été choisie de façon à ce
que le premier mode propre calculé coïncide avec le premier mode propre expérimental. Comme nous pouvons le voir, les modes se recouvrent aux basses fréquences, mais se décalent au fur et à mesure que le produit fh croît. Cela recoupe les observations du paragraphe précedent et en confirme les conclusions.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Fréquence en Hz
Spectre d’amplitude normé
Fig. 4.4 :Spectre d’amplitude normé des réponses à une impulsion mesurées dans une barre en acier inoxydable de 9.9 mm d’épaisseur par interféromètre laser (-) et obtenue en simulation (- -). Les fréquences propres simulées sont exactes seulement aux faibles fréquences.
4.2.4.2 Validité du code A0 dans le cas d’une plaque encastrée
Après avoir étudié les limites de validité du code A0 pour une barre, nous nous sommes
intéressés à sa validation dans le cas d’une plaque. Comme expliqué au paragraphe 4.2.2, les conditions aux limites implémentées étant des conditions d’encastrement, nous avons étudié dans quelle mesure les fréquences propres obtenues numériquement sont bien celles d’une plaque réellement encastrée. Comme expliqué au chapitre précédent, les modes propres d’une plaque soumise sur ses quatre bords à des conditions aux limites libres ou bloquées ne peuvent être calculés explicitement. En revanche, des méthodes numériques ont été largement développées pour résoudre ce problème, et reposent sur la méthode de Rayleigh-Ritz. Nous pouvons donc dans un premier temps comparer les modes propres théoriques obtenus par cette méthode à ceux fournis par le code de simulation.
La figure 4.5 montre les quatre premiers modes propres d’une plaque carrée (5 mm d’épaisseur et 40 cm de côté) encastrée prévus par la méthode de Rayleigh-Ritz [29] (néanmoins dans l’ap- proximation basse fréquence, ce qui ne permet pas de savoir dans quelle mesure notre simulation est proche de l’expérience), ainsi que le spectre de quelques réponses impulsionnelles simulées avec notre code dans la même plaque : il y a un bon accord entre les deux.
Par ailleurs, nous avons réalisé des expériences avec une plaque dont les bords sont bloqués. Or une simple excitation par un choc (donné par le pot vibrant) ne permettait pas de transmettre assez d’énergie dans la plaque : le signal n’était pas suffisamment long pour que les modes propres
0 200 400 600 800 1000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Fréquence en Hz
Spectre d’amplitude normé
Fig. 4.5 : Spectre d’amplitude des réponses impulsionnelles calculées dans une plaque d’alumi- nium de 5 mm d’épaisseur et 40 cm de côté (-), et valeurs des fréquences propres prévues par la méthode de Rayleigh-Ritz (+).
soient bien résolus ; en effet, dans la pratique, il y a beaucoup de perte d’énergie par les bords encastrés de la plaque. C’est pourquoi nous avons exploité une expérience publiée par Hazell [44] : dans celle-ci, pour mesurer les fréquences propres de vibration, la plaque encastrée est excitée par un haut-parleur en continu à une fréquence donnée, pendant que la surface de la plaque est imagée par holographie acoustique. La mesure est répétée en faisant varier la fréquence d’excitation. Lorsque des ondes stationnaires sont visibles par holographie, cela signifie que la fréquence d’excitation est une des fréquences propres de la plaque encastrée.
La figure 4.6 représente en trait continu le spectre d’amplitude simulé dans une plaque iden- tique à celle utilisée par Hazell : une plaque carrée d’aluminium de 1.83 mm d’épaisseur et 30.5 cm de côté. Les fréquences propres mesurées par Hazell sont représentées par des croix. Nous ob- servons le même nombre de fréquences propres dans les deux cas, à l’exception d’une fréquence propre observée en simulation à 1468 Hz et que n’avait pas observée Hazell. Les fréquences propres simulées se décalent peu à peu des fréquences expérimentales lorsque la fréquence croît. Cela nous permet de conclure de la même façon que dans le cas de la barre : aux faibles fh, le code de simulation A0 coïncide bien avec l’expérience.