Ceci conduit à une erreur sur l’intensité totale du champ par (10.2) de : R∂Ωr(a)≃ 4, 1nT
Ces dernières valeurs sont bien plus conformes à l’allure générale des résidus à la surface terrestre et démontrent la stabilité de la reconstruction à l’intérieur du domaine conique.
On remarque l’augmentation importante des résidus à l’altitude u = 1030km. Etant donné la décroissance naturelle d’un champ de potentiel d’origine interne tel que nous l’avons considéré, l’erreur que nous observons dans la partie supérieure du cône est proportionnellement plus importante à l’erreur que nous observons dans la partie inférieure. Cette constatation est une conséquence directe de l’insuffisance des développements en série de la base externe de Legendre. En règle générale, une symétrie de la figure (10.7) par rapport à l’altitude médiane est trompeuse et doit être considérée comme révélatrice d’un développement en coefficients externes insuffisant ou, dans le cas d’un problème inverse, soit d’une mauvaise détermination des coefficients de Gauss externes , soit d’une contamination ou d’une erreur plus importante sur les données dans la région supérieure.
Les résidus obtenus sont des résidus absolus. Par conséquent, nous pouvons conclure simple-ment, en regard des valeurs importantes du champ magnétique à modéliser, que nous avons pu reconstruire correctement le champ à l’intérieur du cône ainsi que ses variations en altitude.
10.2 Utilisation des fonctions de base du problème PIII
Représentons maintenant le champ magnétique sur la base locale en utilisant les fonctions de bases du problème P III. Etant donné la vérification du théorème sur le flux et donc l’absence de restriction sur les ordres m, toutes les contributions peuvent être représentées.
10.2.1 Choix du modèle et des paramètres
Nous considérons maintenant un modèle donné par la différence entre un modèle de Cain et un modèle DGRF 1960.
De la même manière que précédemment, les coefficients de Gauss globaux sont écrits dans le référentiel du cône après avoir subit une rotation d’axe C(2◦E, 47◦N), centré sur la France, et l’angle d’ouverture de la calotte est posé à θ0 = 5◦. En revanche, nous prendrons comme altitude supérieure b = a +um avec um = 500km. Ces choix qui diffèrent de ceux de la section précédente sont décidés dans l’optique de pouvoir comparer les résultats obtenus avec ceux de la figure (4.8) de la décomposition en harmoniques sphériques sur calotte selon Haines. Ce sont également ces paramètres géométriques que nous utiliserons pour une inversion dans la troisième partie. Notons toutefois qu’une telle altitude permet de contenir à l’intérieur du cône l’ensemble des données des satellites MAGSAT et CHAMP au-dessus de la France et n’est donc pas arbitraire.
Les coefficients de Gauss de la base locale sont trouvés à partir des relations avec les co-efficients de Gauss globaux et en utilisant les fonctions de bases appropriées (section 9.3). Nous utilisons des développements pour chacun des potentiels V1 et V2 limités aux indices Pmax = Kmax = 30 pour chacun des ordres m de 0 à 50. Cette manipulation conduit à la dé-finition de quelques 9191 coefficients de Gauss ! Nous verrons cependant qu’il ne faudra pas se laisser abuser par ce nombre important et qu’il existe des alternatives pour le réduire (chapitre 12, troisième partie).
Pour cette reconstruction, nous considérerons le même développement Kmax pour les coef-ficients de Gauss internes et externes puisque nous venons de constater qu’un développement insuffisant des coefficients externes pénalise la reconstruction en altitude.
F. 10.8 — Reconstruction de la composante X d’un champ magnétique sur la base locale par la décomposition du problème P III et pour des développements en série tronqués à Pmax = Kmax= 30. Les coefficients de Gauss ont été synthétisés à partir de la différence entre un modèle de Cain 1960 et un modèle DGRF. Le tracé montre différentes reconstructions à des surfaces comprises entre u = 0km et u = 500km d’altitude.
10.2. Utilisation des fonctions de base du problème PIII 141
F. 10.9 — Reconstruction de la composante Y du champ magnétique. Même légende que pour la figure 10.8.
F.10.10 — Reconstruction de la composante Z du champ magnétique. Même légende que pour la figure 10.8.
10.2. Utilisation des fonctions de base du problème PIII 143
10.2.2 Analyse des résultats
Variations des résidus sur les surfaces
Les figures (10.8), (10.9) et (10.10) montrent respectivement les résultats de la reconstruction des trois composantes X, Y et Z du champ magnétique.
Les oscillations, ainsi que les effets de bords nettement visibles sur les surfaces d’altitudes u = 0km et u = 500km, révèlent les problèmes de reconstruction du champ sur les surfaces limites du domaine dans la version tronquée des séries décrivant le champ magnétique. Néan-moins, sur ces surfaces, le comportement est tout à fait réaliste et coïncide bien avec l’allure du champ synthétique utilisé. Pour pouvoir discerner d’éventuelles différences de comportements, nous représentons figures (10.11), (10.12) et (10.13) les résidus entre les composantes du champ magnétique réel −→
B et le champ magnétique−→
Br reconstruit dans le cône.
L’évolution des résidus avec l’altitude est tout à fait conforme à ce que nous attendions de la décomposition P III. Les surfaces, inférieure et supérieure, sont le siège des maxima d’erreur de reconstruction, avec notamment une erreur plus importante sur la surface inférieure que sur la surface supérieure. Puisque les résidus ainsi tracés sont des résidus absolus, cette constatation rend parfaitement compte de la décroissance du champ magnétique avec l’altitude.
De façon générale, l’erreur commise n’excède jamais 5 nT au centre du cône et les erreurs de magnitudes supérieures siègent aux bords de la calotte. Cette dernière affirmation est notamment vraie pour des surfaces hors des frontières ∂Ωa et ∂Ωb du cône où l’erreur de reconstruction au centre de la calotte sphérique passe sous le seuil des 0, 2nT d’après le choix des isovaleurs. Le tracé des résidus ne montre, à première vue, pas tellement de différences entre les reconstructions des composantes horizontales du champ et la reconstruction de la composante verticale du champ comme nous aurions pu nous y attendre (d’après les résultats des section 8.2.1). Or, il s’avère que les effets de bords sont plus nombreux et ne se limitent plus aux bords de la calotte. Ceci illustre que la composante Z est particulièrement difficile à représenter au voisinage du cercle en θ = θ0. On ne manquera pas de constater d’autre part le léger bombement sur la composante Z au centre de la calotte qui était parfaitement prédit par l’étude sur la reconstruction de la fonction de Schmidt P01 (8.2.1).
Variation des résidus avec l’altitude
Plutôt que de réaliser différentes reconstructions à différentes altitudes nous pouvons, de la même manière que précédemment, synthétiser les résultats à différentes altitudes en prenant la moyenne de l’erreur de reconstruction sur différentes surfaces échantillonnées tous les 10km en altitude. La figure (10.14) montre le résultat de cette comparaison pour les trois composantes du champ. L’analyse des résidus moyennés sur différentes surfaces laisse maintenant mieux entrevoir la différence de reconstruction entre les composantes horizontale et verticale du champ avec une erreur plus importante sur la composante Z (Ceci n’est pas toujours clair si l’on se borne à analyser les résidus absolus, ce qui est le cas ici, car ils dépendent donc avant tout de la magnitude de la composante Z comparée à X ou Y ).
En règle générale, ce type de tracé montre une erreur à la surface terrestre importante pour les décompositions qui ont une ou plusieurs composantes qui tendent vers 0 à l’approche des bords, ce qui est, rappelons le, dicté par le choix des conditions aux limites. Par conséquent, ici encore, la variation de l’erreur que nous observons est bien supérieure à l’erreur contenue dans un cône dont nous excluons les bords latéraux. Nous ne pouvons pas exclure le bord inférieur puisque nous devons tracer le champ à la surface terrestre ; l’unique manœuvre acceptable est donc de regarder la décroissance de l’erreur à mesure que nous nous éloignons des bords latéraux.
F. 10.11 — Résidus entre la composante X du champ magnétique calculé par un modèle Cain 1960 moins un modèle DGRF et la composante X du champ reconstruit pour des développements jusqu’aux indices de troncature Pmax = Kmax = 30. Les lignes d’isovaleurs sont représentées tous les 5nT pour les surfaces en u = 0km et u = 500km et tous les 0, 2nT aux autres altitudes.
10.2. Utilisation des fonctions de base du problème PIII 145
F. 10.12 — Résidus entre les composantes Y du champ réel et du champ reconstruit. Mêmes légende et contours que sur la figure (10.11).
F. 10.13 — Résidus entre les composantes Z du champ réel et du champ reconstruit. Mêmes légende et contours que sur la figure (10.11).
10.2. Utilisation des fonctions de base du problème PIII 147
F. 10.14 — Représentation synthétique de l’erreur moyenne de reconstruction du champ ma-gnétique par la méthode P III pour différentes surfaces échantillonnée tous les 10km entre les altitudes u = 0km et u = 500km.
Erreur RΩ dans Ω en nT Erreur R∂Ωr(a) sur ∂Ωa en nT angle ε en deg. 3,8 41,4 0,0 2,2 25,5 0,1 1,2 14,2 0,2 1,1 13,2 0,3 0,9 11,4 0,4 0,8 10,6 0,5
T. 10.1 — Variation des erreurs moyennes sur la surface terrestre et dans le volume total lorsque nous excluons des bords une couronne de largeur angulaire e
Le tableau 10.1 montre l’erreur moyenne R∂Ωr(a), définie par (10.2) lorsque nous retranchons une couronne d’angle ε près du bord de la calotte. A titre indicatif, nous présentons également la valeur de l’erreur sur l’intensité du champ total RΩ en nT moyennée dans le volume et sa variation en fonction de ε. Si NΩ
p est le nombre total de points dans le volume, l’erreur dans le volume est définie par :
RΩ= = > > > ? N Ωp j=1(Bx,j−Br x,j)2+(By,j−Br y,j)2+(Bz,j−Br z,j)2 NΩ p (10.3)
Cette définition nous permettra ultérieurement de définir l’erreur moyenne par élément de volume associée à chaque couple d’indices de troncature (Pmax, Kmax) .
En retranchant une couronne sphérique d’ouverture de plus en plus importante, nous nous rapprochons de plus en plus de la comparaison des champs magnétiques au centre de la calotte et nous constatons une nette diminution de l’erreur. Si la variation des résidus en fonction de l’altitude est bien représentée sur la figure (10.14), les valeurs des résidus sont à interpréter en sachant que nous sommes surtout intéressés par la reconstruction d’un champ en dehors des frontières du cône. Retrancher une fine couronne (ici, nous retranchons au maximum 1/10ème de la taille de la calotte) nous permet d’espérer pouvoir résoudre le champ magnétique avec une précision moyenne de 10, 5 nT à la surface terrestre pour des décompositions tronquées à Pmax = Kmax = 30. Etant donné le nombre de coefficients que cela représente, la résolution du champ est moyennement satisfaisante. Nous introduirons des considérations permettant de réduire ce nombre de coefficients tout en améliorant la résolution par un choix plus avisé des développements. Ces aspects seront largement discutés dans la partie 3 lorsque nous quantifierons l’énergie associée à chaque ordre m.
En conclusion, nous avons pu vérifier correctement que la méthode P III permettait de reconstruire un champ dans le cône sphérique. Les différents aspects de la reconstruction et les variations radiales et latérales des résidus sont bien expliquées par la façon dont les fonctions de base locales représentent les fonctions de base globales dans le cône.