Il convient de s’arrêter quelques instants sur l’expression du développement asympto-tique de la proposition précédente, afin de considérer l’ordre de grandeur de chacun des termes, en supposant10que φ~est dans la classe L0(0).
Tout d’abord, le premier terme H (~k~)est simplement la multiplication par une con-stante.
Le troisième terme fait intervenir la hessienne de H (ξ) au point ~k~. Il faut remarquer que H00
~k~ ∇ i ,∇i
ne définit pas forcément un laplacien pour deux raisons. D’abord, la condition de non-dégénérescence faible n’assure pas que H00
soit non-dégénérée en tant que forme bilinéaire symétrique, ce qui veut dire que H00
ne définit pas forcément une métrique. D’autre part, même si H00
est une métrique, i.e si H satisfait à la condi-tion de non-dégénérescence de Kolmogorov, elle n’est pas forcément définie positive. Cela dit, le terme ~2
2 H~00k~ ∇i,∇i
φ~est d’ordre ~2.
Le deuxième terme fait intervenir la fonction dH~k~ · ∂xφ~(x). Si on cherche une fonc-tion φ~constante le long du feuilletage PR, sa série de Fourier ˜φ~sera non-nulle seule-ment pour les k ∈ R, ce qui fait que l’on devra considérer la fonction Ωk(~k~) = dH~k~(k) pour tout k ∈ R. Si la fonction ϕ~ vit très près de la variété de résonance ΣR, i.e si ~k~est à distance ~1de ΣR, cela signifie que Ωk(~k~)est d’ordre ~1pour tout k ∈ R, ce qui fait que le terme ~
idH~k~ · ∂xφ~(x)est d’ordre ~2. C’est dans ce cas un terme du même ordre que le terme avec la hessienne.
Le quatrième terme est d’ordre ~1+κet son influence varie évidement avec κ.
Pour construire des quasimodes de ˆH +~1+κhK[~iavec des fonctions φ~dans la classe Lm(0) et constante le long du feuilletage PR, on aimerait pouvoir utiliser un procédé récursif basé sur la formule asymptotique de la proposition E.9. Pour cela, il serait souhaitable que le terme ~
idH~k~ · ∂xφ~(x) soit dominant par rapport au terme ~2
2 H~00k~ ∇i,∇i
φ~, dans la mesure où il donnerait une équation de type transport (dérivée première), plutôt que lapla-cien (dérivée seconde). On vient justement d’expliquer que l’on doit pour cela demander que, pour tout k ∈ R, Ωk(~k~)soit d’ordre ~1−µ, avec µ > 0. Une condition nécessaire pour avoir cette propriété est que ~k~ soit à distance ~1−µ de ΣR, mais ce n’est pas la condition suffisante, sauf lorsque R est de dimension 1.
4.1 Quasimodes mono-résonants
On considère un module de résonance R de dimension 1 et on s’intéresse au bloc de résonance associé ˜BR. La variété de résonance ΣRest de codimension 1 dans B et contient les tores qui n’ont qu’une relation de résonance, i.e sur lesquels la dynamique est confinée à des sous-tores de dimension d − 1. La perturbation moyennée hK~i = moy (K~, PR) ne dépend en fait que d’une variable transverse et la recherche de quasimodes se ramène en quelque sorte à un problème en dimension 1 que l’on pourra résoudre.
Compte tenu de la discussion du paragraphe précédent, il va s’agir de quasimodes qui habitent dans le bloc de quasi-résonance ˜BR, mais qui restent quand même ”éloignés” de la surface de résonance ΣR. On contrôle cette propriété en cherchant les quasimodes dans
4. QUASIMODES RÉSONANTS 173 la classe L0(k~)des fonctions de BKW-Liouville avec ~k~qui vérifie Ωk
k
∼ ~1−µ pour tout k ∈ R. En imposant que µ > 0, on s’assure que l’on reste ”éloigné” de ΣR, et en imposant que 1 − µ > δ, on s’assure que l’on reste dans la zone ZR. En résumé, on cherche des quasimodes qui sont microlocalisés à une distance de la surface ΣR vérifiant ~1 dist ~δ. De plus, afin de s’assurer que le terme ~1+κhK~i (x,~k~) φ~(x)dans la proposition E.9 soit plus petit que le terme de transport~
idH~k~·∂xφ~(x)qui est d’ordre ~2−µ, on demandera que µ+κ > 1. Théorème E.10 (Quasimodes mono-résonants). Soit ˆH ∈ ˆΨ0(T )le quantifié d’un hamiltonien complètement intégrable H (ξ) ∈ Ψ0(T )non-dégénéré et soit ~1+κKˆ0 ∈ ˆΨ1+κδ (T )une perturbation auto-adjointe de symbole K0. Soit γ et δ tels que δ > dγ et soit la ~−γ,~δ
-décomposition en blocs de quasi-résonance.
Pour tout module de résonance R, on note P le feuilletage entier associé et ˜BRle bloc de quasi-résonance réduit associé. Pour tout réel µ vérifiant
µ < 1 − δ µ > 0 µ > 1 − κ
et tout k~ ∈ Λ∗inclus dans le bloc ˜BRpour tout ~ et vérifiant Ωk(~k~) k
∼ ~1−µ pour tout k ∈ R, il existe une fonction BKW-Liouville ϕ~∈ L0(k~)constante le long de PRet qui est un ~∞-quasimode de la forme normale dF N F N − Ed ~ ϕ~ ≤ ~∞,
avec les propriétés suivantes :
Le quasimode admet un développement asymptotique de la forme suivante
ϕ~∼ eik~(x−x0) 1 + ∞ X n=1 φ(n)~ ! avec φ(n) ~ ∈ Lnν(0).
La quasi-valeur propre E~admet un développement asymptotique de la forme suivante
E~ = H (~k~) +~1+κhhK~ii (~k~) + ∞ X n=2 E~(n), avec E(n) ~ = O ~1+κ+(n−1)ν .
· Le symbole K~est celui qui apparaît dans la forme normale du théorème D.22 et qui vérifie
K~− K0∈ Ψ1δ−δ(T ).
· La double moyenne hhK~iiest la moyenne sur tout le tore.
· Le paramètre ν > 0 est donné par
Démonstration. On cherche le quasimode ϕ~ parmi les fonctions de la classe L0(k~). Par hypothèse, k~ ∈ Λ∗ reste dans le bloc ˜BR et la proposition E.8 nous assure alors que l’on peut chercher ϕ~ comme un quasimode de l’opérateur ˆH +~1+κhK[~i. On va construire ce quasimode par récurrence en commençant par remarquer que, d’après la proposition C.11, l’action de ˆH +~1+κhK[~isur l’exponentielle eik~(x−x0)est simplement
ˆ H +~1+κhK[~i eik~(x−x0) = eik~(x−x0) E~(0)+~1+κhK~i (x,~k~) , où E(0)
~ = H (~k~). La fonction eik~(x−x0)est une fonction ϕ(0)
~ de la classe L0(k~)avec sim-plement φ(0)
~ = 1qui est évidement constante le long de PR. La fonction ϕ(0)
~ = eik~(x−x0)φ(0)~ est donc un ~κ+1-quasimode avec la quasi-valeur propre E(0)
~ . On cherche maintenant une fonction ϕ(1)~ = eik~(x−x0)φ(1)~ ∈ Lm(k~), avec un certain m > 0, telle que la fonction ϕ(0)~ +ϕ(1)~ soit un quasimode d’ordre supérieur. D’après la proposition E.9, l’action de ˆH +~1+κhK[~i sur ϕ(1) ~ est ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(1) ~ = eik~(x−x0) H (~k~) φ(1)~ (x) + ~ idH~k~· ∂xφ(1)~ (x) + ... ... + O ~m+2 + O ~m+1+κ , où le reste en O ~m+2
provient du terme avec la hessienne ~2
2H~00k~ ∇i, ∇i
(φ~) et le reste en O ~m+1+κ
provient du terme ~1+κhK~i (x,~k~) φ~(1)(x). L’action de ˆH +~1+κhK[~i sur ϕ(0)~ + ϕ(1)~ est donc ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ϕ(1)~ = eik~(x−x0) ~ idH~k~ · ∂xφ(1)~ (x) +~1+κhK~i (x,~k~) + ... ... +E~(0) ϕ(0)~ (x) + ϕ(1)~ (x) + O ~m+2 + O ~m+1+κ . (E.1) On veut trouver ϕ(1) ~ et E(1) ~ tels que ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ϕ(1)~ = E~(0)+ E~(1) ϕ(0)~ (x) + ϕ(1)~ (x) + R(1)~ , où le reste R(1)
~ est d’ordre plus petit que ~1+κ. Pour cela, on essaie de résoudre l’équation ~
idH~k~· ∂xφ(1)~ (x) +~1+κhK~i (x,~k~) = E~(1). (E.2) En Fourier, cela donne
~dH~k~(k) ˜φ(1)~ (k) +~1+κhK]~i (k,~k~) = 0 (E.3) pour tout k ∈ R non-nul, et simplement ~1+κhK]~i (0,~k~) = E(1)
~ pour k = 0. Pour les k /∈ R, l’équation est automatiquement satisfaite, du fait que à la fois φ(1)
~ (x)et hK~i (x,~k~) sont des fonctions constante le long de PR, et donc leurs séries de Fourier sont nulles pour
4. QUASIMODES RÉSONANTS 175 tout k /∈ R. On a donc E(1)
~ = ~1+κhhK~ii (~k~), où la double moyenne hhK~ii signifie la moyenne sur tout le tore. Ensuite, on peut résoudre l’équation E.3 grâce au fait que Ωk(~k~) = dH~k~(k)est d’ordre ~1−µet donc différent de 0 pour tout ~. On peut effectuer la division qui donne
˜
φ(1)~ (k) =~κhK]~i (k,~k~) Ωk(~k~)
et l’estimation sur Ωk(~k~) ainsi que le fait que ]hK~i (k,~k~) est à décroissance rapide en k, font que l’on a l’estimation Sobolev φ(1)~
Hs ≤ ~κ+µ−1 pour tout s. Cela signifie que toutes les dérivées de φ(1)
~ sont O ~κ+µ−1
et donc que φ(1)
~ est dans la classe Lκ+µ−1(0). Ceci permet donc de résoudre l’équation E.2 avec m = κ + µ − 1. L’équation E.1 donne alors ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ϕ(1)~ = E~(0) ϕ(0)~ + ϕ(1)~ +E~(1)ϕ(0)~ +O ~κ+µ+1 +O ~κ+µ−1+1+κ , puisque φ(0)~ = 1. Si on utilise le fait que les restes vérifient
~κ+µ+1≤~1+κ+νet ~κ+µ−1+1+κ≤~1+κ+ν et le fait que E(1) ~ φ(1)~ est O ~1+κ~κ+µ−1 ≤ O ~1+κ+ν , alors on a ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ϕ(1)~ = E~(0)+ E~(1) ϕ(0)~ + ϕ(1)~ + R(1)~ avec ϕ(1) ~ ∈ Lν(k~), E(1) ~ =~1+κhhK~ii (~k~) = O ~1+κ et R(1) ~ = O ~1+κ+ν .
On peut continuer ce raisonnement par récurrence de la manière suivante. Supposons qu’à l’étape N on a des fonctions ϕ(1)
~ , ..., ϕ(N )~ , avec ϕ(n) ~ ∈ Lnν(k~)et des valeurs E(1) ~ , ..., E~(N ), avec E(n) ~ = O ~1+κ+(n−1)ν telles que ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ... + ϕ(N )~ = E~(0)+ ... + E~(N ) ϕ(0)~ + ... + ϕ(N )~ + R~(N ), avec R~(N ) ∈ L1+κ+N ν(k~). On cherche ϕ(N +1)~ ∈ L(N +1)ν(k~), E(N +1)~ = O ~1+κ+N ν et R(N +1)~ ∈ L1+κ+(N +1)ν(k~)telle que l’équation précédente soit satisfaite à l’ordre N + 1. On voit facilement que l’on est amené à résoudre l’équation
~
idH~k~· ∂xφ(N +1)~ (x) + R(N )~ = E~(N +1). On la résout de la même manière que précédemment en fixant
E~(N +1)=D R(N )~ E
(~k~) = O ~1+κ+N ν , oùDR~(N )E
est la moyenne sur tout le tore, avec φ(N +1)
~ ∈ L1+κ+N ν−2+µ(0) = Lκ+µ−1+Nν(0). Cela fait que l’on a
ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ... + ϕ(N +1)~ = E~(0)+ ... + E~(N ) ϕ(0)~ + ... + ϕ(N )~ + E~(0)ϕ(N +1)~ +E~(N +1)ϕ(0)~ + O ~1+κ+µ+N ν + O ~κ+µ−1+Nν+1+κ .
On remarque ensuite que ~κ+µ+1+N ν ≤~1+κ+(N +1)νet ~κ+µ−1+Nν+1+κ ≤~1+κ+(N +1)ν, ainsi que φ(N +1)~ ∈ L(N +1)ν(0). De plus, pour tout n = 1..N + 1 on a
E~(n)ϕ(N +1)~ = O
~1+κ+(n−1)ν~(N +1)ν ≤ O
~1+κ+(N +1)ν . De même, pour tout n = 1..N + 1 on a
E~(N +1)ϕ(n)~ = O ~1+κ+N ν~nν ≤ O
~1+κ+(N +1)ν , si bien que l’on a
ˆ H +~1+κhK[~i ϕ(0) ~ + ... + ϕ(N +1)~ = E(0)~ + ... + E~(N +1) ϕ(0)~ + ... + ϕ(N +1)~ +R(N +1)~ , avec R(N +1) ~ ∈ L1+κ+(N +1)ν(k~).