On rappelle que l’opérateur non perturbé ˆHa un spectre relativement simple donné par l’ensemble des valeurs de H (~k) avec k variant dans Λ∗. D’autre part, si l’on choisit δ et γ vérifiant dγ < δ, le théorème précédent nous prédit l’existence d’un grand nombre de valeurs propres de l’opérateur perturbé ˆH +~1+κKˆ0 situées à une distance ~∞des quasi-valeurs propres
E~= H (~k~) +~1+κhhK~ii (~k~) , pour tout k~tel que ~k~∈ B0.
L’expression de ces quasi-valeurs propres motive l’idée d’associer à chacune d’elle une valeur propre non perturbée, autrement dit de suivre l’évolution des valeurs propres lorsqu’on ”allume” la perturbation. Pour cela, il est agréable de considérer la perturbation de la forme ε~1+κKˆ0et de suivre l’évolution des valeurs propres de
ˆ
H + ε~1+κKˆ0
lorsqu’on fait varier ε depuis 0 jusqu’à 1. On se convaincra facilement que ”tout” ce qu’on a fait jusqu’ici fonctionne aussi bien uniformément par rapport à ε ∈ [0, 1]. A savoir, les règles de calcul symbolique, les formes normales... On se convaincra aussi que la forme normale du théorème D.22 est
d
F N = ˆH + ε~1+κM + O (ˆ ~∞) , où M~ est la ~−γ,~δ
-moyenne8 auto-adjointe du symbole K~et où toutes les estimations sont uniformes par rapport à ε. Notamment, concernant la partie non-résonante, le théorème E.6 nous assure que ϕ~ = eik~(x−x0)est un ~∞-quasimode de la forme normale dF N avec la quasi-valeur propre
E~= H (~k~) + ε~1+κhhK~ii (~k~) .
On peut donc suivre l’évolution de ces quasi-valeurs propres lorsque ε varie de 0 à 1. La précision ~∞ n’est cependant intéressante que si elle permet de ”résoudre le spectre”, i.e de distinguer les valeurs propres proches. En général, il peut y avoir des dégénérescences qui rendent impossible cette résolution, néanmoins on peut le faire pour les valeurs propres associées au bloc non-résonant B0grâce à la remarque suivante.
Proposition E.7. Supposons que δ et γ vérifient 0 < dγ < δ < d
d+1 et δ ≤ κ. Soit k~et k0
~vérifiant que ~k~∈ B0 et ~k0
~∈ B0, et à une distance l = k0
0− k0telle que |l| ≤ ~−γ. Alors,
H~k0~ − H (~k~) ≥ c~1+δ|l| , et E~ k~0 − E~(k~) ≥ c~1+δ|l| ,
où c est une constante positive
Démonstration. En effectuant un développement de Taylor de la fonction H, on obtient H ~k0~ − H (~k~) =~dH~k~(l) + O ~2|l|2 .
D’autre part, le fait que ~k~ ∈ B0 signifie que pour tout l ∈ Λ∗ vérifiant |l| ≤ ~−γ, on a |dH~k~(l)| ≥~δ|l|, ce qui fait que
H~k~0 − H (~k~) ≥ ~1+δ|l| + O ~2|l|2 ≥ ~1+δ|l| 1 + O ~1−δ|l| .
Par ailleurs, l’hypothèse sur |l| fait que ~1−δ|l| ≤ ~1−δ−γ. De plus, compte tenu des hy-pothèses sur γ, δ et |l|, on a γ+δ < δd+1
d < 1, ce qui fait que 1−γ−δ > 0 et donc que ~1−δ|l| 1. En conséquence, il existe une constante c < 1 positive telle que 1 + O ~1−δ|l| ≥ c, ce qui prouve l’assertion.
D’autre part, l’écart entre les quasi-valeurs propres est donné par E~ k~0 − E~(k~) = H ~k~0 − H (~k~) + ε~1+κ hhK~ii ~k~0 − hhK~ii (~k~) = H ~k~0 − H (~k~) + ε~1+κO ~1−δ|l| ,
où l’on a fait un développement de Taylor de la fonction hhK~iiet utilisé le fait que K~ ∈ Ψ0
δ(T ). Ceci montre que l’on a E~ k0~ − E~(k~) ≥ c~1+δ|l| 1 + O ~1+κ−2δ .
De plus, l’hypothèse κ ≥ δ, implique que 1 + κ − 2δ ≥ 1 − δ > 1 − δ − γ > 0, ce qui fait que ~1+κ−2δ 1et donc que E~ k0~ − E~(k~) ≥ c0~1+δ|l| ,
où c0 < cest une constante positive.
Cette proposition signifie que les quasi-valeurs propres non-résonantes E~ associées à des k~proches sont séparées d’au moins ~1+δ, ce qui est beaucoup plus grand que la réso-lution ~∞. D’autre part, les valeurs propres non-perturbées associées à ce bloc B0sont aussi séparées de ~1+δ et sont donc peu modifiées et restent bien séparées lorsque l’on ajoute la perturbation, comme on l’a représenté schématiquement sur la figure ci-dessous.
3. QUASIMODES NON-RÉSONANTS ET VALEURS PROPRES STABLES 169
Il faut noter que cela ne signifie pas que les valeurs propres sont non-dégénérées. En effet, cela ne s’applique d’une part que pour les quasi-valeurs propres associées au bloc non-résonant et d’autre part que pour les quasimodes associés à des k0 ”proches”. Le bloc non-résonant est justement l’ensemble des points ξ qui vérifient une sorte de condition dio-phantienne (pour les ”petits” coefficients de Fourier). C’est cette propriété qui fait que le noyau de la différentielle dH ne contient pas de ”petits” sous-réseaux de Λ∗ (ce qui don-nerait des dégénérescences). Pour illustrer cet effet, on a représenté ci-dessous le graphe d’une fonction H en dimension d = 2, le réseau de taille ~, ainsi que l’image par H de ce réseau sur l’axe vertical. A gauche, on s’est placé près d’un point résonant (dH = (1, 1)) et à droite près d’un point non résonant (dH = √3
2 ,12
). Sur chacun des dessins, on a tracé 100 valeurs propres qui sont réparties de manière nettement plus uniforme dans le cas non résonant.
Ce résultat est tout à fait comparable à celui de l’article [33] dans lequel les auteurs étu-dient le spectre de l’opérateur de Schrödinger − 4 +V (x) sur Rd, avec un potentiel V (x) périodique. Le contexte est quelque peu différent puisque d’une part la théorie sur Rdavec potentiel périodique fait intervenir la théorie de Floquet, ce qui n’est pas le cas dans notre contexte. D’autre part, il n’y a pas de petit paramètre, mais on peut néanmoins faire l’analo-gie en utilisant le ”dictionnaire habituel”, limite grandes énerl’analo-gies↔limite ~ → 0. Ces auteurs montrent qu’une grande partie des valeurs propres de l’opérateur ”non-perturbé” −4 sont
la perturbation et où elles continuent d’être bien séparées. De plus, ces valeurs propres sont modifiées à l’ordre principal par la moyenne du potentiel.
Notre résultat est plus général9 en ce qu’il s’applique à des OPD complètement inté-grables quelconques et pour une perturbation quelconque (pas seulement un potentiel). De plus, on contrôle l’influence de l’intensité de la perturbation grâce au paramètre κ.
4 Quasimodes résonants
On souhaite maintenant construire des quasimodes associés à la région complémentaire de B0. Pour tirer partie de la forme normale du théorème D.22, il faut construire des quasi-modes qui habitent dans un bloc de quasi-résonance BR, puisque dans ces blocs le symbole M~ a une forme simple : il est constant le long du feuilletage PR associé au module de ré-sonance R. Si R est de dimension r ≥ 1, cela signifie que la variété de réré-sonance ΣR est de codimension r dans B et contient des tores qui ont r relations de résonance, i.e sur lesquels la dynamique est confinée à des sous-tores de dimension d − r. Le feuilletage PRétant de di-mension d − r, le symbole M~ne dépend en fait que de r variables transverses. La recherche de quasimodes se ramène en quelque sorte à un problème en dimension r.
On considère donc la forme normale ˆH +~1+κMˆ du théorème D.22. Pour tout module de résonance R donné, notons hK~i = moy (K~, PR) la moyenne de K~ le long du feuilletage entier PRassocié à R. On sait que le symbole M~est égal à hK~ien tout point du bloc ˜BR.
On va construire des quasimodes de ˆH +~1+κhK[~iayant la propriété d’être dans la classe L0(k~)des fonctions BKW-Liouville, avec k~∈ Λ∗vérifiant ~k~ ∈ ˜BRpour tout ~, ce qui va nous fournir des quasimodes de ˆH +~1+κMˆ, comme le montre la proposition suivante. Proposition E.8. Soient δ ≥ 0 une constante réelle et soit k~ ∈ Λ∗ tel que ~k~se trouve dans le bloc ˜BRpour tout ~. Si ϕ~ ∈ L0(k~)est un ~N-quasimode de ˆH +~1+κhK[~i, alors c’est aussi un ~N-quasimode de ˆH +~1+κMˆ.
Démonstration. D’après le théorème D.22 de forme normale, on a M~= hK~i + R~, où R~∈ Ψ0
δ(T )vérifie que ∂α
x∂ξβR~(x,~k~) = O (~∞) pour tout x et tous multi-indices α, β ∈ Nd, puisque par hypothèse ~k~∈ ˜BRpour tout ~. D’autre part, si l’on note ϕ~(x) = eik~(x−x0)φ~(x), avec φ~∈ L0(0), le théorème E.5 nous assure que pour tout J, on a
ˆ M − [hK~i (ϕ~) − eik~(x−x0) X |γ|≤J−1 1 γ! ~ i |γ| ∂ξγR~(x,~k~) ∂xγφ~(x) ∈ LJ(1−δ)(k~) .
La propriété satisfaite par R~ fait que ∂γ
ξR~(x,~k~) ∈ L∞(0) comme fonction de la vari-able x. La multiplication par ∂γ
xφ~(x) ∈ L0(0)fait simplement que ∂γ
ξR~(x,~k~) ∂xγφ~(x) ∈ L∞(0)pour tout γ et tout J. Cela prouve que
ˆ
M − [hK~i
ϕ~∈ L∞(k~) .
En conséquence, si ϕ~ ∈ L0(k~)est un ~N-quasimode de ˆH +~1+κhK[~iavec la quasi-valeur
4. QUASIMODES RÉSONANTS 171 propre λ~, alors on a H +ˆ ~1+κM − λˆ ~ ϕ~ ≤ H +ˆ ~1+κhK[~i − λ~ϕ~ + ~1+κ ˆ M − [hK~i ϕ~ ≤ O ~N + O (~∞) ,
ce qui montre bien que ϕ~∈ L0(k~)est aussi un ~N-quasimode de ˆH +~1+κMˆ avec la même
quasi-valeur propre λ~.
Pour chaque bloc de quasi-résonance BR, on voudrait chercher des quasimodes ϕ~ de l’opérateur ˆH +~1+κhK[~i en utilisant l’expression asymptotique de l’action des OPD sur les fonctions BKW. Cette expression est donnée, pour l’opérateur qui nous intéresse, dans la proposition suivante, où un reste de la forme O (~α)signifie un élément de la classe Lα(k~). Proposition E.9. Pour tout module de résonance R, on note PR le feuilletage entier associé et
hK~i = moy (K~, PR)la moyenne de K~le long de PR. Pour toute fonction BKW-Liouville ϕ~(x) = eik~(x−x0)φ~(x) ∈ Lm(k~), on a
ˆ
H +~1+κhK[~i(ϕ~) = eik~0(x−x0)ψ~,
où la fonction ψ~ ∈ Lm(0)est donnée par
ψ~(x) = H (~k~) φ~(x) + ~ idH~k~· ∂xφ~(x) + ~2 2 H 00 ~k~ ∇ i , ∇ i (φ~) +~1+κhK~i (x,~k~) φ~(x) + O ~3 + O ~2+κ−δ .
Démonstration. D’après le théorème E.5, le développement à l’ordre 3 de ˆHϕ~est ˆ H (ϕ~) (x) = eik~(x−x0) H (~k~) φ~(x) + ~ idH~k~· ∂xφ~(x) −~2 X |γ|=2 1 γ!∂ β ξH (~k~) ∂xβφ~(x) + O ~m+3 , où O ~m+3
signifie un élément de Lm+3(~k~). De même, le développement à l’ordre 1 de [
hK~iϕ~est simplement [
hK~i (ϕ~) (x) = eik~(x−x0)hK~i (x,~k~) φ~(x) + O
~m+1−δ . Le théorème E.5 nous assure donc que l’on a
ˆ
H +~1+κhK[~i(ϕ~) = eik~0(x−x0)ψ~, où la fonction ψ~∈ Lm(0)est donnée par
ψ~(x) = H (~k~) φ~(x) + ~ idH~k~· ∂xφ~(x) + ~2 2 H 00 ~k~ ∇ i , ∇ i (φ~) +~1+κhK~i (x,~k~) φ~(x) + O ~m+3 + O ~m+2+κ−δ .
Il convient de s’arrêter quelques instants sur l’expression du développement asympto-tique de la proposition précédente, afin de considérer l’ordre de grandeur de chacun des termes, en supposant10que φ~est dans la classe L0(0).
Tout d’abord, le premier terme H (~k~)est simplement la multiplication par une con-stante.
Le troisième terme fait intervenir la hessienne de H (ξ) au point ~k~. Il faut remarquer que H00
~k~ ∇ i ,∇i
ne définit pas forcément un laplacien pour deux raisons. D’abord, la condition de non-dégénérescence faible n’assure pas que H00
soit non-dégénérée en tant que forme bilinéaire symétrique, ce qui veut dire que H00
ne définit pas forcément une métrique. D’autre part, même si H00
est une métrique, i.e si H satisfait à la condi-tion de non-dégénérescence de Kolmogorov, elle n’est pas forcément définie positive. Cela dit, le terme ~2
2 H~00k~ ∇i,∇i
φ~est d’ordre ~2.
Le deuxième terme fait intervenir la fonction dH~k~ · ∂xφ~(x). Si on cherche une fonc-tion φ~constante le long du feuilletage PR, sa série de Fourier ˜φ~sera non-nulle seule-ment pour les k ∈ R, ce qui fait que l’on devra considérer la fonction Ωk(~k~) = dH~k~(k) pour tout k ∈ R. Si la fonction ϕ~ vit très près de la variété de résonance ΣR, i.e si ~k~est à distance ~1de ΣR, cela signifie que Ωk(~k~)est d’ordre ~1pour tout k ∈ R, ce qui fait que le terme ~
idH~k~ · ∂xφ~(x)est d’ordre ~2. C’est dans ce cas un terme du même ordre que le terme avec la hessienne.
Le quatrième terme est d’ordre ~1+κet son influence varie évidement avec κ.
Pour construire des quasimodes de ˆH +~1+κhK[~iavec des fonctions φ~dans la classe Lm(0) et constante le long du feuilletage PR, on aimerait pouvoir utiliser un procédé récursif basé sur la formule asymptotique de la proposition E.9. Pour cela, il serait souhaitable que le terme ~
idH~k~ · ∂xφ~(x) soit dominant par rapport au terme ~2
2 H~00k~ ∇i,∇i
φ~, dans la mesure où il donnerait une équation de type transport (dérivée première), plutôt que lapla-cien (dérivée seconde). On vient justement d’expliquer que l’on doit pour cela demander que, pour tout k ∈ R, Ωk(~k~)soit d’ordre ~1−µ, avec µ > 0. Une condition nécessaire pour avoir cette propriété est que ~k~ soit à distance ~1−µ de ΣR, mais ce n’est pas la condition suffisante, sauf lorsque R est de dimension 1.