Représentation des fonctions radiales

Nous attirons l’attention sur la particularité de la modélisation des fonctions de Schmidt pour m = 0. Nous ne manquerons pas de remarquer une légère augmentation de l’erreur à l’approche de θ = 0. Cette erreur, pour chacun des développements, n’apparaît que dans la version tronquée des séries. Nous pouvons prédire néanmoins que la reconstruction du champ subira un peu plus de distorsion dans une petite région (dont la surface dépendra du développement) entourant le pôle de la calotte.

On pourra conclure par deux remarques importantes. La première est que, indépendamment du choix des conditions aux limites, la décomposition du problème initial en deux sous-problèmes entraîne forcément la dégradation de l’une ou l’autre des composantes du champ magnétique sur le bord ∂θ0Ω du domaine. La seconde est que le choix des conditions aux limites n’est pas équivalent d’un point de vue numérique car il donne lieu à des vitesses de convergence des séries sensiblement différentes. Une faible vitesse de convergence nécessitera un plus grand nombre de termes pour pouvoir reconstruire la fonction dans le domaine (bords exclus). Une bonne reconstruction se caractérisant par des oscillations de faible amplitude et des «effets de bords», lorsque nous ne pouvons pas nous en affranchir, proches de la limite géométrique ∂θ0Ω.

8.2.2 Représentation des fonctions radiales

La résolution du problème aux conditions aux limites nous a permis d’obtenir des fonctions radiales qui forment une base de L2{[a, b]}. Les fonctions radiales des harmoniques globales, en particulier les fonctions (a/r)^l+1 (l∈ N)) , peuvent donc être projetées dans cette base et l’on peut reconstituer les fonctions par le développement de Fourrier suivant :

_a r l+1 = ^∞ p=0  (a r)^l+1,Rp  Rp² Rp(r) (8.9)

Dans cette formulation, regroupant toutes les fonctions radiales, il faudra tenir compte des définitions (6.36a) et (6.36b), ou simplement (6.38) selon la représentation P I, P II, P III ou P IV choisie.

Bien entendu, toute fonction radiale peut être projetée sur la base des Rp et les fonctions radiales décrivant le champ externe (r/a)l avec l ∈ N n’échappent pas à cette règle. Ce qu’il nous faut considérer c’est la capacité des nouvelles fonctions à représenter (a/r)^l+1 (l ∈ Z) sur tout l’intervalle a≤ r ≤ b.

F. 8.3 — Les fonctions radiales des harmoniques sphériques (a/R)^l+1 sont décomposables en séries de Fourier des fonctions local Rp(r). Selon le choix des conditions aux limites (8.10) ou (8.11), la série de Fourier converge rapidement (en B) ou lentement (en A) vers la solution. Ceci montre cependant que le nouveau formalisme permet de tenir compte des variations naturelles d’un champ de potentiel.

8.2. Convergence des solutions 117

La figure (8.3) montre le résultat de la reconstruction de la fonction radiale interne d’un champ exprimé en harmoniques sphériques ordinaires par la série de Fourier (8.9) tronquée à Kmax = 15. Comme précédemment, on peut distinguer deux cas ayant ses caractéristiques propres qui découlent du choix de la condition aux limites.

Condition homogène de Dirichlet sur la fonction radiale En chacun des rayons r = a et r = b, nous avons posé :

Rp(a) = Rp(b) = 0 (8.10)

La fonction locale Rp est donnée par la relation (6.38). On voit que cette solution converge très lentement et que le comportement de la reconstruction est irréaliste sur les surfaces in-férieures et supérieures. Les effets de Gibbs sont prépondérants et suggèrent d’incorporer un nombre important de paramètres. L’utilisation de cette condition pénalise essentiellement les composantes B1,x et B1,y du champ magnétique, gradient du potentiel V1(cf équations 6.49 et 6.50), sur les surfaces en r = a et r = b. Les composantes du champ magnétique total seront donc entièrement portées par la base de Legendre. De même que précédemment, on anticipe le fait que même lorsque nous aurons des contributions des bases de Mehler (toutes les altitudes a < r < b), nous observerons des oscillations pour ces composantes, résultats de la mauvaise convergence de la série de Mehler vers sa limite.

Condition homogène de Neumann sur la fonction radiale Aux limites, supérieure et inférieure, du cône nous imposons que :

dRp(r) dr



a,b

= 0 (8.11)

La fonction radiale Rp(r) s’écrit d’après (6.36). La solution admet en particulier la fonction constante R0. Ainsi, quels que soient l et r, la série (8.9) admet comme premier terme une constante. La convergence de la série de Fourier vers la fonction (a/r)l+1 est très rapide. On remarquera des effets de bords aux surfaces repérées par les altitudes u = 0 et u = 1030km. Le choix de cette condition aux limites, supérieure et inférieure, du cône est particulièrement bien adapté pour les composantes −→

B1,x et −→

B1,y du champ magnétique dérivant du potentiel V1(expressions 6.49 et 6.50) ; en revanche, B1,z = 0. Aux surfaces inférieures et supérieures, la composante radiale du champ magnétique total −→

B , résultat de la superposition des deux potentiels V1 et V2, ne sera portée que par la base de Legendre. Il est donc naturel de s’attendre à une résolution moins précise de la composante Z du champ magnétique sur ces surfaces mais également à l’intérieur du cône. En raison des effets de Gibbs, la contribution des bases de Mehler y est également moins bien résolue.

Discussions sur la convergence

Il y a donc des avantages et des inconvénients liés aux choix des conditions aux limites. Nous l’avons vu, un choix de conditions aux limites sur les dérivées impliquera une bonne représenta-tion des foncreprésenta-tions radiales, donc une meilleure alternative pour la modélisareprésenta-tion des composantes X et Y du champ magnétique, mais une dégradation plus importante de la composante Z, que

ce soit sur les bords du domaine ou à l’intérieur domaine, car bien que dans le domaine la com-posante Z soit la somme des contributions individuelles Z1 et Z2, l’une des contributions Z1 est mal déterminée.

Inversement, le choix de la condition aux limites sur la fonction nous assure une bonne représentation de la composante Z mais une détérioration des composantes X et Y dans tout le volume. A première vue, le dilemme peut être vite surmonté en argumentant que la condition sur Rp dégrade deux composantes alors que la condition sur dRp/dr n’en dégrade qu’une seule. Avant d’adhérer à ce raisonnement trivial, il convient de vérifier si la reconstruction d’un champ magnétique montre bien, sur la base des discussions précédentes, le type d’incertitude attendue pour chacune des composantes.

Concluons enfin que ces considérations de convergence ne concernent que les potentiels V1

et V2 pris de manière indépendante. Le potentiel total V sera influencé dans une certaine me-sure par ces considérations, mais par sommation des deux potentiels, les effets des problèmes de convergence seront moins nets et parfois amoindris. De plus, les développements en séries peuvent être assimilés à une généralisation des développements de Fourier pour lesquels certains théorèmes d’accélération de convergence existent.

Chapitre 9

Synthèses des solutions

Les solutions des différents problèmes ont été énoncées au fur et à mesure de leur rencontre. Par souci de clarté, nous proposons dans les pages qui suivent une synthèse des propriétés de chaque décomposition qui permet d’avoir une vue d’ensemble. Afin de compléter les développe-ments précédents, les coefficients résultant des produits scalaires entre fonctions sont explicités. Nous ne manquerons pas par la suite de nous appuyer sur ce résumé. On trouvera d’autre part une compilation des symboles et des notations employés en annexe D.

9.1 Synthèse du problème P I

Le potentiel V , solution générale du problème P I, est la somme de deux sous-problèmes ayant comme solutions les potentiels V1 et V2:

V = V1+ V2