Proposition A.75. Soit F ∈ C∞(B)un hamiltonien non-dégénéré au sens faible. Si X1, ..., Xn ∈ V∇(B)sont des champs de vecteurs constants linéairement indépendants, alors dans un voisinage de l’intersectionTiΣXiles différentielles dΩXj sont linéairement indépendantes. Cela implique notam-ment que les sous-variétés ΣXj sont transverses.
Démonstration. Tout d’abord, la formulation ”hypersurface régulière” de la condition de non-dégénérescence faible implique que les sous-ensembles ΣXj =
b ∈ B; ΩXj (b) = 0 sont des sous-variétés de codimension 1. D’autre part, pour tout point b ∈ TiΣki et pour tout j = 1..n, on a dF (Xj)b = 0. Pour tout n-uplet α ∈ Rn, on a donc dFP
jαjXj
b = 0et la formulation ”N” de la condition de non-dégénérescence implique que
∇P jαjXj∇F b 6= 0 soit n X j=1 αj∇Xj∇F b6= 0.
En utilisant la propriété de symétrie de la hessienne ∇∇F et le fait que les Xj sont constants, on a donc en tout point b ∈TiΣXi :
n X j=1 αj∇∇XjF b 6= 0 n X j=1 αj dΩXj b 6= 0,
ce qui implique que les différentielles des fonctions ΩXj sont indépendantes en tout point b ∈ T
iΣXi et donc que les surfaces ΣXj sont transverses. De plus, l’indépendance linéaire des dΩXj étant une condition ouverte, cela reste vrai dans tout un voisinage deTiΣXi. Lemme A.76. Si F ∈ C∞(B)est non-dégénéré au sens de ”Rüssmann”, alors l’ensemble des tores, sur lesquels la dynamique est ergodique, est dense dans B.
Démonstration. Si b est un tore ergodique, cela signifie que dFb n’a aucune relation de ré-sonance, i.e b n’appartient à aucun des sous-ensembles Σk = {b; dFb(k) = 0}, et donc que bappartient à B \Sk∈EΣk. On va montrer que B \Sk∈EΣkest dense dans B, en montrant queSk∈EΣkest un ensemble d’intérieur vide. En effet, lorsque la fonction F ∈ C∞(B)est non-dégénérée au sens de Rüssmann, alors pour tout k 6= 0, le sous-ensemble Σkest d’in-térieur nul. C’est de plus un ensemble fermé puisque que c’est l’image réciproque de 0 ∈ R par l’application continue dF (k) : B → R. On peut donc appliquer le théorème de Baire (voir par exemple [27]) qui nous assure queSk∈EΣkest un ensemble d’intérieur vide. Lemme A.77. Si F ∈ C∞(B)est non-dégénéré au sens faible, alors :
1. L’ensemble des tores, sur lesquels la dynamique est périodique, est dense dans B.
2. Pour tout k ∈ Γ, l’ensemble des tores appartenant à Σk et sur lesquels la dynamique est péri-odique, est dense dans Σk.
Démonstration.
1. Utilisons la formulation ”fréquences tournantes” de la condition faible. Si on définit l’application ”fréquence”
ϕ : B → Tb∗B ∼= Ω1∇(B) b → dFb
et si l’on note π : Ω1
∇(B) → P Ω1∇(B)
la projection dans le projectif P Ω1 ∇(B)
, alors la condition de ”fréquence tournante” signifie que l’application π ◦ϕ : B → P Ω1
∇(B) est une submersion. Une submersion étant toujours une application ouverte, l’image de B par π◦ϕ est un ouvert de P Ω1
∇(B)
. Notons O = π◦ϕ (B) cet ouvert. D’autre part, l’ensemble Per⊂ Bdes tores périodiques est par définition Per = {b ∈ B; ϕ (b) ∈RE∗}, ou E∗ ⊂ Ω1
∇(B)est le réseau des 1-formes constantes entières. Considérons π (E∗) ⊂ P Ω1∇(B)
l’image par π du réseau E∗. Dans un système de coordonnées plates en-tières, on a P Ω1
∇(B) ∼=RPd−1 et π (E∗) ∼=ZPd−1. On voit que les tores périodiques sont donnés par Per = ϕ−1 π−1(π (E∗))
. Par ailleurs, on vérifie facilement (par ex-emple en coordonnées plates entières) que π (E∗)est dense dans P Ω1
∇(B)
3. HAMILTONIENS NON-DÉGÉNÉRÉS 55 vrai par restriction à l’ouvert O, i.e π (E∗) ∩ Oest dense dans P Ω1
∇(B)
∩ O. Enfin, l’application π ◦ ϕ : B → O étant une submersion, on peut montrer que cela implique que l’image réciproque d’un sous-ensemble dense dans O est dense dans B. On a donc que (π ◦ ϕ)−1(π (E∗) ∩ O)est dense dans (π ◦ ϕ)−1 P Ω1∇(B)
∩ O
, i.e Perest dense dans B.
2. Notons comme précédemment O = π ◦ ϕ (B) et Per ⊂ B l’ensemble des tores péri-odiques. Par définition, pour tout k ∈ E, Σk est donné par Σk = ϕ−1 k⊥∩ O
, où k⊥ ⊂ Ω1∇(B)est l’hyperplan formé par les α ∈ Ω1
∇(B)tels que α (k) = 0. De plus, k ap-partient au réseau E ce qui implique que k⊥∩E∗est un sous-réseau de dimension d−1 de Ω1
∇(B), c’est à dire que k⊥∩ E∗ est un réseau de k⊥. Si on note π0
: k⊥ → P k⊥ la projection dans le projectif, on a que π0
k⊥∩ E∗
est dense dans P k⊥
. D’autre part, P k⊥
est naturellement isomorphe à π k⊥
⊂ P Ω1 ∇(B)
, où π est la projec-tion dans le projectif P Ω1
∇(B)
. De même π0
k⊥∩ E∗
est naturellement isomorphe à π k⊥∩ E∗
, ce qui fait que π k⊥∩ E∗
est dense dans π k⊥
. Cela reste vrai par re-striction à l’ouvert O = π◦ϕ (B), i.e π k⊥∩ E∗
∩Oest dense dans π k⊥
∩O. Enfin, par définition l’ensemble des tores périodiques appartenant à Σkest donné par Per∩ Σk= ϕ−1 π−1(π (E∗)) ∩ k⊥∩ O
, c’est à dire Per∩ Σk= (π ◦ ϕ)−1 π k⊥∩ E∗ ∩ O
. On voit de même que Σk = (π ◦ ϕ)−1 π k⊥
∩ O
. Le fait que π ◦ ϕ est une submersion implique alors que Per∩ Σkest dense dans Σk.
Proposition A.78. Soit H ∈ C∞(M)un hamiltonien C.I régulier non-dégénéré au sens de ”Rüss-mann”. Alors l’espace des fonctions C∞(M) constantes le long des fibres est égal à l’espace des fonctions C∞(M)qui Poisson-commutent avec H.
Démonstration. En effet, si A est une fonction telle que {H, A} = 0, alors elle est constante le long des trajectoires de XH. Pour chaque tore Mb sur lequel la dynamique de XH est ergodique, cela implique que A est constante sur ce tore. De plus, la proposition A.76 nous assure que lorsque H est non-dégénéré au sens de ”Rüssmann”, alors l’ensemble des tores ergodiques est un sous-ensemble dense de B. Par continuité par rapport à b, cela prouve que F est constant le long de toutes les fibres Mb. Réciproquement, si F est constant le long des fibres, il est trivial de voir que {H, F } = 0 puisque XH est vertical. Proposition A.79. Soit H ∈ C∞(M)un hamiltonien C.I régulier non-dégénéré au sens de ”Rüss-mann”. Alors si A et B sont deux fonctions, on a
{A, H} = {B, H} = 0 ⇒ {A, B} = 0.
Démonstration. En effet, si A et B commutent avec H, la proposition A.78 implique que A et B sont constantes le long des fibres, et elle commutent donc. Proposition A.80. SiH, M→ Bπ
est un système C.I régulier non-dégénéré au sens de ”Rüss-mann” alors M→ Bπ est l’unique fibration lagrangienne le long des fibres de laquelle H est constant.
Démonstration. En effet, si M → Bπ0 0 est une deuxième fibration telle queH, M→ Bπ0 0 est CI régulier alors, en appliquant deux fois la proposition A.78, on voit que toute fonction F
constante sur les fibres π−1 est aussi constante sur les fibres π0−1
, et vice versa, ce qui
prouve que les deux fibrations sont les mêmes.
Si H est un hamiltonien CI non-dégénéré au sens de ”Rüssmann”, la proposition A.78 nous apprend que toute fonction C∞(M)qui Poisson-commute avec H est constante le long des fibres, ce qui a pour conséquence que les applications moments ont la forme spéciale indiquée dans le lemme suivant.
Lemme A.81. SiH, M→ Bπ
est un système CI régulier non-dégénéré au sens de ”Rüssmann” et A = (A1, ..., Ad)est une application moment de H, alors les Aj ont les propriétés suivantes :
Les fonctions Aj sont de la forme Aj = aj◦ π, avec aj ∈ C∞(B).
Les différentielles daj sont linéairement indépendantes presque partout sur B.
Pour tout b ∈ B et tout m ∈ Mbon a
corang (m) = dim
d
\
j=1
ker (daj)b.
On peut aussi remarquer que dans la définition A.6 d’une application moment, la pre-mière condition (les fonctions Aj en involution) est automatiquement satisfaite si la deuxième
(les fonctions Aj sont des constantes du mouvement) l’est, lorsque H est non-dégénéré au sens
de ”Rüssmann”.