Complète intégrabilité formelle en ε

1.3 Déformations régulières formelles

1.3.1 Complète intégrabilité formelle en ε Soit^H₀, M→ B^π 

un système complètement intégrable régulier non-dégénéré au sens ”faible” et dont on cherche les déformations régulières possibles Hε. On va s’intéresser à partir de maintenant aux déformations formelles dans le paramètre ε.

Définition B.21. Soit Hε∈ C∞(M)une ε-famille d’hamiltoniens, avec Hε→ H₀, et soit n un entier positif. On dit que Hεest une déformation de H0à O (εn), ou qu’il est complètement intégrable à O (εn), s’il existe une déformation H0

εde H0 telle que H_ε= H_ε⁰ + O (εⁿ) .

1. DÉFORMATIONS RÉGULIÈRES 75 On notera cela

H_ε∈ CI (εⁿ) .

Proposition B.22. Si Hεest une déformation de H0à O (εn), alors il existe une unique série de fonc-tions I0, ..., I_n−1 ∈ π^∗(C^∞(B))et une unique série de champs de vecteurs globalement hamiltoniens

X_G1, ..., X_Gn−1, avec hGji = 0, telles que

H_ε= I₀+ · · · + εⁿ⁻¹I_n−1
◦ φ^ε_X

G1+···+εn−2X_Gn−1 + R_ε,

avec

R_ε= O (εⁿ) .

Définition B.23. On définit Rn∈ C^∞(M)le terme de reste de Hεpar R_n= lim

ε→0

R_ε εn.

Démonstration. Si Hε∈ CI (εn)alors il s’écrit Hε = H_ε⁰+ O (εⁿ), où H0

εest une déformation régulière de H0et s’écrit donc, d’après le théorème B.14, Hε= I_ε◦φε

X_Gε avec Iε∈ π∗(C^∞(B)) et hGεi = 0. On définit les fonctions Ijcomme étant les n premiers termes du développement de Iεpar rapport à ε, i.e

I_ε= I₀+ · · · + εⁿ⁻¹I_n−1+ J_ε,

avec Jε ∈ π^∗(C^∞(B))vérifiant Jε = O (εn). De même, on définit les champs de vecteurs X_Gj par

X_Gε = X_G1+ · · · + εⁿ⁻²X_Gn−1 + Z_ε, avec Zε= O εⁿ⁻¹

vérifiant hZεi = 0. En comptant bien les puissances de ε, on voit que φ^ε_XGε = φ^ε_X

G1+···+εn−2X_Gn−1 ◦ (I + O (εn)) , et un petit calcul montre alors que Hεa la forme annoncée.

On montre l’unicité par récurrence. Supposons que l’on ait deux familles de fonctions I_j et I0

j, et deux familles de champs de vecteurs XGj ayant les propriétés énoncées. Elles vérifient donc I₀+ · · · + εⁿ⁻¹I_n−1
◦φ^ε_X G1+···+εn−2X_Gn−1 = I₀⁰ + · · · + εⁿ⁻¹I_n−1⁰  ◦φ^ε_X G0 1+···+εn−2X G0 n−1 +O (εⁿ) . Avec un peu d’effort, on voit que le terme d’ordre εmde cette équation est

I_m+{G_m, I₀}+f_m(I₀, ..., I_m−1, G₁, ..., G_m−1) = I_m⁰ +n

G⁰_m, I₀⁰o +f_m

I₀⁰, ..., I_m⁰ ₋₁, G⁰₁, ..., G⁰_m−1 , où fm : R2m−1 → R est une certaine fonction. Si l’on suppose que jusqu’à l’ordre m − 1 on a Ij = I_j⁰ et Gj = G⁰_j, alors il reste Im− I_m⁰ =n

G⁰_m− G_m, H₀o

, où l’on a utilisé I0 = H₀. La G-moyenne du crochet de Poisson est nulle puisque

Dn G⁰_m− Gm, H₀oE = D dH₀ X_G0 m−Gm E = dH₀D X_G0 m−Gm E = 0,

où l’on a utilisé le fait que dH0 est G-invariant et que hXGmi =D X_G0 m E = 0. Cela implique que hImi = D I_m⁰ E

et donc que Im = I_m⁰ puisque les fonctions Im et I0

m sont G-invariantes du fait qu’elle sont dans π∗(C^∞(B)). Il reste alors ⁿG⁰_m− Gm, H₀o

= 0. On a vu dans la proposition A.78, il y a quelques dizaines de pages de cela, que la condition de non-dégénérescence satisfaite par H0 implique que toute fonction Poisson-commutant avec H0

est dans π∗(C^∞(B))et est donc G-invariante. Cela montre que G0

m− G_mest G-invariante et donc nulle puisque la moyenne vérifie^DG⁰_m− G_mE

=D G⁰_mE

−hG_mi = 0. Enfin, on vérifie de la même façon que l’hypothèse de récurrence est satisfaite à m = 1, ce qui permet d’achever

la preuve par récurrence. 

1.3.2 Déformations régulières formelles

Théorème B.24 (Déformations régulières formelles). Soit ^H₀, M→ B^π 

un système CIreg non-dégénéré au sens faible, soit Hεune déformation de H0à O (εn)et soit Rn∈ C∞(M)son terme de reste.

Alors, Hεest une déformation de H0à O εn+1

si et seulement Rnest non-résonant.

Démonstration. Par hypothèse et d’après la proposition B.22, Hεs’écrit de manière unique Hε= I0+ · · · + εⁿ⁻¹In−1

◦ φ^ε_X

G1+···+εn−2X_Gn−1 + εⁿRn+ O εⁿ⁺¹
, avec Ij ∈ π^∗(C^∞(B))et hGji = 0. On a Hε∈ CI εn+1

si et seulement s’il s’écrit Hε= I₀⁰ + · · · + εⁿI_n⁰ ◦ φ^ε_X G0 1 +···+εn−1X G0 n + O εⁿ⁺¹
.

Par unicité des fonctions Ij et Gj, on doit avoir Ij = I_j⁰ et Gj = G⁰_j pour tout j = 0..n − 1. D’autre part, on voit facilement que l’on a

φ^ε_X G0 1 +···+εn−1X G0 n = φ^ε_X G1+···+εn−2X_Gn−1 ◦ φ^ε_εn−1X_Gn ◦ φ^ε_Zε, avec φε Zε =I + O εn+1

, ce qui fait que^I₀⁰ + ... + εnI_n⁰ ◦ φε X G0 1 +...+εn−1X G0 n est égal à I₀+ ... + εⁿ⁻¹I_n−1
◦ φ^ε_X G1+...+εn−2X_Gn−1 + εⁿI_n+ εⁿ{Gn, I₀} + O εⁿ⁺¹
.

En identifiant les deux expressions de Hε, on voit qu’il reste le terme d’ordre εndonné par I_n+ {G_n, H₀} = R_n,

où l’on a utilisé I0 = H₀. D’après le lemme B.20, cette équation homologique se résout si et seulement si Rnest non-résonant. Dans ce cas, on a In= hRni.  Exemple B.25. Soit^H₀, M→ B^π 

un système CIreg non-dégénéré au sens faible, soit V ∈ C^∞(M)une fonction. D’après le théorème précédent, la famille Hε= H0+ εV est complète-ment intégrable à O ε2

, i.e il existe une fonction I1∈ π∗(C^∞(B))et un champ de vecteurs hamiltonien X tels que

H₀+ εV = (H₀+ εI₁) ◦ φ^ε_X + O ε²
,

1. DÉFORMATIONS RÉGULIÈRES 77 si et seulement si la perturbation V est non-résonant.

En particulier, considérons M = T∗Tdle cotangent du tore muni des coordonnées canon-iques (xj, ξ_j) : M →Td×Rd. La fibration lagrangienne est la fibration ”horizontale”. Toute fonction H0(ξ) indépendante des xj et dont la hessienne vérifie det^ ∂H0

∂ξi∂ξj



6= 0 est un hamiltonien CI non-dégénéré.

 Pour toute fonction V (ξ) indépendante des xj, le hamiltonien Hε(ξ) = H₀(ξ) + εV (ξ) est évidement encore CI et la perturbation V est bien non-résonant puisque sa série de Fourier eV (ξ, k)par rapport à la variable x est nulle dès que k 6= 0.

 Considérons maintenant l’hamiltonien ”énergie cinétique” H0 =P

(ξj)²et une pertur-bation de la forme Hε(ξ) = H₀(ξ)+εV (x), où V (x) est un ”potentiel” indépendant des ξ_j. H0est bien non-dégénéré puisque det^ ∂H0

∂ξi∂ξj  = 1. La condition de non-résonance pour V s’écrit ∀k ∈Zd\ 0, ∀ξ tq ^X j ξ_jk_j = 0 =⇒ eV (k) = 0.

La condition^P_jξ_jk_j = 0définit un hyperplan dans l’espace des ξ, ce qui implique que pour tout k 6= 0, on a eV (k) = 0, ce qui signifie que V (x) est une fonction constante. Les deux exemples suivants illustrent la relation entre résonances et singularités, et nous permettent d’introduire la section suivante.

Exemple B.26. Sur M = T∗T2 muni des coordonnées canoniques (x1, x₂, ξ₁, ξ₂) : M → T2 ×R2, on considère l’hamiltonien H0 = ¹₂ ξ²₁+ ξ²₂

qui est non-dégénéré (au sens de Kolmogorov). On s’intéresse à la perturbation εV (x) = εξ1cos (x₁). La série de Fourier de cette fonction est simplement eV (k) = ξ₁δ (k = (1, 0)) et est non-nulle seulement lorsque k = (1, 0). La surface de résonance associée est simplement Σ_(1,0) = {(0, ξ₂)}. La fonction e

V (1, 0) = ξ₁ s’annule justement sur Σ_(1,0); elle est donc non-résonante. La perturbation V étant non-résonante, le théorème B.24 nous assure qu’il existe une fonction I (ξ) et un champ de vecteurs hamiltonien XGtels que

H₀+ εV = (H₀+ εI) ◦ φ^ε_XG + O ε²
.

L’équation homologique dont G et I sont solutions est en fait très simple dans ce cas et donne I = 0et G = cos (x1). Le champ de vecteurs associé est donc simplement XG = sin (x₁) ∂_ξ1 et induit le flot

(x₁, x₂, ξ₁, ξ₂)^φ

ε XG

−→ (x1, x₂, ξ₁+ ε sin (x₁) , ξ₂) .

Dans la figure ci-dessous, on a tracé à ξ2 = cstles tores initiaux à gauche et les tores déformés par le flot φε

fibration initiale ε = 0 fibration déformée ε 6= 0

φ^ε_XA =⇒

Exemple B.27. Pour le même hamiltonien H0 = ¹₂ ξ₁²+ ξ²₂

, on s’intéresse maintenant à la perturbation suivantes εW (x) = ε cos (x1). La séries de Fourier de W est simplement f

W (k) = δ (k = (1, 0)), ce qui signifie que W est (1, 0)-résonante en tout point de la surface Σ_(1,0). La condition de non-résonance n’étant pas satisfaite, il n’existe pas de flot φε

XG qui nous permette de déformer la fibration initiale en une fibration le long de laquelle l’hamil-tonien H0+εW soit constant. Par contre, pour comparer avec le cas précédent, on peut tracer les surfaces de niveau de H0+ εW. Dans le schéma ci-dessous, on a fixé ξ2= 0et on a tracé les intersections des surfaces de niveaux H0 + εW = E avec ξ2 = 0, qui sont simplement données par ξ1 = ±p

E − ε cos (x₁).

ε = 0 ε 6= 0

=⇒

Lorsque ε 6= 0, il apparait une fibre singulière (une pour chaque valeur de ξ2) en ξ1proche de 0, ce qui correspond exactement à la surface de résonance Σ_(1,0). En général, la présence de résonances dans la perturbation détruit le caractère complètement intégrable. Dans cet

2. DÉFORMATIONS SINGULIÈRES 79 exemple le hamiltonien perturbé reste complètement intégrable (mais singulier) car il n’y a qu’une seule résonance, comme on va le voir dans la section suivante.

2 Déformations singulières

On considère dorénavant un système complètement intégrable non-dégénéré au sens faible^H₀, M→ B^π 

et un hamiltonien perturbé de la forme Hε= H₀+ εV, où V ∈ C∞(M) est une fonction appelée la perturbation. On a vu dans la section précédente que la condi-tion de non-résonance pour une perturbacondi-tion V ∈ C∞(M) est la condition nécessaire et suffisante pour que l’hamiltonien perturbé H0+ εV soit une déformation à O ε2

de H0, i.e pour qu’il existe une fonction I ∈ π∗C^∞(B)et un champ de vecteurs hamiltonien X tels que

(H₀+ εV ) = (H₀+ εI) ◦ φ^ε_X + O ε²
.

Les images des fibres Mb = π⁻¹(b)par la famille de symplectomorphismes (φε

X)⁻¹ sont elles-mêmes des tores lagrangiens et forment une fibration déformée en tores lagrangiens M → B, où π^πε ε = π₀ ◦ φ^ε. C’est la raison pour laquelle on a appelé Hε une déformation

régulière de H0.

On souhaite maintenant s’intéresser à des déformations singulières de H0, c’est à dire des familles d’hamiltoniens Hε qui sont complètement intégrables pour tout ε, mais sin-guliers. L’obtention d’une fibration singulière à partir de la fibration initiale régulière ne peut évidement pas se faire à l’aide d’une famille de difféomorphismes φε

X. En conséquence, on doit travailler non pas en terme de déformations de la fibration, mais en terme de défor-mations d’applications moments.

Par définition, une famille d’hamiltoniens ε → Hε ∈ C∞(M) dépendant de manière C^∞ du paramètre de perturbation ε et telle que Hε → H0 lorsque ε → 0, est une

dé-formation (éventuellement singulière) de H0 si pour tout ε il existe une application moment9

A^ε= (A^ε₁, ..., A^ε_d)de Hε. La famille Aεn’a en général aucune raison de dépendre de manière C^∞de ε puisque la non-unicité10des applications moments implique que l’on puisse choisir

artificiellement une famille Aεde telle sorte qu’elle ne soit même pas continue par rapport à ε. Il n’est alors pas clair qu’il en existe une qui soit continue par rapport à ε. On va éluder ce problème en partant de la définition suivante.

Définition B.28. Soit^H₀, M→ B^π 

un système complètement intégrable régulier non-dégénéré au sens ”faible” et soit Hε ∈ C∞(M) une ε-famille d’hamiltoniens telle que Hε=0 = H0. On dira que Hε est une déformation (éventuellement) singulière de H0 s’il existe une ε-famille11d’applications moments Aεde Hε.

Le fait qu’il existe une telle ε-famille Aε d’applications moments de Hε implique bien sûr des conditions sur V , comme dans le cas régulier décrit dans la section 1, mais aussi des conditions sur A0. En effet, si A0 est une application moment de H0 régulière en un certain point m ∈ M, alors toute ε-famille Aε sera aussi régulière près de m pour ε assez petit, puisque la propriété d’être régulière signifie que les différentielles dAε

jsont linéairement

9Définition A.6.

10Même si H0est non-dégénéré.

indépendantes, ce qui est une condition ouverte. Cela veut dire que si Hε est CI singulier, on ne pourra obtenir de ε-famille d’applications moments Aε de Hε qu’en déformant une application moment A0singulière de l’hamiltonien régulier H0.

Dans le document Sur les déformations des systèmes complètement intégrables classiques et semi-classiques (Page 75-81)