Déphasage de π

Afin de calculer la partie évanescente du champ en fonction de la distance au bord, il faut connaître l’onde A0 incidente ainsi que réfléchie en tout point de la plaque, afin de les soustraire

au champ total et en déduire la contribution des modes évanescents. Nous avons donc utilisé le même code de simulation numérique qu’au paragraphe 3.3.1, dans deux simulations : la pre- mière où l’onde A0 arrive sur le bord et est réfléchie (cf figure 3.33), et la seconde dans une

plaque deux fois plus longue, pour mesurer le mode propagatif ayant parcouru la même distance que lors de la première simulation, mais sans avoir subi de réflexion (cf figure 3.34) ; ce sera la simulation ’de référence’. Cette dernière est indispensable, car nous nous intéressons à des produits fréquence-épaisseur tels que les phénomènes de dispersion deviennent très importants (à 1 MHz.mm en revanche, le mode A0 était très peu dispersif), et la source ne peut pas être

purement monochromatique (elle ne sera constituée que d’une dizaine de périodes).

Ainsi, les signaux enregistrés aux points 1 à N inclus de la simulation de référence donneront la valeur de l’onde incidente non perturbée par les ondes évanescentes aux points de même numéro de la simulation totale. Les signaux enregistrés aux points N à 2N − 1 inclus de la simulation de référence donneront la valeur de l’onde réfléchie A0 pure aux points respectivement numéros N

1m 5 mm Aluminium 1 mm 3 mm vide + + + + + + + + + + + + + + + + + N points de mesure des déplacements Ligne de sources (pour exciter

A₀ seul) sur le bord gauche (pour éviter les réflexions du bord gauche)

1 mm

Bord réfléchissant

Conditions aux limites absorbantes

Fig._{3.33 :}Schéma de la simulation ’totale’ : pendant la réflexion du mode A₀ sur un bord libre, les déplacements sont enregistrés à la surface de la plaque.

Aluminium

vide 1 mm

5 mm + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + _{3 mm}

2N-1 points (équidistants) de mesure des déplacements Ligne de sources (pour

exciter A₀seul) sur le bord gauche (pour éviter les réflexions du bord gauche)

1 mm 2m

Conditions aux limites absorbantes

Fig. _{3.34 :} Schéma de la simulation ’de référence’ : l’onde A₀ parcourt la même distance que dans la précédente simulation, mais sans subir de réflexion, le milieu étant deux fois plus grand. Cette simulation permet de déduire la forme de la partie propagative de l’onde lors d’une réflexion. En revanche, pour évaluer la partie propagative réfléchie, il faut tenir compte du fait que l’onde A0 subit un décalage de phase à la réflexion ; nous choisissons donc le décalage à appliquer de

façon à ce que, loin du bord réfléchissant, le signal réfléchi reconstruit à partir de la simulation de référence coïncide le mieux possible avec le signal réfléchi de la simulation totale (car très loin du bord, les ondes évanescentes sont négligeables). Ainsi, en comparant les signaux des deux simulations, nous pouvons déduire d’une part l’évolution de l’onde évanescente avec la distance au bord, et également le déphasage de la partie propagative.

Comme montré sur la figure 3.35, pour une fréquence de 50 kHz et une plaque d’aluminium de 3 mm d’épaisseur, c’est-à-dire pour une longueur d’onde théorique de 3.3 cm, l’amplitude

de la composante de l’onde évanescente est divisée par 10 à une distance de 1.5 cm du bord, c’est-à-dire à environ une demi-longueur d’onde du bord.

0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x: distance au bord réfléchissant en mètre

Fig. _{3.35 :} Résultat de simulation : amplitude de l’onde évanescente contenue dans la compo- sante transverse du déplacement, divisée par l’amplitude de la partie propagative incidente, en fonction de la distance au bord libre réfléchissant, pour une plaque de 3 mm d’épaisseur et une source à 50 kHz.

Cette méthode ne permet pas de mesurer la composante évanescente pour des fréquences plus basses, car plus la fréquence sera basse, plus la longueur d’onde sera grande et plus le milieu à simuler doit être grand ; de plus, pour atteindre un régime quasi-harmonique, il est nécessaire d’émettre au moins une dizaine de périodes, donc la durée de propagation à simuler augmente quand la fréquence baisse ; nous atteignons alors les limites de l’ordinateur (mémoire vive 1Go). En revanche, nous avons pu mesurer le déphasage pour une source à 20 kHz, en utilisant l’idée suivante : lorsqu’une onde quasi-harmonique subit un déphasage à la réflexion, l’onde pouvant être décrite par la fonction : ei(ωt−kx−φ)_{, φ étant le déphasage introduit, si on observe le champ}

(noté g(x)) à un instant t donné, et en fonction de x, on pourra mesurer ce déphasage par comparaison avec l’onde f(x) observée au même instant t et qui aura parcouru la même distance sans subir de réflexion. La figure 3.36 illustre le principe de la mesure et les dimensions du milieu simulé dans le cas d’une source à 20 kHz (émettant une dizaine de périodes). Les origines O1 et

O2 sont choisies de façon à ce que le front d’onde issu de la source arrive en O1 sans avoir subi de

réflexion au même moment où il arrive en O2 après réflexion sur le bord de droite. Le déphasage

plaque

source

f(x)

g(x)

2m

0.4m

0.8m

4m

Fig. _{3.36 :}Schéma de la simulation utilisée pour mesurer le déphasage de la composante trans- verse du mode A0 lors de la réflexion sur un bord libre.

Le tableau suivant montre les déphasages obtenus de la composante transverse du déplace- ment en fonction de la fréquence de la source. Notons que la précision de ces mesures est limitée par le pas d’échantillonnage spatial (il est de 1 mm suivant l’axe (Ox) et de 0.2 mm suivant l’axe (Oy)).

Produit Fréquence.épaisseur Déphasage de la composante transverse

1 MHz.mm -115˚

0.15 MHz.mm -106˚

0.06 MHz.mm -98˚

Tab. _{3.1 :} Résultat de simulation : déphasage de la composante transverse du déplacement lors de la réflexion sur le bord libre d’une plaque, pour différentes valeurs du produit fréquence par épaisseur (fh). Ce déphasage tend vers π/2 lorsque fh tend vers 0.

Ces résultats tendent donc à montrer que le déphasage de la composante transverse du mode A0 tend vers π/2 lorsque le produit fréquence-épaisseur tend vers 0.