Gi,mnk Hni,mk , = ∞ n=m ) Pm n , Pm nk * 1− e−S(n+nk+1) + +Pm nk + +2 (1− e−S(2nk+1)) (gmn (hm n (7.13) et Ge,mnk Hne,mk = ∞ n=m ) Pm n , Pm nk * (1− eS(nk−n)) + +Pm nk + +2 eS(2nk+1)− 1 (gmn (hm n (7.14)
Ces solution apparaissent notamment dans les problèmes P II et P IV . Il n’y a pas d’in-détermination pour ces expressions, ceci reflète bien l’unicité de la solution d’un problème de Dirichlet.
7.4 L’ambiguité du concept d’interne et d’externe
On considère habituellement les coefficients "
Gi,mnk , Hni,mk
#
comme étant des coefficients dé-crivant le champ d’origine interne et les coefficients {Ge,mnk , Hne,mk } comme étant des coefficients décrivant le champ externe. Puisque le potentiel global (7.1) n’a que des contributions internes, on tente souvent de le modéliser sur la décomposition locale uniquement par des coefficients de Gauss internes "
Gi,mnk , Hni,mk
#
. Nous avons vu au chapitre 5.4 de la première partie qu’une telle écriture conduisait à la résolution d’un système qui n’a que deux solutions. L’une pour S = 0, solution qui nous est maintenant interdite car la résolution interdit que a = b (cf paragraphe 6.2.2) et l’autre en S =∞, solution pour laquelle on perd le caractère discret des valeurs propres λp (voir annexe C). A l’évidence, les coefficients de Gauss externes doivent être inclus lorsque le domaine conique est limité vers le haut. Ce problème est d’une grande portée géophysique car il nous permet de bien distinguer les différentes structures du champ magnétique. D’autre part, en pratique nous tentons de retrancher le champ externe par un filtrage approprié sur les données, mais nous n’avons pas d’outil mathématique fiable nous permettant de nous assurer que ce procédé est suffisamment précis. Il reste donc une zone d’ombre sur le modèle obtenu car nous pouvons difficilement quantifier les différentes contributions du champ magnétique. Nous cherchons donc, dans cette section, a énoncer le problème liés au concept d’interne et d’externe en modélisation régionale. Ceci nous permet de trouver une piste pour initier une stratégie qui nous permettra, dans le future, de résoudre ce délicat problème.
7.4.1 Une tentative pour apporter des éléments de réponse
Le principe même du concept d’interne ou d’externe est à revoir en modélisation régionale dans un cône. En effet, on attribut traditionnellement ces qualificatifs à des sources localisées par rapport à la surface terrestre prise comme référence. En harmoniques sphériques, la surface terrestre englobe les sources internes et le concept d’interne et d’externe se réduit donc plus simplement à en-dessous et au-dessus de la surface de référence. En présence de plusieurs surfaces, même en harmoniques globales, le concept d’interne/externe devient lui-même équivoque. Par exemple, les couches atmosphériques, où circulent des courants ionosphériques, sont internes par rapport à la surface du satellite mais externes vues de la surface terrestre. Cette simple analogie nous pousse à conclure que le concept d’interne ou d’externe dans un contexte de modélisation régionale dans un volume limité latéralement n’a pas de sens s’il n’est pas redéfini. En effet,
7.4. L’ambiguité du concept d’interne et d’externe 103
la résolution du problème régional initial exclu la présence de source à l’intérieur du domaine de validité de la solution. Du point de vue du cône tout se trouve donc à l’extérieur, que ce soit au-dessus, en-dessous ou même sur les côtés ; nous ne pouvons en recueillir que la somme des contributions. Les fonctions de bases locales qui décrivent le champ magnétique ne sont pas valides à l’extérieur du domaine de définition Ω et ne peuvent pas nous donner d’information directe sur la localisation des sources. Nous sommes cantonnés dans un volume dont le monde extérieur nous est inconnu.
Puisque les bases de fonctions ne peuvent pas remplir cette tâche, une possibilité pourrait être d’avoir recours au traitement du signal. En effet, le champ magnétique modélisé par les harmoniques sphériques ou coniques est unique. Cependant, étant modélisé dans un volume, il est moins sensible, lorsqu’il est calculé à la surface terrestre, aux sources externes (d’un point de vue géocentrique) que s’il était calculé à une surface d’altitude supérieure. Il doit donc être possible, par l’analyse des fréquences contenues dans le champ magnétiques à diverses altitudes, de dire si le champ dans le cône modélise certaines contributions provenant du dessus et peut être le cas échéant de les isoler. Ces considérations, dont l’importance ne doit pas être négligée, n’ont à ce jour pas trouvé d’éléments de réponse satisfaisants.
L’autre solution est d’essayer de revenir à des bases de fonctions plus compatibles avec les concepts d’interne et d’externe en modélisation globale c’est-à-dire d’essayer de retourner aux fonctions de base (a/r)l+1 et (r/a)l des harmoniques sphériques ordinaires. Dans un premier temps, il convient de voir si nous sommes en droit théoriquement de le faire.
Un théorème troublant...
Reprenons le théorème de Stockes ou théorème de la divergence que nous avons vu en (6.10) sous la forme de la première identité de Green. Considérons ensuite deux potentiels notés V et
(
V . L’un est développé dans la base locale, l’autre dans la base globale. La construction d’un modèle régional, quelles que soient les conditions aux limites, a comme ambition de pouvoir finalement écrire que dans le volume conique Ω, les deux représentations sont égales :
V (Ω) = (V (Ω) (7.15)
Nous avons vu que les décompositions précédentes, grâce aux conditions aux limites sur les frontières du domaine Ω, permettaient d’aboutir à ce résultat ; du moins dans l’acceptation d’une égalité en norme quadratique.
Nous définirons l’espace complet par la lettre grecque Ξ. Alors on peut écrire :
Ξ = Ω∪ Ψ
où Ψ l’espace complémentaire de Ω (figure 7.1). Un théorème bien connu, à la base de la théo-rie du potentiel, nous enseigne qu’il n’existe qu’un seul potentiel global (V dans Ω qui vérifie l’expression (7.15). La question est de savoir si cette unicité est également valable en dehors du domaine Ω. Pouvons-nous définir un unique potentiel (V dans le domaine Ψ et donc dans Ξ à partir de (7.15) ? Nous trouvons la réponse par le théorème suivant ([61], Chap X, section 5) :
Théorème Si G est harmonique sur un domaine Ξ et si G s’annule en tout point d’un domaine Ω contenu dans Ξ alors G s’annule en tout point de Ξ.
La démonstration de ce théorème est relativement simple et nous l’illustrons sur la figure 7.1. Prenons un point P dans le domaine Ω, à l’intérieur de la boule B de rayon r = α et d’origine
F.7.1 — Le potentiel local dans le domaine Ω est égal à un unique potentiel global. Le théorème de continuité montre que le potentiel global est alors unique (et harmonique) dans le domaine Ψ,et par conséquent également dans le domaine Ξ = Ψ∪ Ω.
P ; le potentiel G tel que G = V (B)− (V (B) est harmonique et nul en tous points de B. Puisque c’est vrai en r = α, cela est vrai pour une boule de rayon r = β telle que le rayon β coupe la surface ∂Ωθ du cône. Par conséquent, G = 0 également dans la zone hachurée qui appartient au domaine Ψ. En renouvelant l’opération autant de fois que nécessaire, on finit par montrer que G(Ψ) = 0 donc que G(Ξ) = 0.
Nous sommes donc en présence d’un théorème de continuité qui démontre l’unicité d’un potentiel global trouvé à partir d’un potentiel local. Ceci signifie que si l’on peut mettre en oeuvre le moyen de déterminer du potentiel écrit en harmoniques sphériques à partir du potentiel local trouvé sur une région, celui-ci sera unique. Ce théorème est à première vue assez déroutant et nous ne le considérerons qu’avec circonspection car il est couramment admis qu’un champ déterminé sur une région à partir d’une modélisation régionale est propre à la région et ne donne pas lieu à un champ global unique. D’un point de vue conceptuel, on pourrait penser que le théorème précédent s’oppose à cette allégation.
... mais peu exploitable.
En pratique, cette affirmation accepte peu de contradiction et nous pouvons détecter au moins deux restrictions évidentes.
D’une part, les expressions des potentiels s’expriment sous forme de séries infinies et l’ap-plication du théorème, qui stipule avant tout que (7.15) soit vérifiée, ne souffre sans doute pas d’approximation, c’est une égalité au sens mathématique. Or, nous avons justement fait deux approximations ; la première en tronquant les séries, la seconde, moins immédiate, en obtenant les expressions des coefficients de Gauss locaux. Ce dernier point révèle toute l’ambiguïté de ce que nous appelons égalité entre le potentiel global et le potentiel local dans le cône. Nous n’avons en effet pas égalé les potentiels en tout point, contrairement à ce qui est requis par l’expression (7.15), mais nous avons pris leurs intégrales de surface et recherché une égalité de
7.4. L’ambiguité du concept d’interne et d’externe 105
leurs normes. Rechercher les coefficients de Gauss par moindres carrés revient à minimiser la norme et l’approximation est similaire. L’égalité (7.15) ne peut donc être strictement vérifiée par ce moyen.
D’autre part, si le théorème est valable dans notre exemple, il devrait être possible de déter-miner les coefficients de Gauss globaux à partir des coefficients de Gauss locaux numériquement, et les expressions du type (7.11) et (7.4) doivent être bijectives. L’expérience a montré que l’in-version de ces expressions permettait de retrouver dans certains cas les coefficients de Gauss globaux initiaux. En ce sens, le théorème s’est vérifié. Mais des différences minimes, simulées par un très faible bruit dans la valeur des coefficients de Gauss locaux, ont également montré que le problème est parfaitement instable.
Cette dernière manipulation vient corroborer l’idée que (7.15) n’admet pas d’approxima-tion et n’est valable que dans le cas des convergences simples. Nous sommes donc en pratique incapables de restituer un champ global à partir d’une décomposition locale.
Nous aurions pu nous y attendre d’après la philosophie même de la modélisation régionale qui cherche à exprimer un champ de potentiel autrement que par les harmoniques sphériques qui y échouent. Si nous pouvions représenter des données régionales par les harmoniques sphériques globales, nous en déduirions l’expression d’un modèle de champ pour la sphère entière, et la modélisation régionale par d’autres techniques n’aurait pas lieu d’être entreprise.
Ce théorème mérite cependant d’être gardé en mémoire car il n’est pas insensé d’espérer obtenir une bonne approxiation de l’égalité des potentiels. Si ce résultat doit être obtenu, il se fera par une exploitation des relations linéaires entre les coefficients de Gauss dans le cadre d’un problème inverse contraint par l’adjonction d’une information a priori sur le champ obtenue par des hypothèses physiques sur le champ magnétique.