Pour caractériser le comportement en fatigue des élastomères, deux difficultés sont rencontrées :
- A cause de l’effet Mullins, le choix d’une courbe de comportement stabilisé traduisant le comportement de fatigue est à effectuer.
Pour traiter ce premier point, une modélisation idéale du comportement doit prendre en compte les différents phénomènes mécaniques (hyperélasticité, viscohyperélasticité, endommagement). Dans ce cas, il faut modéliser le comportement depuis le premier cycle de chargement [Robisson2000].
Notre démarche, ici, est différente. Pour traduire le comportement des pièces en service, l’objectif de la modélisation est d’aboutir au calcul des contraintes et des déformations locales qui régissent le matériau en fatigue. Le dépouillement des essais de fatigue nous mène à choisir le comportement du millième cycle comme étant le cycle stabilisé en termes d’efforts et de déformations. Notre choix s’est porté ainsi sur la modélisation du millième cycle en traction, traction-compression et en torsion. Etant donné que la plage de déformation explorée en fatigue est réduite, la modélisation du comportement par une loi simplement hyperélastique est satisfaisante pour obtenir de manière précise le chargement local dans les matériaux.
- A cause de leurs propriétés, les élastomères chargés sont sensibles au mode de sollicitation.
Pour répondre à cette deuxième difficulté, la loi de comportement doit pouvoir traduire les deux modes de sollicitation (traction et torsion). Dans un premier temps, les coefficients du potentiel de Rivlin sont optimisés pour le chargement de traction et ensuite utilisés pour simuler l’essai de torsion. Les résultats de cette première optimisation permettent enfin de mettre en place une procédure d’optimisation des coefficients décrivant les deux modes de sollicitation.
L’éprouvette Diabolo est maillée dans le code de calcul Zébulon. Sa géométrie est extraite grâce au projecteur de profil disponible au Centre des matériaux. La Figure C.70 illustre les points relevés sur le quart du diabolo.
C.V.1.1.a Simulation des essais de traction - compression
Seule la moitié du diabolo est maillée. Le calcul utilise sa symétrie par rapport au plan médian et sa symétrie axiale. Les éléments sont quadrilatères axisymétriques de type quadratique à 8 nœuds avec intégration réduite (4 points de gauss au lieu de 9 dans chaque élément).
Dans un premier temps, le maillage est grossier et comparé à un maillage beaucoup plus fin. Le maillage n’influe pas sur les résultats en traction. La Figure C.71 illustre le maillage retenu pour notre modélisation.
2 1 X = 0 Y = 29 Y = 0 2 U
Figure C.71 – Maillage adopté pour les essais de traction-compression
Les conditions limites sont appliquées conformément à l’essai de traction sur le diabolo, sur les n-set (ensemble de nœuds), elles consistent à :
- encastrer l’arête (Y = 29) ;
- condition de symétrie : bloquer en déplacement selon la direction 1 de l’ensemble des nœuds de l’arête (X = 0) ;
- déplacement imposé : appliqué sur l’arête (Y = 0) selon la direction -2. Le déplacement imposé est mesuré expérimentalement et divisé par deux puisque le chargement est appliqué ici à la moitié de l’éprouvette.
Le fichier de mise en données se trouve en annexe (cf. Annexe An-VIII). C.V.1.1.b Simulation des essais de torsion sur l’éprouvette Diabolo
Le maillage est effectué d’après la géométrie décrite ci-dessus, le diabolo est maillé entièrement Figure C.72. Le maillage est étendu à trois dimensions, il est généré à partir du maillage deux dimensions par rotation autour l’axe des symétrie (cf. Annexe An-VIII). Le code génère automatiquement des éléments de type prismatiques (c3d15) ou des éléments cubiques (c3d20).
Z = 29
Z = -29
Figure C.72 – Maillage adopté pour les essais de torsion
L’ensemble des nœuds (Z = 29) définit la face supérieure sur laquelle la rotation est appliquée.
Les conditions limites sont :
- la face bas (Z = -29) est bloquée selon les deux directions 1 et 2 et laissée libre selon la direction 3 ;
- la face haut (Z = 29) subit une rotation autour de l’axe 3, cette rotation impose implicitement un déplacement nul selon la direction 3.
Pour pouvoir accéder au calcul du couple de torsion, le post-processeur de Zébulon est utilisé. Le fichier de mise en données pour le calcul du couple est présenté (cf. Annexe An-VIII).
C.V.1.1.c Optimisation des coefficients pour une loi unique de fatigue
Dans un premier temps, la procédure d’optimisation (cf. Annexe An-VIII) est lancée sur l’essai de traction. Cette procédure compare la force résultante sur l’arête (Y = 0) obtenue par simulation à la force résultante expérimentale, effectue une optimisation et relance le calcul jusqu’à obtenir les meilleurs coefficients de la loi de Rivlin (éq.C.32). La Figure C.73 illustre la comparaison entre la courbe expérimentale et la courbe numérique obtenue.
Nous rappelons que les coefficients retenus d’après l’étude sur la sensibilité des paramètres de la loi de Rivlin (cf. C.IV.5) sont C10, C01 et C20.
C10 = 1.0e-02
C01 = 6.876e-01 (éq. C.32)
C20 = 2.829e-02
Ces coefficients (éq. C.32) sont ensuite testés sur l’essai de torsion Figure C.74. Cette approche s’avère peu satisfaisante. Les coefficients obtenus simulent bien le comportement en traction mais surestiment le couple de torsion montrant que les matériaux s’adoucissent plus pour un chargement de torsion.
Figure C.73 – Résultat d’optimisation sur l’essai de traction utilisant le jeu de coefficients éq. C.32
Figure C.74 – Comparaison du couple simulé avec le jeu de coefficients éq. C.32avec le couple
expérimental
Pour décrire le comportement des matériaux soumis aux deux modes de chargement, nous avons adopoté une procédure d’optimisation capable d’identifier simultanément les paramètres de la loi de Rivlin sur les deux modes de sollicitation (cf. Annexe An-VIII). En effet, l’optimisation est effectuée sur la traction, ensuite les coefficients obtenus sont optimisés pour la torsion et ensuite réutilisés pour une seconde optimisation sur la traction et ainsi de suite jusqu’à obtenir un jeu de coefficients convenable pour les deux modes de chargement.
Grâce à cette dernière optimisation sur les millième cycles en traction et en torsion, nous parvenons aux jeux de coefficients (Tab C.6) donnés en (MPa) pour le matériau BI et pour le matériau BII.
Matériau BI Matériau BII
C10 = 1,00e-02 C01 = 6,18e-01 C20 = 4,21e-02 C10 = 3,54e-02 C01 = 5,14e-01 C20 = 4,02e-02
Tab C.6 – Coefficients de la loi de Rivlin (en MPa) obtenus par optimisation simultanée des essais de traction et des essais de torsion pour les deux matériaux BI et BII
Les courbes de comportement simulées correspondant à ces deux jeux de coefficients sont présentées Figure C.75, nous les comparons aux courbes de comportement expérimentales pour les matériaux BI et BII.
-600 -400 -200 0 200 400 600 800 -10 -5 0 5 10 15 20 L(mm) F (N) num exp BI 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 50 100 150 200 θ (°) θ (°) θ (°) θ (°) Couple (N.mm) num exp BI
Simulation de l’essai de traction-compression Simulation de l’essai de torsion -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -10 -5 0 5 10 15 20 L(mm) F (N) num exp BII 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 50 100 150 200 θ (°) θ (°) θ (°) θ (°) Couple (N.mm) num exp BII
Simulation de l’essai de traction-compression Simulation de l’essai de torsion
Figure C.75 – Comparaison entre les résultats expérimentaux et le calcul par éléments finis dans le cas des essais de traction-compression et des essais de torsion pour les matériaux BI et BII
Les coefficients identifiés Tab C.6 par la procédure d’optimisation serviront par la suite pour la détermination des contraintes locales dans les matériaux sous les différents modes de sollicitation.